Bin ich fit für die FOS/BOS? Ein Dokument zur Überprüfung und Auffrischung der eigenen Kenntnisse aus der Realschule, von Vanessa Hornung Hier geht’s los!

Terme Lineare und Quadratische Funktionen Aufbau des Zahlensystems Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln Terme Gleichungen und Ungleichungen Lineare und Quadratische Funktionen

Aufbau des Zahlensystems Grundbegriffe Zahlenmengen Grundrechenarten Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grundbegriffe Ich kenne die Begriffe Summe, Summand, Differenz, Minuend, Subtrahend, Faktor, Dividend, Divisor und Quotient Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grundbegriffe Addition: Summand+Summand=Summe Subtraktion: Minuend-Subtrahend=Differenz Multiplikation: Faktor Faktor=Produkt Division: Dividen:Divisor=Quotient 11 13 17 21 22 30 33 57 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Zahlenmengen Ich kenne die verschiedenen Zahlenmengen die ich in der Realschule gelernt habe (Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen und reelle Zahlen) Ich kann rationale Zahlen sowohl in Bruchschreibweise als auch in Dezimalschreibweise darstellen und in die jeweils andere Schreibweise umwandeln Ich kenne und verstehe den Begriff „Betrag einer Zahl“ Zurück zum Start Eine Seite zurück

Die verschiedenen Zahlenmengen In der Mathematik werden verschiedene Zahlenmengen verwendet. In der Schule verwendet man die natürlichen Zahlen IN, die ganzen Zahlen ℤ, die rationalen Zahlen Q und die reellen Zahlen IR. Die natürlichen Zahlen: Mit den natürlichen Zahlen kann man Dinge wie Flaschen, Birnen oder Menschen zählen. Dabei kann man bis ins unendliche „zählen“, das heißt, dass unendlich große Zahlen enthalten sind. Jedoch ist keine Zahl unter eins enthalten. Eine Ausnahme bildet die Null, dies ist jedoch definitionsabhängig, die Zahlenmenge kann dann N0 heißen. IN={1;2;3;…} Die ganzen Zahlen: Die ganzen Zahlen umfassen alle natürlichen Zahlen mit Null, aber zusätzlich zu diesen noch diejenigen Zahlen, die entstehen, wenn man die natürlichen Zahlen mit einem negativen Vorzeichen versieht. ℤ={…;-3;-2;-1;0;1;2;3;…} Die rationalen Zahlen (Q): Die rationalen Zahlen sind die Zahlen, die sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Dabei darf der Nenner nicht Null sein. Jede ganze Zahl ist eine rationale Zahl, da man sie als Bruch mit dem Nenner 1 darstellen lässt. Die reellen Zahlen (IR): Die reellen Zahlen sind alle rationalen Zahlen, erweitert um die irrationalen Zahlen (unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche). Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rationale Zahlen in Bruch- und Dezimalschreibweise Bei Dezimalzahlen stehen links vom Komma die Einer, Zehner, Hunderter usw., rechts vom Komma die Zehntel, Hundertstel usw.. Beim Umwandeln von Dezimalschreibweise in Bruchschreibweise kann man die Zehntel, Hundertstel, usw. in den Nenner schreiben. So ist 0,1 = oder 0,36 = . Auf diesem Weg kann man jede Dezimalzahl in einen Bruch umwandeln oder jeden Bruch mit einer Zehnerstufenzahl als Nenner in eine Dezimalzahl. Nur ist dies leider nicht bei jedem Bruch möglich. Manche Brüche lassen sich auf Zehnerpotenzen erweitern, doch auch das ist nicht immer umsetzbar. In diesen Fällen kannst du den Zähler durch den Nenner dividieren, das Ergebnis ist die Dezimalschreibweise des Bruches. So ist Periodische Dezimalzahlen wandelt man in Brüche um, indem man die gegebene Zahl ohne Komma schreibt, den nicht periodischen Teil abzieht und das in den Zähler schreibt. In den Nenner schreibt man so viele Neunen, wie die Periode Ziffern hat, danach so viele Nullen, wie der nicht periodische Teil hinter dem Komma hat. So ist Zurück zum Start Eine Seite zurück

