Substitution bei Nullstellen www.matheportal.wordpress.com
Wann wendet man die Substitution an? Das Verfahren der Substitution wendet man an, um Nullstellen von bestimmten ganzrationalen Funktionen (meist) vierten Grades zu bestimmen. Die Funktionen dürfen nur 𝑥 2 und 𝑥 4 (bzw. 𝑥 3 und 𝑥 6 , 𝑥 4 und 𝑥 8 etc. ) in ihrer Funktionsvorschrift enthalten. z.B. Bestimmen Sie die Nullstellen von f(x) = 𝑥 4 − 2 𝑥 2 – 8!
4 Schritte der Substitution 𝑥 4 − 2 𝒙 𝟐 – 8 = 0 (Wenn vor 𝑥 4 ein Faktor steht, muss man erst durch diesen dividieren!) 1. Setzen Sie 𝒛=𝒙 𝟐 , also 𝒛 2 = 𝒙 𝟐 2 =𝑥 2 ∙𝑥²=𝑥 4 ! (Substitution) 𝑧 2 – 2z – 8 = 0 2. Benutzen Sie die p-q-Formel, um die quadratische Gleichung zu lösen! 𝑧 1,2 = − 𝑝 2 ± 𝑝 2 2 −𝑞 =− −2 2 ± 2 2 2 −(−8) = 1± 9 =1 ± 3 𝑧 1 = 1 + 3 v 𝑧 2 = 1 − 3 𝑧 1 = 4 v 𝑧 2 = −2 3. Setzen Sie wieder z = 𝑥 2 ein! (Rücksubstitution) 𝑥 2 = 4 v 𝑥 2 = −2 4. Lösen Sie die Gleichungen nach x auf, indem Sie die Wurzel ziehen! x = 2 v x = −2 v es gibt keine Lösung, da 𝑥 2 immer positiv ist d.h. x = 2 v x = −2 sind die Lösungen der Gleichung!