Analysis IV: Spezielle Funktionen

Präsentation zum Thema: "Analysis IV: Spezielle Funktionen"—  Präsentation transkript:

1 Analysis IV: Spezielle Funktionen
1. Sinusfunktion 2. Cosinusfunktion 3. Ableitungsregeln 2 4. Tangensfunktion 5. Exponentialfunktion 6. Logarithmusfunktion 7. Gebrochen rationale Funktionen

2 1. Sinusfunktion f(x) = sin(x)
(sin(x))‘ = cos(x) Nullstellen: xn = k·p ; k ∈ Z Extremalstellen: xn = p/2 + k·p ; k ∈ Z Wendestellen: xn = k·p ; k ∈ Z

3 2. Cosinusfunktion f(x) = cos(x)
(cos(x))‘ = -sin(x) Nullstellen: xn = p/2 + k·p ; k ∈ Z Extremalstellen: xn = k·p ; k ∈ Z Wendestellen: xn = p/2 + k·p ; k ∈ Z

4 3. Ableitungsregeln 2 (1) Potenzregel (2) Summen- und Konstantenregel
f(x) = xn f(x) = a·g(x) + b·h(x) f‘(x) = n·xn-1 f‘(x) = a·g‘(x) + b·h‘(x) (3) Produktregel f(x) = 2x · sin(x) f(x) = g(x) · h(x) f‘(x) = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) f‘(x) = 2 · sin(x) + 2x · cos(x) (4) Quotientenregel (5) Kettenregel

5 4. Tangensfunktion f(x) = tan(x)
Polstellen: p/2 + k·p ; k ∈ Z keine Extremalstellen Wendestellen: k·p ; k ∈ Z 1. Ableitung mit Quotientenregel: Integral mit logarithmischer Integration:

6 5. Exponentialfunktion f(x) = ex
Ableitung der allgemeinen Exponentialfunktion f(x) = ax mit a ∈ R: Wie ist a ∈ R zu wählen, damit (ax)‘ = ax d.h. (ex)‘ = ex Da ex ≠ 0 für alle x ∈ R gilt: f(x) = ex hat keine Nullstellen, keine Extremalstellen und keine Wendestellen.

7 6. Logarithmusfunktion f(x) = ln(x)
Die Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion f(x) = ex: geometrisch: Spiegelung an der Geraden y = x analytisch: Vertauschung von x-Wert mit y-Wert: f(x) = ln(x) ist definiert für x > 0 Ableitung der Funktion f(x) = ln(x): Integral der Funktion f(x) = ln(x) für x > 0: partielle Integration: Die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x) hat eine Nullstelle x = 1, hat keine Extremalstelle und keine Wendestelle.

8 7. Gebrochen rationale Funktionen
Polstellen: h(x) = 0 und g(x) ≠ 0 Nullstellen: g(x) = 0 und h(x) ≠ 0: Verhalten für x → ± ∞ (Asymptote) Extremalstellen: f‘(x) = 0 (Quotientenregel) Wendestellen: f‘‘(x) = 0 (Quotientenregel)