§11 Skalarprodukt. Euklidische Räume Zur Geometrie gehören unbedingt auch Längen und Winkel. In einem sehr abstrakten Sinne werden diese Größen durch ein Skalarprodukt auf eine Vektorraum beschrieben. Beispielsweise: (11.1) Definition: Das euklidische Standard-Skalarprodukt auf dem Vektorraum Rn ist die Abbildung für Spaltenvektoren x und y aus Rn mit den Komponenten xk bzw. yk, k = 1,2, ... n . Dieses Skalarprodukt bestimmt die Länge oder Norm von Vektoren x aus Rn durch 1o

Kapitel II, §11 x1 x2 x = (x1,x2)T Abbildung: Die Norm eines Vektors x in R2 oder eines Vektors x = x1v + x2w für Vektoren v,w aus dem Grundraum (Rn bzw. V mit euklidischem Skalarprodukt, vgl. 11.3). 2o Die Distanz zwischen Punkten P und Q aus Rn ist d(P,Q) = . Das Skalarprodukt bestimmt auch den Winkel zwischen Vektoren x und y : Beginnen wir mit y = (1,0)T und mit einem weiteren Vektor x der Länge 1 in R2 : Ein solcher Vektor hat die Form

Kapitel II, §11 x = (x1,x2)T mit . Es gilt also: . Im Falle von und , also eine Drehung der Konfiguration um den Winkel Das Additionstheorem des Cosinus liefert nun:

Kapitel II, §11 In beiden Fällen lässt sich aus zurückgewinnen (bestimmen). Das gilt auch für Vektoren beliebiger Länge, wenn die Länge berücksichtigt wird. Daher kommen wir zur Definition: 3o Der Winkel zwischen zwei Vektoren x und y aus V\{0} ist durch die Formel definiert. Beachte (Beweis in 11.6). (Die Funktion cos hat auf dem Intervall eine Umkehrfunktion, cos–1 wie in der Analysisvorlesung in Kürze gezeigt werden wird).

Kapitel II, §11 (11.2) Definition: Ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V über R ist eine Abbildung mit den folgenden Eigenschaften: 1o σ ist bilinear, das heißt für alle r,s aus R und für alle x,y,v,w aus V gilt: σ(rx + sy,v) = rσ(x,v) + sσ(y,v) σ(x,rv + sw) = rσ(x,v) + sσ(x,w) . 2o σ ist symmetrisch, das heißt für x,y aus V gilt stets σ(x,y) = σ(y,x) . 3o Es gibt eine Zerlegung V = V+ + V- in Untervektorräume V+ und V- von V mit σ(x,x) > 0 für x aus V+\{0} und σ(y,y) < 0 für y aus V-\{0}.

Kapitel II, §11 (11.3) Beispiele: 1o V = Rn. Das übliche euklidische Skalarprodukt: für Spaltenvektoren x und y mit den Komponenten xk bzw. yk . 2o V = R4 . Das übliche Minkowski-Skalarprodukt: (11.4) Definition: Das Skalarprodukt heißt euklidisch, wenn V+ = V und V- = {0} gilt, also wenn σ(x,x) > 0 für x aus V\{0}. Ein Vektorraum über R zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum. (11.3) Beispiel: 3o Der Vektorraum = {x aus F: x ist quadratsummierbar} mit ist ein euklidischer Vektorraum.

Kapitel II, §11 In einem euklidischen Vektorraum V sind Norm bzw. Länge von Vektoren, Winkel zwischen Vektoren und Distanz zwischen Punkten genau wie in 11.1.1o-3o definiert. (11.5) Lemma: Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt σ ( ) und der zugehörigen Norm Die Norm erfüllt dann die folgenden Eigenschaften. Für alle x,y aus V und alle r aus R gilt: 1o 2o 3o (Dreiecksungleichung) (11.6) Ungleichungen von Cauchy-Schwarz: Sei V ein euklidi-scher Vektorraum mit Skalarprodukt Dann gilt für x,y aus V:

Kapitel II,§11 Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei die Norm von y gleich 1 . Setze Es gilt dann und daraus folgt die Behauptung. (11.7) Definition: Unter einem euklidischen affinen Raum oder einfach einem euklidischen Raum verstehen wir einen affinen Raum (A,T,t) zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt auf dem R-Vektorraum T .