Mathematische Modelle zur Prozessidentikation

Präsentation zum Thema: "Mathematische Modelle zur Prozessidentikation"—  Präsentation transkript:

1 Mathematische Modelle zur Prozessidentikation
Testsignale Zur Durchführung der PI sind experimentelle Untersuchungen erforderlich, um hieraus auf das Systemverhalten zu schließen und ein mathematisches Modell erstellen zu können. Anforderungen  einfach zu erzeugen an Signale  reproduzierbar (z.B. Signalgenerator)  einfache mathematische Beschreibung  anwendbar/zugeschnitten auf Prozess  anwendbar auf vorhandene Stellglieder  Signalverarbeitung auf System April 2002 Blatt 2.1

2 Identifikation / Einfluss der Stellglieder
Gesucht: Übertragungsverhalten P Alle Elemente und Glieder des Systems sind zu berücksichtigen ! u1 y u2 Stellglied Prozess G = GS GP U2 = GS U Y = GP U2  Y = GP GS U1 Wenn u2 messbar, kann GP2 direkt aus u2 und y identifiziert werden ! Wenn u2 nicht messbar, kann GP2 direkt aus u1 , y und Kenntnis von GS identifiziert werden ! GP = Y/U2 GP = 1/GS Y/U1 April 2002 Blatt 2.2

3 Beispiel Heizungsregelung
Schema: Aufgabenstellung: Das Zeitverhaltens des Wohn- Raumes für die Heizungs- Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen. Wirkungsplan: w u y Ein/Aus Regler Brenner Kessel Rohrleitung Körper Raum Luft Messen Gas April 2002 Blatt 2.3

4 Beispiel Heizungsregelung
Wirkungsplan w u1 y Regler Brenner Kessel Leitung Körper Raum Messen u1 u2 u3 u4 y Brenner Kessel Rohrleitung Körper Raum Pt PT PT PT1 Für Identifikation Raumverhalten  Kenntnis von u4 erforderlich April 2002 Blatt 2.4

5 Einfluss Verzögerungselemente
Identifikation: Bei Wahl der Messorte Sind Verzögerungselemente (Systemkomponenten) zu berücksichtigen, welche die Dynamik des Zeitverhaltens beeinflussen. Fälle: Proportional / zeitverzögert Proportional / zeitverzögert mit Rückkopplung unstetig / integrierend (z.B. Stell-/Schrittmotor) April 2002 Blatt 2.5

6 Signalarten Kriterien für Signale: natürlich / künstlich
deterministisch / stochastisch periodisch / nicht periodisch kontinuierlich / diskret Signale: Physikalisch in Form von Spannung, Strom, Temperatur, Druck Beschreibung in Form von Amplitudenwert (Funktionswert) für definierte Zeitpunkte Definitionen: Deterministisch: in jedem Zeitpunkt ist ein eindeutig vorher- sehbarer Wert definiert. Stochastisch: Signalverlauf ist nicht eindeutig vorhersehbar Beschreibung durch Mittelwert, Streuung, etc. April 2002 Blatt 2.6

7 Unterscheidungsmerkmale Signalformen
Kontinuierlich Diskret Nicht periodisch Sprungfunktion Rampe Dreiecksfunktion Periodisch Sinus-/Cosinusfunktion Rechteckfolge Dreiecksfolge stochastisch Zufallsignal (kontinuierlich) Binäres Rauschen (beliebige O/1-Folge) April 2002 Blatt 2.7

8 Beispiele für Signalverläufe
Nicht periodisch Periodisch stochastisch (Binäres Rauschen) (konti. Rauschen) April 2002 Blatt 2.8

9 LTI-Systeme – Voraussetzung für unsere Betrachtungen
Ausgangspunkt für die Entwicklung von Identifikationsverfahren ist die Verwendung math. Modelle für Systeme, Prozesse und Signale. Es werden LTI-Systeme betrachtet. linear: Superposition zeitinvariant: Systemreaktion unabhängig vom Zeitpunkt der Betrachtung Signalbeschreibungen für nichtparametrische Modelle Kurven / Wertetabellen System als black box g(t), h(t), Frequenzgang System April 2002 Blatt 2.9

10 Beschreibungen für nicht para. Modelle
Beschreibung im Zeitbereich/Frequenzbereich: Gewichtsfunktion g(t) = g(t) * δ(t) G(s) = G(s) 1 Sprungantwort h(t) = g(t) * ε(t) H(s) = G(s) 1/s Systemantwort y(t) = g(t) * u(t) Y(s) = G(s) U(s) g(t) = d/dt h(t) Frequenzgang G(s) -> G(jw) G(jw) = Y(jw)/U(jw) = |G(jw)|ejphi(w) g(t) G(s) April 2002 Blatt 2.10

11 Beschreibungen für param. Modelle
Signalbeschreibungen für parametrische Modelle System als white/grey box Systemstruktur bekannt (DGL, G(s)) g(t) G(s) Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße wird durch eine Dgl. oder Übertragungsfunktion eindeutig wiedergegeben ! dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn b1du/dt + bou April 2002 Blatt 2.11

12 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT1)
Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied) y(t) = Ku0(1-e-t/T) u0 u Ku0(1-e-t/Ts) Δ y TS Y(00) := KS *u0 y/Ku0 April 2002 Blatt 2.12

13 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) T1 = Zeitkonstante T2 = Zeikonstante K = K1 K2 Fall 1: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“ = PT1 K1 T1 PT1 K2 T2 PT2 K T1 T2 Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) April 2002 Blatt 2.13

