Einführung in die Meteorologie (met210) - Teil IV: Dynamik der Atmosphäre Clemens Simmer

IV Dynamik der Atmosphäre Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne Kinematik Divergenz und Rotation Massenerhaltung Stromlinien und Trajektorien Die Bewegungsgleichung Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte Navier-Stokes-Gleichung Skalenanalyse Zweidimensionale Windsysteme natürliches Koordinatensystem Gradientwind und andere Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

IV.3 Zweidimensionale Windsysteme Vereinfachte zweidimensionale Bewegungsgleichung Geostrophischer Wind Gradientwind Zyklostrophischer Wind Trägkeitskreis Einfluss der Reibung Ekman-Spirale

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (1) einfachere Beschreibung, welche Zentrifugalbeschleunigung durch gekrümmte Isobaren explizit enthält Ausgangspunkt: horizontale Bewegungsgleichung ohne 2Ωwcosφ-Term Übergang in natürliches Koordinaten- system … mit Produktregel

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (2) Δφ R>0 R<0 Δl R Achtung: Der Krümmungsradius R ist wieder so definiert, dass er bei zyklonaler Krümmung positiv ist!

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (3) Annahmen: a) Stationarität →∂vh/∂t=0 b) keine Änderung des Betrags der Windgeschwindigkeit entlang der Bahn →∂(vh2/2)/∂s=0 Reibung und Druckgradient kompensieren sich entlang der Strömung. Zentrifugal-, Druckgradient und Coriolisbeschleunigung kompensieren sich senkrecht zur Strömung Keine Reibung senkrecht zur Strömung

IV.3.1 Horizontale Bewegungsgleichung im natürlichen Koordinatensystem (4) Fallunterscheidung - Bezeichnungen Druck-gradient Coriolis-Beschl. Reibung Zentrifu-galbe-schleu-ni-gung geostrophischer W. synoptische Systeme Gradientwind zyklostro-phischer W. Staubteufel Trägheitskreis Grenzschichtstrahlstrom antitriptischer W. Äquator

IV.3.2 Geostrophischer Wind keine Reibung keine Zentrifugalbeschleunigung, vh2/R=0 → R=±∞ , also gradlinige Isobaren!

IV.3.3 Gradientwind (1) T H keine Reibung Im T kompensieren Coriolis und Zentrifugalbeschleunigung gemeinsam den Druckgradient. Im H wirkt Coriolis entgegen der Zentrifugalbeschleunigung, daher höhere Geschwindigkeit bei gleichem Druckgradient!

IV.3.3 Gradientwind (2) Größenabschätzung des „Korrekturterms“ 1/f vh2/R: Formale Bestimmung von vG (quadratische Gleichung) Es gibt also 2 Lösungen. Differenziert man weiter zwischen i) R>=<0 und ii) ∂p/∂n>=<0, so gewinnt man insgesamt 18 „Lösungen“ für den Gradientwind.

niedrige Druckgradienten IV.3.3 Gradientwind (4) Vor einer mathematischen Untersuchung der verschiedenen Lösungen wollen wir erst qualitative Überlegungen anstellen. Im Gradientwind halten sich drei parallel zueinander ausgerichtete aber quer zur Bahn wirkende Kräfte die Waage: fP, fC, und fZ. Mit Geschwindigkeit (und damit fC) fest gibt es vier Möglichkeiten, wie sich fP und fZ dazu orientieren können: + = - fC fP fZ + = - fC fP fZ + = - fC fP fZ + = - fC fP fZ fC H normales Hoch T normales Tief T anormales Tief H anormales Hoch hohe Druckgradienten schwache Krümmung niedrige Druckgradienten starke Krümmung Bei beiden Tiefs kann der Druckgradient bei konstanter Windgeschwindigkeit unbegrenzt zunehmen (Ausgleich über stärkere Krümmung, während Hochs hier limitiert sind.

