Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Foliendesign: Jörg Steinrücken & Tobias Kahn Vorlesung 9 29.06.00.

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2 Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Diskrete Mathematik II Foliendesign: Jörg Steinrücken & Tobias Kahn Vorlesung 9 29.06.00 Voronoi-Diagramme: Bestimmung der Tangente bei der Konstruktion des trennenden Kantenzuges

3 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.002 Bestimmung der Tangente im Detail

4 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.003 max y min y max y Extrempunkte von CH(P 1 )  CH(P 2 )

5 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.004 Tangente von CH(P 1 )  CH(P 2 )

6 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.005 Nochmals zur konvexen Hülle CH Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P? Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH. Zu je zwei Punkten P 1 und P 2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten. Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge. Die Verbindungskante k zweier Punkte P 1 und P 2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen. P 2 ist genau dann Nachfolger von P 1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P 2 minimal ist.

7 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.006 Tangente

8 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.007 Nachfolger - Bestimmung Winkel minimal P1P1 P2P2

9 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.008 Nachfolger Winkel minimal P2P2 P1P1

10 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.009 Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte von CH(P 1 ), CH(P 2 ) und CH(P 1 )  CH(P 2 ) Betrachte die oberen Extrempunkte P 1 und Q 1 und die Nachfolger P 2 und Q 2 im Uhrzeigersinn, und sei P 1 höher als Q 1 Bestimme das Minimum der mit P 1 P 2, P 1 Q 1 und P 1 Q 2 assoziierten Winkel Fälle: –P 1 Q 1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig –P 1 P 2 minimal: ersetze P 1 durch P 2 und P 2 durch P 3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) –P 1 Q 2 minimal: ersetze Q 1 durch Q 2 und Q 2 durch Q 3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn) Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch

11 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0010 Extrempunkte

12 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0011 2 vertikal monotone Kantenzüge

13 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0012 Tangente

14 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0013 Bestimmung des Nachfolgers Winkel nicht minimal

15 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0014 Bestimmung des Nachfolgers Winkel minimal

16 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0015 Bestimmung des Nachfolgers

17 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0016 Bestimmung des Nachfolgers

18 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0017 Konvexe Hülle

19 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0018 Bestimmung des Nachfolgers

20 Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS 2000 - Vorlesung 9 - 29.06.0019 Konvexe Hülle

21 Schönen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Auf Wiedersehen