Der Begriff Betrag einer Zahl Die Zahlen für die gilt: a>0 werden als positiv bezeichnet. Die Zahlen für die gilt: a<0 werden als negativ bezeichnet. Der (absolute) Betrag einer Zahl stellt ihren Abstand vom Nullpunkt dar. Dementsprechend haben Zahlen wie -3 und 3 denselben Abstand vom Nullpunkt und daher denselben Betrag. Sie sind Gegenzahlen. Der Betrag einer reellen Zahl a ist gleich die Zahl a, wenn . Ist a jedoch negativ, ist ihr Betrag der der Gegenzahl von a. Der Betrag von a wird so dargestellt: IaI a für a>0 IaI= -a für a<0 11 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grundrechenarten Ich kann reelle Zahlen (auch Brüche!) addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Ich weiß in welcher Reihenfolge ich einzelne Rechenoperationen durchführen muss Ich kenne und verstehe das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit reellen Zahlen 13 17 21 37 46 Zwei reelle Zahlen mit gleichem Vorzeichen werden addiert, indem man ihre Beträge addiert und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Vorzeichen versieht. Zwei reelle Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen werden addiert, indem man den vergleichsmäßig kleineren Betrag vom vergleichsmäßig größeren Betrag subtrahiert und mit dem Vorzeichen des Minuenden (dem größeren Betrag) versieht. Wenn beide Zahlen denselben Betrag haben (Gegenzahlen sind), ist das Ergebnis Null. Man subtrahiert eine reelle Zahl von einer anderen, indem man ihre Gegenzahl addiert. Reelle Zahlen mit dem selben Vorzeichen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und das Ergebnis mit einem positiven Vorzeichen versieht. Reelle Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und das Ergebnis mit einem negativen Vorzeichen versieht. Eine reelle Zahl wird durch eine andere reelle Zahl dividiert, indem die Zahl mit dem Kehrwert der anderen Zahl multipliziert. Zum Rechnen mit Brüchen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Reihenfolge der Rechenoptionen 21 „Die Klammer sagt: Zuerst komm ich, Potenz vor Punkt und Punkt vor Strich. Und was noch nicht zum Rechnen dran, das schreibt man unverändert an.“ Im Klartext heißt das: In jedem Rechenschritt wird ein Teil so weit wie möglich aufgelöst. Zuerst die Klammer, dann die Potenz, dann die Punktrechnung und zum Schluss die Strichrechnung. Was bis zu deinem aktuellen Rechenschritt noch nicht gelöst wurde, das schreibst du einfach nochmal genauso hin, bis du nichts mehr auflösen kannst, das heißt bis nur noch Strichrechnungen, also Addition und Subtraktion, übrig sind. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Kommutativ- und Assoziativgesetz Das Kommutativgesetz: Der Ergebnis einer Addition ist unabhängig von der Reihenfolge ihrer Summanden. Das Vertauschen der Summanden (mit Vorzeichen!) verändert das Ergebnis nicht. Also gilt: Beim Multiplizieren von zwei Zahlen sind die Vorzeichen und die Beträge unabhängig von der Reihenfolge der Faktoren. Also gilt: Das Assoziativgesetz: Bei einer Summe mit mehr als zwei Summanden ist das Ergebnis unabhängig davon, in welcher Reihenfolge die einzelnen Additionen ausgeführt werden. Also gilt: Bei der Multiplikation von drei oder mehr Faktoren sind die Vorzeichen und das Ergebnis unabhängig davon, in welcher Reihenfolge die Multiplikation ausgeführt wird. Also gilt: Zurück zum Start Eine Seite zurück

Terme Grundlagen Faktorisieren, Ausmultiplizieren Binomische Formeln Zurück zum Start Eine Seite zurück

Terme Grundlagen Ich kenne den Begriff „Term“ und kann ihn definieren Ich kann Terme addieren, subtrahieren, dividieren und multiplizieren Ich weiß, was Grundmenge und Definitionsmenge eines Terms sind Zurück zum Start Eine Seite zurück