niedrige Druckgradienten IV.3.3 Gradientwind (5) + = - fC fP fZ fC T anormales Tief H Hoch normales hohe Druckgradienten schwache Krümmung niedrige Druckgradienten starke Krümmung A B C D Die rechte Darstellung zeigt die Coriolisbeschleunigung (mit f=10-4 s1) und die Zentrifugalbeschleunigung bei einem Wirbel mit 250 km Radius. Hochs sind nur bis zum Kreuzungspunkt von fC und fZ möglich da fC>fZ sein muss. Mit zunehmender Geschwindigkeit nimmt dabei der Druckgradient erst zu (normales Hoch) und dann wieder ab (anormales Hoch). Bei hohen Geschwindigkeiten ist nur ein (normales oder anormales) Tief möglich. Anomale Systeme können nur durch Störungen erzeugt werden. 20 40 m/s 5x10-3 m/s² |fvh| |vh2/R| Wirbel mit R=250 km A,B D C

IV.3.3 Gradientwind (5) Analyse der 2x3x3 Lösungen von R=0 → vG=0 triviale Lösung (nur noch 12 Lösungen übrig) ∂p/∂n=0 → vG=-fR/2±|fR/2| R>0 → vG≤0 triviale oder unphysikalische Lösung R<0 → vG=0 triviale Lösung → vG = - fR Trägheitskreis, antizyklonal Es verbleiben noch 2 x 2 x 2 = 8 Lösungen, von denen noch 4 unphysikalisch sein müssen R>0 R<0 ∂p/∂n>0 +√ vG<0 anormales Tief -√ ∂p/∂n<0 normales Tief anormales Hoch normales Hoch

IV.3.3 Gradientwind (6) Diskussion Geostrophischer Wind ist in allen Lösungen mit R=±∞ enthalten Anormale Fälle werden auf der synoptischen Skala nicht beobachtet da Druckgradient die primäre Bewegungsursache ist. Anormale Fälle können nur auf sehr kleiner Skala durch Trägheitseffekte auftreten (Staubteufel, Badewanne) Besonderheit des Hochs: Druckgradient muss zum Zentrum abnehmen. Hochs sind flach. Tiefs haben diese Beschränkung nicht.

IV.3.4 Zyklostrophischer Wind keine Reibung keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe, kleiner Krümmungsradius)

IV.3.5 Trägheitskreis (1) keine Reibung kein Druckgradient 0° 20° 43,3 60° 90° f in 10-4s-1 0,5 1 1,26 1,46 Rotationszeit, T=2π|R|/vh =2π/f, in Stunden ∞ 35 17,5 13,8 12 |R| bei vh=10 m/s 200 100 79 69 Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.

IV.3.5 Trägheitskreis (2) Der Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf: Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung über den Kontakt zur Erdoberfläche. Stabilisiert sich die Luftschicht durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung. Nehmen wir an, dass die Reibung vollständig aufhört, so haben wir es mit einem stark ageostrophischen Wind zu tun bei gegebenem Druckgradient und Coriolisbeschleunigung. Der Wind beschleunigt dann zunächst so lange die Windrichtung eine Komponente zum Druckgradient hat. Ist der Wind parallel zu den Isobaren ist er supergeostrophisch und wird bei weiterer Rechtsablenkung abgebremst bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt…. Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.

IV.3.5 Trägheitskreis (3) Ausgangspunkt: stationäres Druckfeld, ageostrophische Windkomponente, ohne Reibung. Die Zentrifugalbeschleunigung ist jetzt wieder im ersten Term enthalten! x , y ,

IV.3.5 Trägheitskreis (4) Weicht der ursprüngliche Wind vom geostrophischen ab, so führt der Windvektor eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit f um letzteren aus (a, b). Ohne Druckgradient ergibt sich der Trägheitskreis (c). Wie sehen die Trajektorien für die 3 Fälle aus? allgemein v(t0)=0 vg=0 →

IV.3.6 Einfluss der Reibung Fallunterscheidung Ist Coriolisbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung vernachlässigbar, so sind im stationären Fall Druchgradientbeschleunigung und Reibung entgegengesetzt und gleich. Der dann resultierende antitripische Wind weht direkt vom hohen zum niedrigen Druck. Erweitern wir um den Beitrag der Coriolisbeschleunigung bei Beschränkung auf gradlinige Isobaren (also keine Zentrifugalbeschleunigung), so muss der Windvektor eine Komponente zum tiefen Druck haben. Die Reibung selbst kann dabei nicht genau parallel zum Windvektor wirken. Eine vereinfachte mathematische Analyse ergibt, dass der Wind vom Boden, wo er mit ca. 45° in das Tief weht, mit der Höhe zunehmend in den geostrophische Wind in der freien Atmosphäre in Form der Ekman-Spirale hineindreht.

