Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Statistische Modellierung: Ausgangsverteilung der Messungen: Vereinfachte Verteilung der Messungen: Modell:

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Verteilungen, deren Parameter mit Hilfe von Testmodellen modelliert werden: Multivariate (p-variate) Normalverteilung: (Produkt-) Multinomialverteilung: Die griechischen Buchstaben repräsentieren Parametervektoren. Die einzelnen Parameter repräsentieren Wahrscheinlichkeiten.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Multivariate (p-variate) Normalverteilung dient zur Repräsentation der Verteilung von kontinuierlichen Messwerten. Sie ist relevant im Zusammenhang der klassischen Testtheorie und deren Erweiterung. Die Multinomialverteilung ist relevant im Zusammenhang mit der proba-bilistischen Testtheorie, wo es um die Modell-ierung von Antwortwahrscheinlichkeiten geht.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Beispiel: Ratekorrektur: Binomialverteilung: Modellierung: Neue Verteilung (keine Vereinfachung):

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Multivariate (p-variate) Normalverteil-ung : Mittelwertstruktur: p Mittelwerte Kovarianzstruktur: p·(p+1)/2 Varianzen und Kovarianzen

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Wie gelangt man zu p·(p+1)/2 unab-hängigen Varianzen und Kovarianzen?  hat p·p Einträge: p Zeilen mit p Einträgen pro Zeile. Die Einträge unterhalb der Diagonalen sind identisch zu jenen oberhalb Daher sind die p·p Einträge nicht unabhängig.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Ziehe von den p·p Einträgen die p Einträge der Hauptdiagonale ab. Es verbleiben p·p - p = p·(p-1) Einträge. Dividiere die verbleibende Anzahl durch 2: Dies ergibt: p·(p-1)/2 (Anzahl Kovarianzen) Nun addiere die Zahl p (=Anzahl der Varianzen) hinzu. Dies ergibt: p·(p+1)/2

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Multivariate (p-variate) Normalverteil-ung für das Regressionsbeispiel: Mittelwertstruktur: p Mittelwerte Kovarianzstruktur: nur ein freier Para- meter:

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Mit dem gewöhnlichen Regressions-modell wird daher nur die Mittelwert-struktur modelliert. Mit Hilfe von linearen Strukturgleich-ungsmodellen lässt sowohl die Mittel-wertstruktur wie die Kovarianzstruktur modellieren.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Die Analyse der Struktur der Tests bzw. von Testitems basiert auf der Model-lierung der Kovarianzstruktur . Zur Ermittlung individueller Leistungen sowie zum Vergleich von Gruppen wird die Mittelwertstruktur mit einbezogen.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Inhaltliche Interpretation von (Test-) modellen: Was sagt das Modell aus? Was repräsentieren die Parameter? Bsp.: Modell zur Ratekorrektur:

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodell Prüfung von Messmodellen: Modell ist nur hilfreich, wenn es die Realität einigermassen korrekt beschreibt. Korrektes Modell repräsentiert die Verhältnisse in der Population. Nur in diesem Fall kann das Modell für Schlussfolgerungen verwendet werden und sind die Parameter interpretierbar.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Prüfung der Modellgüte: Identifizierbarkeit der Parameter Empirische Adäquatheit: Erklärung der vorliegenden Daten Inhaltliche Kriterien: Plausibilität und Übereinstimmung mit Vorwissen. Falls die Modellparameter nicht identifiziert sind, oder das Modell nicht empirisch adäquat ist, so erübrigt sich eine inhaltliche Prüfung.

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Identifizierbarkeit der Parameter: Ein Parameter ist identifiziert, falls er eindeutig aus den Modellgleichungen hergeleitet werden kann. Unterscheidung: Exakt identifiziert vs. überidentifiziert. Wie reagiert AMOS bei fehlender Identifi-kation?

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Bsp. 2-9: Identifizierbarkeit der Parameter: Wobei gilt: und . Die Modellparameter sind nicht identifiziert!

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Prüfung der empirischen Adäquatheit eines Modells: Freie unabhängige Datenpunkte dfDaten (Freiheitsgrade der Daten) und freie Modell-parameter: dfModell (Freie Parameter des Modells) Prinzip: Freiheitsgrade des Test (der Teststatistik)[ dfTest muss >0 sein]:

Kapitel 2: Testtheorie / Testmodelle Prüfung der inhaltlichen Adäquatheit eines Modells: Plausibilität des Modells. Kompatibilität mit Erkenntnissen (Bsp.2.11: Multiple Intelligenzen). Plausibilität der Werte der Parameter (Bsp.2.12).