in Kunst und Naturwissenschaft Projekt Spiralen in Kunst und Naturwissenschaft
Gliederung 1.0 Vermessung von Schneckenhäusern 1.1 Beispiel zum Bestimmen der Funktion
1.0 Vermessung von Spiralen 0 π → 1 2 π → 1.7 4 π → 3.3
Jedem Winkel wurde ein Abstand zum Mittelpunkt zugeordnet: 1.2 Bestimmen der Funktion Jedem Winkel wurde ein Abstand zum Mittelpunkt zugeordnet: α r (Radius) [f(α)] 1 2 π 1,75 4 π 3,3 6 π 6 Zu 8
f (α) = e ^ (a*α) Exponentielle Spiralen werden durch folgende Funktionsvorschrift beschrieben: f (α) = e ^ (a*α)
f (α) = e ^ (a*α) „e“: „a“: - ist die Eulersche Zahl Sie hat einen Wert von etwa 2,718281828 „a“: - ein Faktor, der entscheidet wie schnell der Radius der Spirale zunimmt
Zunächst müssen die gemessenen Werte in die Funktionsvorschrift eingesetzt werden: f (α) = e ^ (a* α) 1,75 = 2.718281828 ^ (a*2π) → die Gleichung logarithmieren (mit dem Logarithmus naturalis) ln (1,75) = a * 2π * ln (2,718281828) → die Gleichung ausrechnen 0,5596 = a * 2π → die Gleichung nach „a“ auflösen a ≈ 0,0891 zu 5
Da beim ausmessen der Spirale Ungenauigkeiten aufkommen ist der Wert „a“ nicht genau bestimmbar, daher muss ein Mittelwert berechnet werden: α [x] r (Radius) [f(x)] a 2 π 1,75 0,0891 4 π 3,3 0,093 6 π 6 0,095 a ≈ 0,0924
f (α) = e ^ (a * α) f (α) = b ^ α Daraus ergibt sich folgende Funktionsvorschrift: f (α) = e ^ (a * α) f (α) = 2,718281828 ^ (0,0924 * α) Diese Funktionsvorschrift wird noch in die Form f (α) = b ^ α übersetzt.
f (α) = 1,1 ^ α f (α) = e ^ (a * α) f (α) = (e ^ a) ^ α 3. Potenzgesetz: a^ n*m = (a^n)^ m f (α) = (2,718281828 ^ 0,0924) ^ α f (α) = 1,1 ^ α
1.3 Quellen: http://www.grafnet.com.pl/Nils%20Patterns%202.1/Spiralen.htm Derive 5
Ergebnis einer wie vorher beschriebenen Vermessung. (Hinzugefügt von Dr. Norbert Gassel)