IV.3.6.1 Antitriptischer Wind Annahmen: Coriolisbeschleunigung = 0 (z. B. Äquatornähe) Zentrifugalbeschleunigung =0 (gradlinie Isobaren) H T Der antitriptische Wind ist ein Ausgleichswind zwischen Druckgradientbeschleunigung und Reibungsbremsung: Die Luft wird gerade so stark beschleunigt, dass die mit dem Wind zunehmenden Reibung die Druckgradientbeschleunigung gerade ausgleicht.

IV.3.6.2 Richtung der Reibung Annahmen: stationäre Strömung gradlinige Isobaren keine horizontale Windscherung Reibung durch Turbulenz: nach 3. reduziert sich dann die Divergenz des Schubspannungstensors auf eine reduzierte vertikale Komponente T H Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind nicht parallel zum Windvektor. Dies ist auch ersichtlich aus der Form des Reibungsterms unter Berücksichtigung einer zunächst mit der Höhe stark, dann schwächer zunehmenden Windgeschindigkeit.

Konstruktion des Reibungsvektors H

Ekman-Spirale (1) Wir beginnen mit: Annahmen: turbulenter Diffusionskoeffizient K höhenunabhängig b) geostrophischer Wind höhenunabhängig Komponentenweise aufschreiben v-Komponente mit i multiplizieren Komponenten addieren Definiere: Homogene Diff‘gleichung 2. Ordnung

Ekman-Spirale (2) Lösungsschritte: Schritt 1: Allgemeiner Ansatz Lösung der homogenen Diff‘gleichung 2. Ordnung mit Lösungsschritte: Möglichst allgemeinen Lösungsansatz machen charakteristische Gleichung i.a. unterschiedliche Lösungen Die allgemeine Lösung ergibt sich dann durch Addition aller Lösungen mit freien Koeffizienten Die Bestimmung der freien Koeffizienten erfolgt aus der Anwendung bekannter Bedingungen an den Rändern (z.B. v=0 am Boden) oder aus physikalischen Erwartungen an die Lösung (z.B. kein Wachsen nach ∞) Schritt 1: Allgemeiner Ansatz schlägt eine Höhenabhängigkeit vor exponentielle Zunahme oder Abnahme wenn m imaginär ist periodische Änderung, wenn m real ist, da

Ekman-Spirale (3) Einsetzen von ergibt in

Ekman-Spirale (4) Schritt 2: Allgemeine Lösung durch Addition der möglichen Lösungen Mit dem Ansatz und der charkteristischen Gleichung ergibt sich dann die allgemeine Lösung zu

Ekman-Spirale (5) Schritt 3: Einschränkung der allgemeinen Lösung durch Randbedingungen u.ä.

Ekman-Spirale (6) Teile wieder auf nach Annahme:

Ekman-Spirale (7) Achtung: Theorie: Ablenkwinkel bei z=0 ist 45° Achtung: K war höhenkonstant angesetzt, ändert sich aber mit der Höhe, Stabilität und Windgeschwindigkeit Beobachtungen in 10 m Höhe: 45° φ=20° φ=45° φ=70° labil stabil Ozean 25 40 15 30 10 Land glatt 35 50 20 Land rauh 45 60 Beispiel einer Messung

Ekman-Spirale (8) Reibung gibt dem bodennahen Wind eine Komponente zum tiefen Druck → Auffüllen des Tiefs → Abbau des Hochs

Übungen zu IV.3 In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche ein Druckgradient von 5 hPa/200km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50° und 90° geographischer Breite a) der geostrophische Wind, b) der Gradientwind bei R ± 200 km (alle möglichen Fälle), c) der zyklostrophische Wind bei R = 100 km., d) der antitriptische Wind, wenn für die Reibungsbeschleunigung als grobe über Land gültige Beziehung angenommen wird aR = - 1 x 10-4 s -1 vH. Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Dichte 1 kg/m3 beträgt. Schätze die Größenordnung der Zentrifugalbeschleunigung und der Coriolisbeschleunigung in einer tropischen Zyklone (Hurrikan, Taifun), einem Tornado und einem Staubteufel ab. Berechne und zeichne die Trajektorien für die drei Fälle auf Folie IV.3.5 Trägheitskreis (4).