Diskrete Mathematik II

Präsentation zum Thema: "Diskrete Mathematik II"—  Präsentation transkript:

1 Diskrete Mathematik II
Vorlesung 8 Voronoi-Diagramme

2 Konstruktion des Voronoi-Diagramms
„Divide and Conquer“ Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen, Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

3 Aufteilung der Menge P in P1 und P2
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4 Voronoi-Diagramm von P1
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5 Voronoi-Diagramm von P2
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6 Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge
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7 Konstruktion des trennenden Kantenzuges
Was wissen wir über den trennenden Kantenzug? monoton in Nord-Süd-Richtung jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen einer roten und einer grünen Region Problem: sukzessive Identifikation der benachbarten roten und grünen Punkte die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind unbeschränkt, also Halbgeraden die benachbarten roten und grünen Punkte bilden dort unbeschränkte Voronoi-Regionen sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen konvexen Hülle beginnen wir also mit den beiden Tangenten Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

8 Tangente Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

9 Tangente – konvexe Hülle
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10 Konvexe Hülle Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

11 Eine Tangente T an die Punktmenge P
geht durch zwei Punkte von P teilt die Ebene in zwei Halbebenen so, daß alle Punkte in der gleichen Halbebene liegen die Tangenten bestimmen die Lage der Kanten für die neue konvexe Hülle beider Punktmengen Konstruktion der Tangenten im Detail: später Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

12 Vereinigung Mittelsenkrechte bilden
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13 Vereinigung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

14 Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen
Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

15 Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen
Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neue aktive VR (Voronoi- Region) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

16 Vereinigung Aktive Voronoi-Regionen
Schnittpunkte mit Seg- menten suchen Neue aktive VR Mittelsenkrechte zuwischen den aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

17 Vereinigung Schnittpunkte suchen
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18 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen
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19 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen
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20 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen
Mittelsenkrechte der aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

21 Vereinigung Schnittpunkte suchen
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22 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen
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23 Vereinigung Schnittpunkte suchen Neue aktive VR suchen
Mittelsenkrechte der aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

24 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

25 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

26 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

27 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

28 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

29 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

30 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

31 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Mittelsenkrechte der aktiven VR Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

32 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

33 Vereinigung Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen
Neue aktive VR suchen Verknüpfung mit der Mittel- senkrechten vom Anfang Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

34 Vereinigung Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

35 Löschen der überflüssigen Segmente
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36 Löschen der überflüssigen Segmente
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37 Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P
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38 Datenstruktur für Voronoi-Diagramm
Doppelt verkettete Kantenliste Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

39 Kosten wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges?
Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den benachbarten Voronoi-Regionen Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

40 Länge des Kantenzuges im Worst Case
O(n) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

41 Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case
O(n) Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

42 war jetzt alles umsonst?
O(n) * O(n) = O(n2) ? war jetzt alles umsonst? Kantenzug ist monoton Voronoi-Regionen sind konvex Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

43 Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!
O(n) * O(n) = O(n2) ? Keine Kante öfter als zwei mal anfassen! Voronoi-Regionen sind konvex Kantenzug ist monoton Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung

44 „Investitionen müssen sich amortisieren“
Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“ Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten  O(n) Konvexität der Voronoi-Regionen  höchstens zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken! Lutz Plümer - Diskrete Mathematik II - SS Vorlesung 44