Rentenrechnung Miriam Egg, Gloria Urbani

Was ist eine Rente? Kredite werden oft durch Rentenzahlungen beglichen. Dabei zahlt man regelmäßig (monatlich, im Quartal, im Semester oder jährlich) einen Betrag (Rentenrate) in der selben Höhe und im gleichen Zeitabstand.

Was macht man bei der Rentenrechnung? Die Aufgabe der Rentenrechnung ist es, den Gesamtwert der Rentenraten für einen bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln. (Zeitpunkt 0;1;2 ..) Damit kann man Angebote vergleichen und sich für das Bessere entscheiden.

Ausdrücke und Abkürzungen Rentenrate = R  Höhe der einzelnen Zahlungen Rentenperiode  Zeitabschnitt zwischen 2 Raten Rentendauer n  Anzahl der Rentenperioden Ganzjährige Rente  Jahr Unterjährige Rente Semester, Quartal, Monat Vorschüssige Rate  am Ende jeder Rentenperiode Nachschüssige Rate  am Anfang jeder Rentenperiode

Formelübersicht Nachschüssig: Vorschüssig: Barwert  Bn= R 1+i n 1+i n−1 i Endwert  En =R 1+i n−1 i Vorschüssig: Barwert  Bn= R 1+i n_1 1+i n−1 i Endwert  En =R 1+i 1+i n−1 i

Beispielübersicht Beispiel 1  Endwert und Barwert Beispiel 2  Unterjährige Rente Beispiel 3  Rentendauer n ausrechnen Beispiel 4  Rate ausrechnen Beispiel 5  Rentenumwandlung

Beispiel 1 Barwert + Endwert Wie groß sind der Bar- und der Endwert einer nachschüssigen/vorschüssigen Jahresrente mit: Rente: € 15.000,00 Periode: 25 Jahre Zinssatz: 5% p.a.

Lösung 1- nachschüssig Endwert: En =R 1+i n−1 i En =15000 1+0,05 25−1 i En = 715.906,48 € Barwert: Bn= R 1+i n ∗ 1+i n−1 i Bn= 15000 1+0,05 25 ∗ 1+0,05 25−1 0,05 Bn = 211.409,17 €

Lösung 1 - vorschüssig Endwert: En =R(1+i) 1+i n−1 i En =15000(1+0,05) 1+0,05 25−1 0,05 En = 751.701,81 € Barwert: Bn= R 1+i n_1 ∗ 1+i n−1 i Bn= 15000 1+0,05 25−1 ∗ 1+0,05 25−1 0,05 Bn= 221.979,63 €

Beispiel 2 unterjährig Am Ende eines jeden Halbjahres werden durch 4 Jahre 2000,- bei i = 3% p.a. (effektiv) auf ein Sparkonto gelegt. Wie groß ist das Kapital nach 4 Jahren? R: 2000 halbjährig nachschüssig n: 4*2=8 Halbjahre i: 0,03

Lösung 2 Schritt 1: (1+i2)2 = 1,03 1+i2 = 2 1,03 i2 = 0,014889157 …  store Schritt 2: En =R 1+i n−1 i En =4000 1+0,014889157 .. 8−1 0,014889157 .. En = 16.859,09

Beispiel 3 Periode ausrechnen Eine nachschüssige Jahresrente von 5400,- hat bei jährlich 5%iger Verzinsung einen Endwert von 178.980,-. Wie lange wird die Rente ausbezahlt?

Lösung 3 En =R 1+i n−1 i /*i En*i = R * [(1+i)n-1] /:R 𝐸𝑛∗𝑖 𝑅 = (1+i)n -1 /+1 𝐸𝑛∗𝑖 𝑅 + 1 = (1+i)n log( 𝐸𝑛∗𝑖 𝑅 + 1) = log (1+i)n log( 𝐸𝑛∗𝑖 𝑅 + 1) = n * log (1+i) n = log ( 𝐸𝑛∗1 𝑅 +1) log (1+𝑖) = log ( 178980∗0,05 5400 +1) log 1,05 = 20,03

Beispiel 4 Rate ausrechnen Barwert: 50.000,- i = 6% n = 10 Jahre R = ?

Lösung 4 Bn= R 1+i n ∗ 1+i n−1 i 50000= R 1+0,06 10 ∗ 1+0,06 10−1 0,06 R = 50000/ ( 1+0,06 10−1 0,06 )* 1+0,06 10 R = 6793.40

Beispiel 5 Rentenumwandlung Eine vorschüssige Rente von 3.000 durch 13 Jahre soll bei i = 3% in eine 3 Jahre später beginnende ebenfalls vorschüssige Rente durch 17 Jahre umgewandelt werden. Wie hoch ist die neue Rate?

Lösung 5 Rentenumwandlung 13 Jahre ist die Laufzeit und die neue Rente soll 3 Jahre später anfangen. Man muss daher… 1. Barwert für Zeitpunkt 0 ausrechnen 2. Auf 3 Jahre aufzinsen dann hat man Barwert für die 17 jährige Rente 3. Aus der Gleichung von der vorschüssigen Rente rechnet man sich dann R aus !

Lösung 5 Rentenumwandlung = 2,647.96 =32.862*1,033= 35. 909,20 Man rechnet sich R aus (Gleichung umformen)