Mögliches Konzept für einen Analysisunterricht im Jahrgang 11 Startbildschirm

Übersicht: Grundlegende Funktionen und Technologieeinführung a) Wiederholung linearer, quadratischer und kubischer Zusammenhänge b) Beschreiben periodischer Zusammenhänge mittels Sinusfunktionen c) Nutzen die Technologie bei der Untersuchung der behandelten Zusammenhänge Von der absoluten Änderung zur lokalen Änderungsrate a) Beschreiben und Interpretieren mittlere Änderungsrate auch als Sekantensteigung b) Beschreiben und Interpretieren lokale Änderungsrate auch als Tangentensteigung c) Ableitung als lokale Änderungsrate Graph  Ableitungsgraph a) Beschreibung globaler und lokaler Eigenschaften b) graphisches Differenzieren c) Interpretation in Sachzusammenhängen Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln a) Ableitung ganzrationaler Funktionen mit Potenz-, Summen- und Faktorregel b) Ableitung von f(x) = sin(x) Ganzrationale Funktionen a) Bestimmung von Extremstellen mit Hilfe der Ableitung und des VZW-Kriteriums b) Existenz von Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen und deren Vielfachheit Sach- und Optimierungsprobleme Bestimmung von Extremstellen mit Hilfe der Ableitung und des VZW-Kriteriums

1. Von der absoluten Änderung zur lokalen Änderungsrate Temperaturänderungsrate Höhenänderungsrate Warum Änderungsrate und nicht nur Sekanten- und Tangentensteigung? Änderungsrate ist der viel umfassendere Begriff unter der Leitidee „Funktionaler Zusammenhang“ Änderungsrate lässt sich auch anhand von Tabellen/Werte thematisieren (Man benötigt weder einen Graphen noch einen Funktionsterm.) Anwendungssituationen beziehen sich auf Änderungen und nicht notwendig auf Tangentensteigungen. (Weltbevölkerungsentwicklung, Wasserstandsänderungen (Pegel) Anwendungsaufgaben älterer Schulbücher nehmen darauf Bezug Änderungsrate stellt ein Bindeglied zwischen Differenzial- und Integralrechnung her (Rekonstruktion des Bestandes aus der Änderung) Funktion der Stationen: Die Schüler lernen den Begriff der Änderungsrate in verschiedenen Kontexten kennen. Der Übergang von der mittleren zur lokalen Änderungsrate wird dahingehend modelliert, dass eine Verfeinerung des Intervalls stattfinden muss. An den Stationen wird diese Idee der Verfeinerung entwickelt, aber nicht konkret durchgeführt. Der Weg zur Ableitung: Die Strategie der Verfeinerung kann nur umgesetzt werden, wenn eine Funktionsgleichung vorliegt. Nur dann ist eine Verfeinerung durchführbar. Diese Funktion kann sich aus einem Sachzusammenhang ergeben (z. B. über Regression). Die Durchführung dieses Verfeinerungsprozesses führt auf eine formale Definition der Ableitung an einer Stelle. Es schließt sich die Erarbeitung des Begriffs der Ableitungsfunktion an. Damit können dann Zusammenhänge zwischen Graph und Ableitungsgraph entdeckt werden. Dieses soll im folgenden Abschnitt geschehen. Hier auftretende Begriffe: Differenzenquotient und Grenzwert des Differenzenquotienten; Änderungsratenfunktion/Ableitungsfunktion Volumenänderungsrate Geschwindigkeit

2. Graph  Ableitungsgraph Beschreibung globaler und lokaler Eigenschaften Monoton als beschreibende Vokabel für Steigen und Fallen ohne Klassifizierung durch Ungleichungen. Der Ableitungsgraph kann hier zur Begründung herangezogen werden. Die Formalisierung mithilfe des Ableitungsbegriffes erfolgt später. Der Begriff Wendepunkt fällt nur anschaulich – als Punkt größter oder kleinster Änderungsrate. Keine Verwendung der 2. Ableitung, keine Formulierung und Anwendung notwendiger und hinreichender Bedingungen. Hoch-/Tiefpunkt, (monoton) steigend/fallend, Wendepunkt

2. Graph  Ableitungsgraph Graphisches Differenzieren f(x) x f(x) x Charakterstische Punkte als Hilfsmittel für die Skizze nutzen Manchmal nur grobe Übersicht gewollt Genauer: Ableitung mit der Spiegelmethode bestimmen (El 10 S. 139 bzw. MatheNetz 11 S. 66, Objektträger aus der Biologie, Kapillarröhrchen, Tangentenbefehl/nDerive des Rechners – passt besser zur Änderungsrate) Sowohl in die eine als auch in die andere Richtung (integrieren vorbereiten) Aufgabe: Graphen vorgegeben, Graph und Ableitung zuordnen Link führt auf Arbeitsblatt „Zuordnung von Graph und Ableitungsgraph“ f´(x) x f´(x) x

