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Veröffentlicht von:Gereon Rathel Geändert vor über 9 Jahren
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Sekante - Tangente P(x0/f(x0) Q(x0+Δx/f(x0+ Δx)) Sekante Tangente
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Q Q wandert gegen P Sekante wird zur Tangente Δy P Δx Δx Δx
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Q Steigungsdreieck Δy P Δx
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Steigungsdreieck Q Δy P Δx
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Steigungsdreieck Q Δx Δy P
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Δx Δy P Tangentensteigung Δx geht gegen Null!!! ???
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P(x0/f(x0)) Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx)) Sekante Tangente f(x0+ Δx) f(x0) Δx x0
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P(x0/f(x0)) Q(x0+Δx/ f(x0+ Δx)) Sekante Tangente f(x0+ Δx) f(x0) Δx x0
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Einführung der Differentialrechnung von G.W. Leibniz
Trick: Δx ist nicht gleich Null Δx geht gegen Null!!! So wird vermieden, dass der Nenner des Bruches Δy/Δx Null wird. Berechnung der Tangentensteigung G.W. Leibniz
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Einführung der Differentialrechnung von Isaac Newton
Entwickelt die Differentialrechnung ausgehend vom Problem der Momentangeschwindigkeit Gleichförmige Bewegung: v = s/t = konstant Ungleichförmige Bewegung: Durchschnittliche Geschwindigkeit I. Newton „Differenzenquotient“
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Anstieg der Tangente = Momentangeschwindigkeit
Zeit t Weg s Δt Δs Anstieg der Sekante: Durchschnittsgeschwindigkeit Anstieg der Tangente= Momentangeschwindigkeit:
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Definition der Momentangeschwindigkeit
Die Funktion f: R→R, s=f(t) beschreibt die Abhängigkeit des Weges von der Zeit t. Der folgende Grenzwert ergibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0:
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Zeit t Weg s Δt Δs f(t0+Δt) f(t0) t0 t0+Δt 0← Δt
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Kurvendiskussion Spezielle Punkte der Kurve sind Nullstellen: y = 0
Schnittpunkte mit der x-Achse Extremstellen: Lokale Maxima und Minima Wendepunkte
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Lokales Maximum y‘=0 y‘‘<0 Monoton steigend Monoton fallend
Tangentensteigung positiv negativ Tangentensteigung Null y‘‘<0 Tangentensteigung nimmt ab
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Lokales Minimum y‘=0 y‘‘>0 Tangentensteigung Null Tangentensteigung
Negativ Monoton fallend Positiv Monoton steigend Tangentensteigung nimmt zu y‘=0 y‘‘>0
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Wendepunkt y‘‘=0 y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve
Tangentensteigung nimmt ab nimmt zu y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve y‘‘=0 Positive Krümmung Negative Krümmung Wendepunkt Weil sich im Bereich von W die Krümmung (y‘‘) ändert, ist y‘‘‘≠ 0
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