Abiturprüfung Mathematik 2017 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Wahlteil Analysis A 1 Lösungen der Aufgaben A 1.1 und A 1.2 klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Aufgabe A 1.1 Die Anzahl der Käufer einer neu eingeführten Smartphone-App soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Änderungsrate beschrieben durch die Funktion 𝑓 mit 𝑓 𝑡 =6000⋅𝑡⋅ 𝑒 −0,5𝑡 ; 𝑡≥0 (𝑡 in Monaten nach der Einführung, 𝑓(𝑡) in Käufer pro Monat).

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Zuerst werden nur die ersten zwölf Monate nach der Einführung betrachtet. Geben Sie die maximale momentane Änderungsrate an. Bestimmen Sie den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate größer als 4000 Käufer pro Monat ist. Bestimmen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate am stärksten abnimmt bzw. zunimmt. (4,5 VP) Zeigen Sie, dass für 𝑡>2 die Funktion 𝑓 streng monoton fallend ist und nur positive Werte annimmt. Interpretieren Sie dies in Bezug auf die Entwicklung der Käuferzahlen. (4 VP)

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Ermitteln Sie die Gesamtzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung der App. Bestimmen Sie den Zeitraum von zwei Monaten, in dem es 5000 neue Käufer gibt. (3,5 VP) Bei einer anderen neuen App erwartet man maximal 30 000 Käufer. In einem Modell soll angenommen werden, dass sich die Gesamtzahl der Käufer nach dem Gesetz des beschränkten Wachstums entwickelt. Sechs Monate nach Verkaufsbeginn gibt es bereits 20 000 Käufer. Bestimmen Sie einen Funktionsterm, welcher die Gesamtzahl der Käufer in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. (3 VP)

𝑓 𝑡 =6000⋅𝑡⋅ 𝑒 −0,5𝑡 Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Lösung Aufgabe 1.1 a) Maximale momentane Änderungsrate Geben Sie den Funktionsterm zunächst bei Y1 im Y-Editor des GTR ein und lassen Sie sich den Graphen im 𝑥-Intervall 0;12 und im 𝑦-Intervall 0;6000 zeichnen. Anschließend können Sie mit 2ND CALC maximum das Maximum bestimmen und erhalten aufgerundet 4415. Ergebnis: Die maximale momentane Änderungsrate beträgt 4.415 Käufer pro Monat.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Zeitraum für Änderungsrate >= 4000 Für die nächste Teilaufgabe geben Sie im Y-Editor bei Y2 den konstanten Wert 4000 ein und lassen sich die beiden Graphen nochmals zeichnen. Mit 2ND CALC intersect bestimmen Sie den linken und den rechten Schnittpunkt der beiden Graphen. Sie erhalten 𝑡 1 =1,24 und 𝑡 2 =3,02. Ergebnis: Im Zeitraum zwischen 1,24 und 3,02 Monaten nach Einführung der App ist die momentane Änderungsrate größer als 4.000 Käufer pro Monat.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Stärkste Ab- und Zunahme der Änderungsrate Die stärkste Ab- bzw. Zunahme der momentanen Änderungsrate bekommen wir über den Tief- bzw. Hochpunkt der ersten Ableitung. Hierfür geben Sie im GTR bei Y2 den Ausdruck für die erste Ableitung ein und lassen Sie sich den Graphen zeichnen. Beachten Sie, dass es sich bei der stärksten Zunahme nicht um einen Wendepunkt handelt! Die stärkste Zunahme findet sich in der Ableitungskurve am linken Rand, da dort die Ableitung (also die Steigung von𝑓 𝑥 ) den höchsten Wert hat. Ergebnis: Der Zeitpunkt der stärksten Abnahme liegt im vierten Monat nach Einführung der App, während die stärkste Zunahme gleich zu Beginn der Einführung stattfindet.