2. Graph  Ableitungsgraph Interpretation in Sachzusammenhängen Bedeutet f(x) ... dann bedeutet f‘(x) ... die Ordinate des Punktes auf dem Graphen von f (Kurve) mit der Abszisse x, die Steigung der Kurve in diesem Punkt. den vom Start bis zum Zeitpunkt x zurückgelegten Weg, die Geschwindigkeit zu diesem Zeitpunkt. das Volumen der Kugel vom Radius x, den Oberflächeninhalt der Kugel. das Volumen eines Körpers der Höhe x, den Querschnitt des Körpers dieser Höhe. das Volumen in einem Behälter die Zufluss- bzw. Abflussrate die Kosten von x produzierten Artikeln die Grenzkosten (Kostensteigerung) der produzierten Artikel Argumentieren ohne Term der Ableitung, auch der Term der Funktion muss nicht vorhanden sein, kann auch hinderlich sein. Vielfältige Sachzusammenhänge werden in Form von Beispielen bereitgestellt. So wird ein umfassendes Verständnis der Änderungsrate/Ableitung ermöglicht. Link führt auf eine Datei „Interpretation in Sachzusammenhängen“ , in die Ableitung in verschiedenen Sachsituationen interpretiert werden.

3. Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln Entdeckung der Ableitungsregeln Vollständige Induktion ist kein Thema im Unterricht der Klasse 10 Der klassische Nachweis der vermuteten Regeln mit der h-Methode ist nicht Bestandteil des Kerns Umfassende Nutzung der Technologie: Die Befehle Tangente und nderive können hier wieder aufgegriffen werden. Der Link führt auf die Datei „Ableitung_GTR“, in der Möglichkeiten beschrieben werden, wie der Rechner zur Berechnung der Ableitung und zur Entdeckung der Regeln eingesetzt werden kann.

4. Sach- und Optimierungsprobleme Rennwagen Die Mittellinie der gekennzeichneten Rennstrecke wird durch eine Kurve beschrieben. Bei nasser Fahrbahn kommt ein Fahrzeug ins Rutschen und landet im Punkt Y(0|6,5) in den Strohballen. Um vergleichbare Vorfälle in Zukunft näher beobachten zu können, soll eine Kamera möglichst günstig positioniert werden. Dazu wird die Position gesucht, an der das Fahrzeug die Bahn verlassen hat. Mögliches Sachproblem

4. Sach- und Optimierungsprobleme Elemente der Mathematik 10, S. 180 Mögliches Sachproblem

4. Sach- und Optimierungsprobleme Änderung des Gewinns Mögliches Sachproblem Nach Hennig Körner „Analysis in Klasse 10 – quo vadis?“

4. Sach- und Optimierungsprobleme Größter Gewinn Nach Hennig Körner „Analysis in Klasse 10 – quo vadis?“

4. Sach- und Optimierungsprobleme Es werden klassische Optimierungsprobleme vorgestellt Modell bilden Arbeiten im Modell Lösung auf die Realsituation rückübertragen (Validieren) Nutzung der Operatoren Legitime Einforderung mathematischer Lösungsmethoden Erweiterung des Repertoires an Lösungstrategien Festlegung händischer Fertigkeiten

4. Sach- und Optimierungsprobleme Entwicklung einer mathematischen Strategie zur Bestimmung von Maxima und Minima Entwicklung des Vorzeichenwechselkriteriums anhand von Graphen/Überlegungen. Die 2. Ableitung gehört nicht zum Kern. Entsprechende Kriterien damit auch nicht. In einfachen Fällen sollen die einzelnen Schritte der entwickelten Strategie auch händisch durchgeführt werden. Dazu ist ein Katalog geforderter händischer Fertigkeiten notwendig.

4. Sach- und Optimierungsprobleme Wie viele Nullstellen kann es geben? Einfache - mehrfache Nullstelle Linearfaktorzerlegung Die Bestimmung von Extremstellen führt zur Beschäftigung mit der Existenz und Art der Nullstellen. Es erfolgt ein systematisches Nachdenken über die Anzahl möglicher Nullstellen von Polynomen, da der Rechner nicht alle anzeigen muss. Die Schüler bekommen so ein Werkzeug zur gezielten Suche der Nullstellen. Die Nullstellen werden auch zur Bestimmung eines möglichen Funktionsterms verwendet. Hier kann die Linearfaktorzerlegung und die Kenntnis der Art der Nullstelle (einfach oder mehrfache Nullstelle) nützlich sein. Polynomdivision und Substitution gehören nicht zum Kern. Kurvendiskussionen im klassischen Sinne gehören nicht zum Kern und damit nicht zum Konzept. Weitere als die in diesem Konzept benannten Elemente zur Untersuchung von Funktionen kommen nicht vor.