14 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich: Partialbruchzerlegung: Y(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2) Koeffizientenbestimmung nach (Satz nach HEAVISIDE): Ak = lim (Y(s) ( s-sk)) A0 = K A1 = lim (K/s(1+sT2)) = -KT1 /(1-T2/T1) = -KT12/(T1 – T2) A2 = lim (K/s(1+sT1)) = -KT2 /(1-T1/T2) = -KT22/(T1 – T2) s->sk s->-1/T1 s->-1/T2 April 2002 Blatt 2.14

15 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Y(s) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2) Y(s) = K/s - KT12/(T1 – T2) 1 /(1 + sT1) + KT22/(T1 – T2) 1/(1 + sT2) Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt: y(t) = K [ 1 - T1/(T1 – T2) e-t/T1 + T2/(T1 – T2) e-t/T2 ] Beipiel PT1-PT9 Glieder mit verschiedenen Zeitkonstanten Excel-Kurven (Anlage) Verdopplung der Zeitkonstanten T2 = 2 T1; T3 = 2 T2; T4 = 2 T3; ..... April 2002 Blatt 2.15

16 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)
Verallgemeinerung PTn-Glied mit unterschiedlichen Zeitkonstanten: Ai = für i = 0 Ai = - (Ti) n / Π (Ti – Tj) für i > 0  i  j und n>1 n j=1 Beispiel : PT4-Glied, d.h. n=4 A0 = 1 A1 = -T14 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ] A2 = -T24 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ] A3 = -T34 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ] A4 = -T44 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ] April 2002 Blatt 2.16

17 Sprungantwort System 4. Ordnung
Beispiel : PT4-Glied, (n=4), verschiedene Zeitkonstanten A0 = 1 A1 = -T14 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ] A2 = -T24 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ] A3 = -T34 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ] A4 = -T44 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ] y(t) = K [ 1 - T13/(T1 – T2) (T1- T3) (T1-T4) e-t/T1 - T23/(T2 – T1) (T2- T3) (T2-T4) e-t/T2 - T33 / (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) e-t/T3 - T43 / (T4-T1) (T4- T2) (T4-T3) e-t/T4] April 2002 Blatt 2.17

18 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2-Glied) T1 = T2 Zeitkonstante K = K1 K2 Fall 2: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“ = PT1 K1 T PT1 K2 T PT2 K T Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT)2 = K / T2/ [s (s + 1/T)2] April 2002 Blatt 2.18

19 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich: Partialbruchzerlegung: Y(s) =K / T2/ [s (s + 1/T)2] = A0/s + A1/(s + 1/T) + A2/(s + 1/T)2 Koeffizientenbestimmung nach Ak = 1/(n-k)! lim (d(n-k)/ds(n-k)[Y(s) ( s-sk)n]) k = 1 ...n-1 An = lim (Y(s) ( s-sk)n) A0 = K A1 = lim (K/T2 d/ds(1/s)) = lim K/T2 (-1/s2) = -K A2 = lim ( K/T2 /s) = -K/T s->sk s->sk s->-1/T s->-1/T s->-1/T April 2002 Blatt 2.19

20 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT2)
Y(s) = A0/s + A1/(s+ 1/T) + A2/(s + 1/T)2 Y(s) = K/s - K 1 /(s + 1/T) + K/T 1/(s + 1/T)2 Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt: Y(t) = K [ 1 - e-t/T - t/T e-t/T ] = K[1-(1+t/T)e-t/T] Herleitung nach Laplace-Korrespondenztabelle 1/s(s-a)2 <-> 1/a2 [1 + (at-1) eat] April 2002 Blatt 2.20

21 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)
Verallgemeinerung Sprungantwort von PTn-Gliedern mit gleicher Zeitkonstanten: n-1 Y(t) = K (1 - e-t/T [ Σ 1/k! (t/T)k] k=0 Beispiele: n=1: y(t) = K(1- e-t/T ) n=2: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T]) n=3: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2]) n=4: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2 + 1/6 t3/T3]) Beipiel PT1-PT9 Glieder mit gleicher Zeitkonstanten Excel-Kurven (Anlage) April 2002 Blatt 2.21

22 Kurvencharakteristik
Kurvenverlauf: mit zunehmender Ordnung flacher mit zunehmender Ordnung wird die Systemreaktion „langsamer“ Kurvenverlauf mit Wendepunkt Wendepunkt bedeutet mathematisch: 1. Ableitung weist im WP Maximum/Minimum auf 2. Ableitung hat O-stelle im WP Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt, wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet. g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst. . April 2002 Blatt 2.22

23 Kurvenzusammenstellung PTn-Glied mit gleicher Zeitkonstanten
Sprungantwort Gewichtsfunktion April 2002 Blatt 2.23

24 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (2)
Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2S-Glied) ω0= Kreisfrequenz D = Dämpfung K = Verstärkungsfaktor G(s) = K / (s-s1)(s-s2) mit s1,2 = ω0(-ζ± √(ζ 2-1) Fall 1: ζ >1: aperiodische Dämpfung / Reihenschaltung von 2 Verzögerungs- Gliedern 1. Ordnung (wie vor; s1 = -1/T1; s2 = -1/T2) h(t) = K(1 + 1/(T1-T2) (T2e-t/T2-T1e-t/T1) April 2002 Blatt 2.24

25 Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (3)
Fall 2: D=1 Doppelpoliger aperiodischer Grenzfall (wie vor) h(t) = K(1 – (1+ t/T )e-t/T) Fall 3: 0< ζ < 1 Periodische Dämpfung h(t) = K(1 – 1/√(1- ζ 2) e- ζ ωot(sin(ω0√(1- ζ 2)t +φ) April 2002 Blatt 2.25

26 Übersicht einfacher Übertragungsglieder
April 2002 Blatt 2.26

27 Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1)
April 2002 Blatt 2.27

28 Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2)
April 2002 Blatt 2.28

29 Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder
© Übetragungsglieder 1- 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag April 2002 Blatt 2.29