𝑓 𝑡 =6000⋅𝑡⋅ 𝑒 −0,5𝑡 Wahlteil 2017 – Analysis A 1 b) Streng monotone Abnahme für 𝒕>𝟐 Wir prüfen, ob 𝑓 ′ 𝑡 <0 gilt: 𝑓 ′ 𝑡 =6000 𝑒 −0,5𝑡 +6000𝑡⋅ −0,5 ⋅ 𝑒 −0,5𝑡 =6000 𝑒 −0,5𝑡 ⋅ 1−0,5𝑡 Für alle 𝑡 ist 6000 𝑒 −0,5𝑡 >0. Für 𝑡>2 ist 1−0,5𝑡 <0. Folglich ist auch 𝑓’ 𝑡 <0 für 𝑡>2. Da für 𝑡>2 sowohl 𝑡 als auch 𝑒 −0,5𝑡 positiv sind, gilt dies auch für 𝑓(𝑡). Ergebnis: Für 𝑡>2 gilt 𝑓’ 𝑡 <0 und folglich ist 𝑓(𝑥) für 𝑡>2, wie behauptet, streng monoton fallend und 𝑓(𝑡) nimmt nur positive Werte an.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Interpretation: Die momentane Änderungsrate ist im gesamten Betrachtungszeitraum positiv, ist aber ab dem zweiten Monat nach Einführung der App rückläufig. Das bedeutet, dass nach dem zweiten Monat die Käuferzahlen zwar immer noch zunehmen, aber jeden Monat weniger neue Käufer hinzukommen.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 c) Anzahl der Käufer sechs Monate nach Einführung Die gesuchte Anzahl ergibt sich aus dem Integral 0 6 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 . Zur Berechnung mit dem GTR geben Sie hierzu den Ausdruck aus der nebenstehenden Abbildung ein. Ergebnis: Sechs Monate nach Einführung haben 19.221 Personen die App gekauft.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Zweimonatiger Zeitraum mit 𝟓.𝟎𝟎𝟎 neuen Käufern Wir bezeichnen den noch unbekannten Startzeitpunkt mit 𝑇. Zwei Monate später bedeutet folglich 𝑇+2. Wir haben also die Gleichung 𝑇 𝑇+2 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =5000 zu lösen. Geben Sie das Integral bei Y2 im GTR ein, den Wert 5000 bei Y3 und lassen Sie sich die beiden Graphen zeichnen. Mit 2ND CALC intersect bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Kurven bei 𝑥≈3,98. Ergebnis: Im Zeitraum von 3,98 bis 5,98 Monaten nach Einführung kaufen 5.000 Personen die App.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 d) Funktionsterm für Käuferzahlen der neuen App Das Gesetz für größenbeschränktes Wachstum lautet 𝑓 𝑡 =𝑆−𝑐 𝑒 −𝑘𝑡 mit 𝑆 als oberer Schranke und 𝑘 als Wachstumskonstante. 𝑆=30000 ist in der Aufgabenstellung bereits gegeben. Da zum Zeitpunkt 𝑡=0 noch nichts verkauft wurde gilt 𝑓 0 =30000−𝑐 𝑒 −𝑘⋅0 =0 also 30000−𝑐=0 und damit 𝑐=30000. Wir haben nun 𝑓(𝑡)=30000−30000 𝑒 −𝑘𝑡 . Was uns noch fehlt ist die Wachstumskonstante 𝑘. Aus der Aufgabenstellung wissen wir, dass 𝑓 6 =20000 gilt.

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 30000−30000 𝑒 −𝑘⋅6 =20000 |−30000 −30000 𝑒 −𝑘⋅6 =−10000 |: −30000 𝑒 −𝑘⋅6 = 1 3 | ln −6𝑘= ln 1 3 |: −6 𝑘= ln 1 3 −6 ≈0,1831 Ergebnis: Die Anzahl der Käufer der zweiten neuen App entwickelt sich nach der Funktion 𝑓(𝑡)=30000−30000 𝑒 −0,1831𝑡 .

