Miriram Sorgenfrei, Fabio Schlindwein, Janik Prottung Sphärische Geometrie Jetzt geht’s rund! Modulfest 2010 Miriram Sorgenfrei, Fabio Schlindwein, Janik Prottung 1

Wundern Sie sich auch...? ...weshalb Flugzeuge auf der Strecke von Berlin nach L.A. einen Bogen fliegen und Weshalb sie nicht die scheinbar direkte Strecke nehmen? 2

Euklid is out Euklid von Alexandria 3

Fachbegriffe Die Sphäre ist die Menge aller Punkte des Raumes, die von O den Abstand r haben. Großkreis heißen alle Kreise der Sphäre mit O als Mittelpunkt. o r 4

Fachbegriffe Der Abstand zwischen den sphärischen Punkten A und B entspricht dem kürzeren Teil der Großkreises durch A und B. Diametrale Punkte sind zwei Punkte A und B, zwischen denen die beiden Großkreis- abschnitte genau gleich lang sind. A B A B 5

Zweiecke zwei verschiedene Geraden schneiden sich in genau zwei Punkten auf der Kugel Zweiecke (gibt es in der Ebene nicht) zwei Großkreise zerlegen Kugeloberfläche in 4 Kugelzweiecke (paarweise kongruent) Eigenschaften: 2 Ecken, 2 gleiche Seiten,2 gleiche Winkel 6

Sphärische Dreiecke Sphärische Dreiecke sind Flächenstücke der Sphäre, die durch drei Großkreisbögen begrenzt sind Durch drei Großkreisbögen können auf der Sphäre vier verschiedene Dreiecke entstehen 7

Das Poldreieck Spezielles Dreieck auf der Erdoberfläche Eine der Ecken liegt auf dem Nord- oder Südpol der Erde Dient zur Berechnung von Entfernungen 8

Dreiecke Zweieck AA' +Zweieck BB' +Zweieck CC' -2Dreieck ABC Dreiecke mal genauer anschauen(bez. Auf fläche) Ebene erklären sphäre erklären Warum so ne formel  nächste folie

Dreieck mit drei 90° Winkeln Dreiecke mehr als 180° warum das  nächste folie

Axiomatik Euklids Axiome: 1. Je zwei verschiedene Punkte sind durch eine Gerade verbindbar. 2. Jede Gerade ist „unbegrenzt“. 3. Man kann Abstände antragen. 4. Alle rechten Winkel sind gleich. 5. Zwei ebene nicht-parallele Geraden schneiden sich. Was sind axiome  axiome erklären Einzeln vorlesen Letztes besonders betonen

Bedeutung des Parallelenaxioms Abänderung des Axioms:  Es gibt keine Parallelen Entstehung der nicht-euklidischen Geometrie Änderung des letzten  kugelgeometrie

Rechnung Beispiel: N: Nordpol Erdradius: 6370 km A: Los Angeles B: Frankfurt

Die Gleichung mit eingesetzten Variablen Rechnung Die Gleichung mit eingesetzten Variablen

Errechnung der Stecke mit dem Bogenmaß: Die Entfernung zwischen Los Angeles und Frankfurt beträgt ca. 9291,1 km.

Ausblick Zu der nicht-euklidischen Geometrie gehören auch Noch andere Geometrien, Wie z. B. die Hyperbolische Geometrie