Berechnung von Extrema mit Vorzeichenwechsel www.matheportal.wordpress.com Parliamo.altervista.org
Theorie f ‘(x0) = 0 Vorzeichenwechsel bei f ‘(x0) von – nach + Tiefpunkt Hochpunkt
Vorzeichenwechsel von – nach + Beispiel 1 f(x) = 4 𝑥 4 + 2 f‘(x) = 16x³ f‘(x) = 0 16x³ = 0 x = 0 f‘(− 1) = 16 ∙ (−1)³ = −16 f‘(1 ) = 16 ∙ 1³ = 16 f(0) = 2 => Tiefpunkt (0/2) Vorzeichenwechsel von – nach + also ein Tiefpunkt
Beispiel 2 f(x) = 0,2 𝑥 5 − 0,25 𝑥 4 f‘(x) = 𝑥 4 − 𝑥 3 f‘(x) = 0 𝑥 4 − 𝑥 3 = 0 x³ ∙ (x − 1) = 0 x = 0 v x = 1 Untersuchung auf VZW bei x = 0: f‘(− 1) = (−1) 4 − (−1) 3 = 1 – ( 1) = 2 f‘(0,5) = (0,5) 4 − (0,5) 3 = − 0,0625 =>VZW von + nach − => Hochpunkt HP(0/0) [ f(0) = 0] Wichtig: Man muss hier Werte wählen, die kleiner als 1 sind, d.h. man darf nicht über die 2. Nullstelle hinausgehen!
Untersuchung auf VZW bei 1 f‘(x) = 𝑥 4 − 𝑥 3 Untersuchung auf VZW bei x = 1: f‘(0,5) = − 0,0625 f‘(2) = 8 =>VZW von − nach + =>Tiefpunkt f(1) = − 0,325 Auch hier darf man links nicht kleiner als 0 werden. f hat den TP(1/-0,325) und den HP(0/0)