Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht

Präsentation zum Thema: "Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht"—  Präsentation transkript:

1 Differential- und Integralrechnung im Mathematikunterricht
Beispiele für die Unterstützung des Unterrichts durch einen CAS-Rechner. Franz Schlöglhofer

2 Verwendung eines Rechners im Mathematikunterricht
Visualisieren Probieren Interpretieren Probleme analysieren Neue Inhalte und Methoden

3 Inhalt: Erzeugen von Figuren im Grafik-Fenster
Messungen (Temperatur und Bewegung) - Datenerfassung Visualisierung Tangente - Ableitungsfunktion Beispielhaft einige Aufgaben zur Differentialrechnung Modellierung: Der Torabstoß beim Fußball

4 1) Erzeugen von Figuren mit Funktionen 5. Klasse
Wir verwenden: Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen

5 Quadratische Funktionen

6 Verschiebung - Transformation

7 Abschnittsweise definierte Funktionen

8 Auch für lineare Funktionen:

9 Ein kleines Projekt: Nach eigenen Ideen Figuren erzeugen mit elementaren Funktionen Einige Ergebnisse:

10 Ein einfaches Beispiel

11 Erstes Experiment mit einer Blume

12 Der traurige König (Parametrische Linien)

13 Qualle

14 Raupe

15 Parametrische Kreisdarstellung

16 Schmetterling

17 Kreisbögen

18 Im nächsten Schuljahr

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35 piranha

36 2) Physikalische Messungen Modellbildung
Temperatur Bewegung

37 Temperaturmessung mit dem NSPIRE
Messung der Temperatur sowie Speicherung und Verarbeitung der Daten.

38 Lists & Spreadsheet Spalte A: Zeit (Sekunden) Spalte B: Temperatur
(beginnt mit 41,6° C und endet mit ungefähr 16° C)

39 Scatter-Plot mit der gesamten Datenmenge
Temperatur-anpassung. Zwei Probleme: Messung zu lang Transformation des Graphen günstig für das Auffinden von passenden Funktionen.

40 Verkürzte Tabelle (Spalten C und D)
Zeit (Spalte C): =seq(i,i,0,25) Temperatur (Spalte D): =B-16 (Approximation an die x-Achse.)

41 Neuer Scatter-Plot Zeit von 0 to 25 s Temperatur von 25° to 0° C

42 Approximation durch Funktionen
Naheliegend ist der erste Versuch mit einer Quadratfunktion – funktioniert nicht besonders gut.

43 Kubische Funktion Bessere Approximation
Nur der erste Wert macht Schwierigkeiten.

44 Exponentialfunktion Nach einigen Versuchen einigen sich die Schüler auf diese Funktion als beste Approximation.

45 The motion of a running ball –velocity
Sensor for the measurement of distance

46 Schiefe Ebene Beschleunigte Bewegung
Die Distanz vom Sensor wird im Zeitintervall von 0.05s (50 Millisekunden) gemessen Die Daten werden gespeichert. Sensor

47 Spreadsheet Spalte A: Zeit Spalte B:
Distanz vom Sensor beginnend mit 0,159 m. (Spalten C and D sind v und a.)

48 Scatter Plot Zeit – Distanz
Nach dem Beginn der Bewegung beschleunigte Bewegung

49 Auswahl des Beschleunigungsbereichs

50 Versuch mit einer quadratischen Funktion
Man findet relativ einfach eine gut passende Funktion

51 Zeit – Geschwindigkeit
Spalte C: Mittlere Geschwindigkeit

52 Distanz und Geschwindigkeit
Lineare Zunahme der Geschwindig-keit

53 Entwicklung der Geschwindigkeit als Funktion

54 Mittlere Geschwindigkeit – Funktionsaufruf
Mit dq(x,h) kann die mittlere Geschwindig-keit im Zeitintervall [x;x+h] berechnet werden

55 Momentangeschwindigkeit
Begriffliche Einführung ohne Rechner Grenzwert h geht gegen 0

56 Grenzwert mit dem CAS Lineare Funktion als Ergebnis der Grenzwert-berechnung.

57 Geschwindigkeit als Zeit-Ort-Funktion

58 Mittlere Beschleunigung berechnet aus den Messwerten

59 3) Visualisierung Tangente-Tangentenfunktion
(Idee Zappe) Grafikfenster Graph der Funktion Tangente an den Graphen (Menü) Messung der Steigung Bewegung des Punktes (und der Tangente)

60 Graph der Tangentenfunktion - Ortslinie
Maßübertragung Tangentensteigung auf die y-Achse Konstruktion des Punktes der Ableitungsfunktion (x-Koordinate des Punktes, Wert der Tangentensteigung) Ortskurve (strichliert)

61 Weitere Funktionen

62 Exponentialfunktion

63 Tangentengleichung Von der Tangenten-darstellung mit den Anweisungen des Grafik-Menüs ausgehend soll ein Weg zur Darstellung der Gleichung einer Tangente mit Punkt und Ableitung gefunden werden.