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Aufgabe A 1.2 Die Funktion 𝑔 ist gegeben durch 𝑔(𝑥)=𝑥− 1 𝑥 3 ; 𝑥≠0.   Die Tangente an den Graphen von 𝑔 im Punkt 𝐵 verläuft durch 𝑃 0 −0,5 . Bestimmen Sie die Koordinaten von 𝐵. (2,5 VP) Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von 𝑔, der den kleinsten Abstand zur Geraden mit der Gleichung 𝑦=2𝑥−1 besitzt. Ermitteln Sie die 𝑥-Koordinate dieses Punktes. (2,5 VP)

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Lösung Aufgabe 1.2 a) Koordinaten des Punktes 𝑩 Der Punkt 𝐵 habe die Koordinaten 𝐵 𝑢 𝑔 𝑢 . Tangentenformel: 𝑦=𝑔‘( 𝑥 0 )(𝑥− 𝑥 0 )+𝑔( 𝑥 0 ). Mit 𝑔 𝑥 =𝑥− 1 𝑥 3 =𝑥− 𝑥 −3 folgt 𝑔 ′ 𝑥 =1+3 𝑥 −4 =1+ 3 𝑥 4 . Wir haben also 𝑔 𝑢 =𝑢− 1 𝑢 3 und 𝑔 ′ 𝑢 =1+ 3 𝑢 4 . Eingesetzt in die Tangentenformel ergibt sich: 𝑦= 1+ 3 𝑢 4 (𝑥−𝑢)+𝑢− 1 𝑢 3

𝑦= 1+ 3 𝑢 4 (𝑥−𝑢)+𝑢− 1 𝑢 3 𝑔(𝑥)=𝑥− 1 𝑥 3 Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Die Tangente geht durch 𝑃 0 −0,5 . Die 𝑥- und 𝑦-Koordinate setzen wir in die Tangentenformel ein und erhalten: −0,5= 1+ 3 𝑢 4 −𝑢 +𝑢− 1 𝑢 3 ⟺ −0,5=−𝑢− 3 𝑢 3 +𝑢− 1 𝑢 3 =− 4 𝑢 3 ⇔ 1 8 = 1 𝑢 3 ⇔𝑢=2 Mit 𝑢=2 folgt 𝑔 𝑢 =𝑔 2 =2− 1 8 =1,875. Ergebnis: Der Punkt 𝐵 hat die Koordinaten 𝐵 2 1,875 .

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 b) Punkt auf 𝒈 mit kleinsten Abstand zur Geraden 𝒉: 𝒚=𝟐𝒙−𝟏 Durch Gleichsetzen von 𝑔 mit ℎ, stellen wir fest, dass die resultierende Gleichung hat keine Lösung. Damit ist sichergestellt, dass der kleinste Abstand von 𝑔 zu ℎ nicht Null ist. Wenn man nun ℎ parallel verschiebt, so dass ℎ irgendwann den Graphen von 𝑔 berührt (also zur Tangente wird), so ist der Berührpunkt 𝐵 𝑢|𝑓 𝑢 zwangsläufig derjenige mit dem kleinsten Abstand zu ℎ. Damit wissen wir, dass die Tangente in 𝐵 die Steigung 2 hat, dass also 𝑔’ 𝑢 =2 gelten muss. Mit 𝑔 ′ 𝑢 =1+ 3 𝑢 4 =2 folgt 3 𝑢 4 =1 ⟺ 𝑢 4 =3 ⟺ 𝑢 1 ≈1,32; 𝑢 2 =−1,32

Wahlteil 2017 – Analysis A 1 Dies sind unsere beiden Kandidaten für die Lösung. Da 𝑔 𝑥 punktsymmetrisch ist (wegen 𝑔 −𝑥 =−𝑔 𝑥 ) und die Gerade ℎ unterhalb des Ursprungs verläuft, liegt sie näher an 𝐵 1 als an 𝐵 2 . Ergebnis: Der Punkt mit der 𝑥-Koordinate 𝑥=1,32 ist derjenige auf dem Graphen von 𝑔, der den kürzesten Abstand zur Geraden 𝑦=2𝑥−1 hat.