Vorlesung Geoinformation I WS 99/00 Musterlösung für die Probeklausur am 6.1.2000

Lösung der Aufgabe 1: Die Erweiterung des Diagramms auf „Winged Egde“ besteht in zwei Beziehungen, nr-Kante und vl-Kante, zwischen der Klasse Kante. Jede Kante hat einen Verweis auf ihre nr-Kante (nächste Kante im Umring der rechten Masche) und auf ihre vl-Kante (vorherige Kante im Umring der linken Masche). Jede Kante hat genau eine vl- und genau eine nr-Kante und ist zugleich nur einmal vl- bzw. nr- Kante einer anderen Kante; daher sind die Multiplizitäten an der Beziehung jeweils „1“. Es ist hier nicht notwendig, neue Klassen einzuführen; der Unterschied zwischen der Knoten-Kanten-Struktur und „Winged Edge“ liegt in der Hinzufügung von Beziehungen zwischen existierenden Objekten. 3..* Masche begrenzt 2 Kante 2..* Knoten Punkt Geometrie 1 vl-Kante nr-Kante

Es liegt keine Landkarte vor, da Lösung der Aufgabe 2: Es liegt keine Landkarte vor, da der Knoten A ein isolierter Knoten ist, die Kante B auf beiden Seiten dieselbe Masche hat. Hier liegt ein „Undershoot“ vor: die Kante L ist zu kurz geraten; ein Maschenumring ist nicht geschlossen (alternative Erklärungen: B ist trennende Kante, ein Knoten inzident zu B ist trennender Knoten, oder ein Knoten inzident zu B hat einen Grad von 1) die Kante C eine trennende Kante ist (alternative Erklärung: die Masche, in der C liegt, ist nicht top. Äquivalent zu einer offenen Kreisscheibe), die Kante D einen Schnittpunkt mit einer anderen Kante bildet, der kein Knoten ist. Hier liegt ein „Overshoot“ vor: die Kante ist zu lang geraten. A B C D

Lösung der Aufgabe 3: a) ist topologisch zusammenhängend, da die Kante, die zu der Menge (Rand) gehört, die Teilmengen A und B miteinander verbindet. Jede Zerlegung der Punktmenge in zwei Teilmengen erfüllt die Definition: entweder enthält eine Teilmenge einen Punkt nahe zu der anderen Teilmenge, oder umgekehrt. b) ist ebenfalls top. zusammenhängend; der Berührungspunkt von A und B gehört zu der Menge, da die Teilmenge B geschlossen ist (dass A offen ist, spielt hier keine Rolle) c) ist top. Zusammenhängend; der Berührungspunkt von A und B gehört zu der Menge, da die Teilmengen A und B geschlossen sind. d) ist dagegen nicht top. zusammenhängend: Man kann die Punktmenge disjunkt in A und B zerlegen, so dass weder A einen Punkt nahe zu B enthält, noch B einen Punkt nahe zu A enthält. Der Berührungspunkt von A und B gehört nicht zu der Menge, da beide offen sind. Man kommt von A nicht nach B, da die „Grenze“ nicht zu der Menge gehört: man kommt zwar beliebig nahe an die Grenze heran (sowohl von A als auch von B), aber nicht darüber hinweg. a) b) c) d) A B

Lösung der Aufgabe 4: Es liegt keine Landkarte vor, da die Kante ae eine trennende Kante ist (bzw. a ein trennender Knoten). Die „Masche“ A ist nicht äquivalent zu der offenen Kreisscheibe, da sie keinen einfachen Umring hat; somit ist A keine Masche. (Anmerkung: jeder einzelne der vier Erklärungen ist für sich alleine schon richtig.) das Rechteck fgih eine „Aussparung“ in der „Masche“ B (grau) ist; B ist nicht topologisch äquivalent zu einer offenen Kreisscheibe und somit keine Masche. die Kante dj eine trennende Kante ist. Alternative Erklärung: die Aggregation aller inneren Maschen (A, B, C, D) ist nicht topologisch äquivalent zu einer offenen Kreisscheibe, da sie aus zwei Teilen (A, B,C einerseits, D andererseits) besteht. Die Tabelle ist auf der nächsten Folie wiedergegeben; in der Tabelle zeigt sich der Fehler „trennende Kante“ dadurch, dass auf beiden Seiten einer Kante dieselbe Masche (A bzw. Außen) liegt; bei Landkarten müssen beide Maschen verschieden sein. a b c d e f g h i j k l ab bd dc ca dj Außen A B C D ae

Tabelle (Knoten-Kanten-Struktur) zu Aufgabe 4: Kante Anfangsknoten Endknoten linke Masche rechte Masche ab a b Außen A bd b d Außen B dc d c Außen B ca c a Außen A ae a e A A bc b c B C fg f g B C gi g i B C ih i h B C hf h f B C dj d j Außen Außen jk j k Außen D kl k l Außen D lj l j Außen D

gehe zunächst außen rum (d.h. von A nach D) Lösung der Aufgabe 5: Der optimale Rundweg ist A J K L N O Q R E D C B I M H P F G (unten rot bzw. dicker) und hat die „Länge“ 54. Eine Vorgehensweise, die (nicht nur) in diesem Beispiel gut funktioniert ist die folgende: gehe zunächst außen rum (d.h. von A nach D) gehe dann die inneren Knoten entlang, und zwar so: bilde den Schwerpunkt der konvexen Hülle (d.h. des Polygons des äußeren Wegs) Konstruiere eine Kante (blau) durch diesen Schwerpunkt und den Ausgangspunkt A sortiere die inneren Knoten nach aufsteigender Winkeldifferenz zwischen blau und der Kante zwischen dem Schwerpunkt und dem Knoten (grün) durchlaufe diese Knoten entsprechend der Sortierung. A E Q N L K J R I B C P M G O D F H 3 4 5 2 7 1 9 11 6 12