64 Tangente an eine quadratische Funktion
Tangente im Grafikmenü ermitteln. Messung der Steigung und der Tangenten-gleichung Experimentieren

65 Bewegung der Tangente Anpassung der Steigung und der Gleichung

66 Tangente mit Hilfe der Ableitung:
Die Tangente im Punkt (p/f(p)) des Graphen der Funktion f hat die Ableitung f´(p) als Steigung. Lineare Funktion: y=k.x+d , f(p)=f´(p).p+d d=f(p)-f´(p).p Tangente: ta(p):=f´(p).x+f(p)-f´(p).p ta(p):=f´(p).(x-p)+f(p)

67 Eingabe im Calculator-Fenster

68 Darstellung der Tangente im Grafikfenster

69 Bewegung der Tangente mit einem Schieberegler

70 It´s easy to change the function.

71 4) Eine Extremwertaufgabe - Beleuchtung

72 b=10, a=11

73 x=5 in die zweite Ableitung einsetzen

74 b=10, a=8

75 Funktionsgraphen

76 Darstellung der „Einzelgraphen“

77 Allgemeine Untersuchung der Funktion

78 Zweite Ableitung

79 5) Fußball: Torabstoß Annahmen treffen.
Zunächst Bewegung ohne Luftwiderstand - Parabelbahn

80 Quadratische Funktionen
Beschreibung der Bahn: Z.B.: f(x)=0.01(x-10)(x-70) - Nullstellen Bahn gegeben durch drei Punkte Hochpunkt Steigung beim Abschuss …

81 Der Einfluss des Luftwiderstandes
Experimente von John Wesson (Britain) in seinem Buch: „The Science of soccer“ Der Luftwiderstand des Balls ist direkt proportional zur Geschwindigkeit des Balls (nicht quadratisch). Daher: Einfaches Modell

82 Einige Grundlagen: Beschreibung der Bewegung durch die Zeit-Ort-Funktion s(t) Die Geschwindigkeit v(t) ist die Ableitung von s(t) (angenähert der Differenzen-quotient). Die Beschleunigung a(t) ist die Ableitung von v(t) (angenähert der Differenzen-quotient).

83 Ausgangspunkt ist die Beschleunigung
Üblich ist die Beschreibung der Bahn durch die Beschleunigung und Ziel ist die anschließende Lösung der Differentialgleichung. Mit Hilfe der Differenzenquotienten kann auch simuliert werden.

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85 vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t)) vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t))
Modellbeschreibung ax(t) = -r*vx(t) ay(t) = -g – r*vy(t) vx(t+h) = vx(t) + h*(-r*vx(t)) vy(t+h) = vy(t) + h*(-g – r*vy(t)) sx(t+h) = sx(t) + h*vx(t) sy(t+h) = sy(t) + h*vy(t) Beschleunigung für x und y-Koordinate. Berechnung der Geschwindigkeit Berechnung der Zeit-Ort-Funktion Anfangswerte v(0)=(v0*cos(w) , v0*sin(w)) s(0)=(0 / 0)

86 Spalte A: Konstante: v0=30 (m/s) w=43 (Winkel) r=0.3 (Konstante Widerstand) h=0.1 (Schrittweite) Berechnung Geschwindigkeit Spalte B: =v0*cos(w) =b1+h*(-r*b1) =b2+h*(-r*b2) …. Spalte C: =v0*sin(w) =c1+h*( r*c1) =c2+h*( r*c2)

87 Calculation of position:
Column D: = (start of motion) =d1+h*b1 =d2+h*b2 …. Column E: =0 =e1+h*c1 =e2+h*c2

88 Streu-Plot von (sx/sy).
Verkürzung im abfallenden Teil

89 Lösung der Differentialgleichung
Lösung der Differentialgleichung mit dem CAS-System im Calculator-Fenster, getrennt x- und y-Koordinate: Aus ax=vx´=-r*vx mit den Anfangswerten erhält man vx Zweiter Schritt von vx zu sx(t) Anfangsbedingung Lösung

90 Analog für die y-Koordinate:

91 Daraus kann eine Funktion f(x) für die Bahn berechnet werden:

92 Experimentieren it dem Graphen von f(x):
Durch Wahl der Konstanten können die Charakteristika der Bahn untersucht werden.