Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017 Blitzlichter auf … …erstaunliche geometrische Sätze zum Experimentieren und Beweisen Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017

Blitzlichter auf … …erstaunliche geometrische Sätze zum Experimentieren und Beweisen Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Thomas Müller KPH Wien/Krems Tag der Geometrie TU Graz, 20. April 2017

Herausforderungen begegnen PL-Kompetenzen erwerben Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Ana KUZLE und Regina BRUDER, Heft 196, Juni 2016 Problemlösen Herausforderungen begegnen PL-Kompetenzen erwerben … an kleinen „Forschungsprojekten“ Selbstsicherheit erwerben … Schritt 1: vertraut werden mit Problem … durch Skizzieren, Zeichnen, Ausprobieren … Variation von Parametern Auswirkungen beobachten „experimentieren“  Erkenntnisse gewinnen Schritt 2: begründen, beweisen

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten Publ. 1731, posthum* * Lit.: http://mathworld.wolfram.com/VarignonsTheorem.html

Das Bild allein macht noch nicht die Geometrie aus, Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Das Bild allein macht noch nicht die Geometrie aus, sondern erst die Verknüpfung des Bildes mit logischen Schlussweisen, so dass das Bild letztlich nur als Inspiration fungiert sowie als Kontrolle für unsere Überlegungen. Hellmuth Stachel, 2014 Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum Lit.: http://mathworld.wolfram.com/VarignonsTheorem.html

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt ein Parallelogramm. Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum Hilfe 1: Eine Diagonale einzeichnen. Rückführen auf Bekanntes. 1. Strahlensatz (Umkehrung)

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt ein Parallelogramm. Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum a, b, c, d … VEKTOREN c „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektor-rechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f d b a Vgl. z.B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12.78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt ein Parallelogramm. Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum C a, b, c, d … VEKTOREN c 2a + 2b „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektor-rechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f d b A a AC = 2a + 2b Vgl. z.B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12.78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt ein Parallelogramm. Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum C a, b, c, d … VEKTOREN c 2a + 2b „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektor-rechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f 2c + 2d d b A a AC = 2a + 2b = 2d + 2c Vgl. z.B. die Schulbücher: Malle|Woschitz|Koth|Salzger: Mathematik verstehen 5, öbv, Bsp 12.78 oder: Brand|Dorfmayr|Lechner |… : Thema mathematik 5, veritas, Bsp 1151

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt ein Parallelogramm. Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum C a, b, c, d … VEKTOREN c d + c 2a + 2b „Jedoch sollten Schülerinnen und Schüler anhand geeigneter Beispiele die Erfahrung machen, dass die Vektor-rechnung Lösungswege zur Verfügung stellt, die es Ihnen ermöglicht, vorher nur schwer zugängliche Probleme zu lösen.“ Andreas FILLER in „Was ist neu in der Sek II?“ mathematik lehren 196, p34f 2c + 2d a + b d b A a AC = 2a + 2b = 2d + 2c a + b = d + c

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum e Was lässt sich über Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms aussagen? f u = e + f

Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Publ. 1731, posthum e Was lässt sich über Umfang und Flächeninhalt des Parallelogramms aussagen? f u = e + f 2.Avar = A4

Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Ferdinand WITTENBAUER (1857 – 1922, TU Graz) Seitendrittelpunkte … Viertelspunkte usw? Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at

Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum?

Gilt der Satz auch im Raum? Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz auch im Raum?

Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum?

Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? JA Gilt dies auch für die Existenz des WITTENBAUER-Parallelogramms?

Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Bei jedem allgemeinen Viereck bilden die Mittelpunkte der vier Seiten ein Parallelogramm. Gilt der Satz von VARIGNON auch im Raum? JA Gilt dies auch für die Existenz des WITTENBAUER-Parallelogramms? NEIN

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665)

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665)

60° + γ ° = γ ° + 60° Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) γ ° 60° 60° 60° + γ ° = γ ° + 60°

60° + γ ° = γ ° + 60° Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) γ ° 60° 60° 60° + γ ° = γ ° + 60°

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Punkt von FERMAT Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Punkt von FERMAT TORRICELLI

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Pierre FERMAT (1607 – 1665) Punkt von FERMAT = X13 X1 = Inkreismittelpunkt X2 = Schwerpunkt X3 = Umkreismittelpunkt X4= Höhenschnittpunkt

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Ludwig KIEPERT (1846 – 1934, DE) Pierre FERMAT (1607 – 1665)  gleichschenkelig ähnliche Dreiecke

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. Vorbereitung …

90° + γ ° = γ ° + 90° Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. 90° Vorbereitung … γ ° 90° 90° + γ ° = γ ° + 90° Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at

Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. 90° γ ° 90° Quadratmittelpunkte Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at

Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. 90° γ ° 90° Quadratmittelpunkte Zentrische Streckung Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at

Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen. 90° γ ° 90° Quadratmittelpunkte Zentrische Streckung Tag der Geometrie 2017, TU Graz | thomas.mueller@kphvie.ac.at

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt  Gleiche Länge Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen.  Gleiche Länge  Orthogonal

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt  Gleiche Länge Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen.  Gleiche Länge  Orthogonal

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt  Gleiche Länge Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen.  Gleiche Länge  Orthogonal

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt  Gleiche Länge Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen.  Gleiche Länge  Orthogonal

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt  Gleiche Länge Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen.  Gleiche Länge  Orthogonal

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt  Gleiche Länge Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Die Mittelpunkte der vier Quadrate über den vier Seiten eines allgemeinen Vierecks sind die Ecken eines orthodiagonalen Vierecks mit gleich langen Diagonalen.  Gleiche Länge  Orthogonal

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt

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Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt k (p + k)/2 p p k

Ein Parallelogramm Ein rechter Winkel Ein Fixpunkt Satz von VARIGNON Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt (p + k)/2 h h h p k h

Das Bild allein macht noch nicht die Geometrie aus, Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Das Bild allein macht noch nicht die Geometrie aus, sondern erst die Verknüpfung des Bildes mit logischen Schlussweisen, so dass das Bild letztlich nur als Inspiration fungiert sowie als Kontrolle für unsere Überlegungen. Hellmuth Stachel, 2014 Unterlagen zum Vortrag: http://www.muel.at/person/infos.html

Danke für die Aufmerksamkeit! Satz von VARIGNON Ein Parallelogramm Vom Punkt von FERMAT zum Satz von VAN AUBEL Ein rechter Winkel Schatzinselproblem Ein Fixpunkt Danke für die Aufmerksamkeit! Unterlagen zum Vortrag: http://www.muel.at/person/infos.html