Der Begriff „Term“ 17 21 39 Was ist eigentlich ein Term? Zunächst sollte der Begriff Variable geklärt werden. Eine Variable ist ein Platzhalter, oft ein Buchstabe, der für eine unbekannte Zahl stellvertretend ist. Dabei ist unklar, welchen Wert diese Zahl hat. Jede Zahl und Variable, sowie jede Verbindung von Zahlen und Variablen mit- und untereinander durch Rechenzeichen oder Exponenten werden als Terme bezeichnet. Ein Term wird meistens so dargestellt: Das T ist dabei der Name des Terms und das x die Variable. Es wird so gelesen: „T von x ist gleich zwei x plus 3“ Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Termen 21 37 Ein Term, der nur das Produkt von Zahlen und Variablen ist, nennt man einfachen Term, z.B.: Bei einem einfachen Term heißt die Zahl Koeffizient des Terms und die Variable heißt Variablenanteil des Terms. Zwei Terme sind gleichartig, wenn sie die gleiche Variable mit der gleichen Potenz haben. Gleichartige Terme werden addiert, indem man ihre Koeffizienten addiert und das Ergebnis mit dem Variablenteil multipliziert z.B.: , dasselbe gilt für die Subtraktion. Nicht gleichartige Terme können nicht addiert werden, sie bleiben als einzelne Terme im Ergebnis stehen! Einfache Terme werden multipliziert, in dem man zuerst die Koeffizienten miteinander multipliziert, und dann die Variablen multipliziert und zum Schluss das Produkt aus diesen Ergebnissen bildet, z.B.: Sie werden dividiert, indem man zuerst die Koeffizienten dividiert, dann die Variablen dividiert und zum Schluss das Produkt aus diesen Ergebnissen bildet. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grund- und Definitionsmenge eines Terms Die Grundmenge eines Terms gibt an, welche Zahlen für die Variablen des Terms vorgesehen sind. Die Definitionsmenge gibt die Zahlen der Grundmenge an, die für die Variablen eingesetzt werden dürfen, es gibt nämlich diverse logische und mathematische Eingrenzungen. So kann beispielsweise ein Flächeninhalt niemals negativ sein. Wenn nun besagter Flächeninhalt die Formel besitzt, darf für x nichts mit einem negativem Vorzeichen eingesetzt werden, da sonst das Ergebnis negativ wäre. Auch mathematisch dürfen nicht immer alle Elemente der Grundmenge eingesetzt werden. So darf bei diesem Term nicht die Zahl 0 eingesetzt werden, da durch 0 nicht geteilt werden darf. 36 50 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Terme faktorisieren und ausmultiplizieren Ich weiß, was ich tun muss, wenn vor einem Klammerterm ein Vorzeichen steht Ich kenne und verstehe das Distributivgesetz Ich kann Terme ausmultiplizieren und faktorisieren Zurück zum Start Eine Seite zurück

Klammerterme mit Vorzeichen Ein Klammerterm ist ein Term mit mehreren Zahlen und / oder Variablen, die mit Rechenzeichen miteinander verbunden und von einer Klammer umschlossen sind. Steht ein Plus vor der Klammer, kann man die Klammer einfach weg lassen. Bei einem Minus vor der Klammer kann man diese ebenfalls weglassen, muss jedoch bei diesem Rechenschritt sämtliche Vorzeichen in der Klammer umdrehen, das heißt aus Plus wird Minus und aus Minus Plus. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Das Distributivgesetz 22 33 Wenn eine Aufgabe Punkt- und Strichrechnung sowie Klammern enthält, hast du zwei Möglichkeiten: 1. Du kannst die Klammer zuerst berechnen: 2. Du kannst das Distributivgesetz anwenden indem du jeden Summanden in der Klammer mit der Zahl außerhalb der Klammer multiplizierst oder durch die Zahl außerhalb der Klammer dividierst: Das ist vor allem notwendig, wenn du mit Variablen rechnest: Hier kannst du die Klammer nicht weiter auflösen, da die Terme nicht gleichartig sind. Aber du kannst den Term mit dem Distributivgesetz weiter auflösen: Das Gleiche gilt natürlich auch für die Division: Zurück zum Start Eine Seite zurück

Terme ausmultiplizieren und faktorisieren Werden Produkte mit Hilfe des Distributivgesetzes in Summen umgeformt, so spricht man vom Ausmultiplizieren. Umgekehrt können Summen durch Anwendung des Distributivgesetzes in Produkte umgeformt werden, z.B.: . Diesen Vorgang nennt man Ausklammern oder Faktorisieren. Dabei wird ein gemeinsamer Faktor gesucht, in diesem Fall die Zahl 5. Dann wird dieser vor die Klammer des Ergebnisses gestellt. In die Klammer kommt das Ergebnis der Division der einzelnen Summanden in der ursprünglichen Aufgabe (oben: 5x und 5y) durch den gemeinsamen Faktor (oben: 5.). 44 58 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Binomische Formeln Ich kenne und verstehe die erste, zweite und dritte binomische Formel und kann sie anwenden Ich kann quadratische Terme faktorisieren Zurück zum Start Eine Seite zurück

Die binomischen Formeln 25 Ein zweigliedriger Summenterm heißt Binom. Es gibt Sonderfälle von Multiplikationen von zweigliedrigen Summentermen, die binomischen Formeln. Deren Ergebnisse sind in der Mathematik so wichtig, dass man ihre Ergebnisse auswendig lernt: 1. Binomische Formel: 2. Binomische Formel: 3. Binomische Formel: Zurück zum Start Eine Seite zurück

Faktorisieren eines quadratischen Terms 60 Zum Faktorisieren eines quadratischen Terms gibt es mehrere Möglichkeiten: Bei der Termumformung solltest du zunächst überprüfen, ob du ein x ausklammern kannst: Hier kannst du die Lösungen sofort ablesen: x1=0 und x2=3 Du kannst nun überprüfen, ob du eine binomische Formel anwenden kannst: Vergleich mit Dann erkennst du, dass in diesem Fall keine binomische Formel vorliegt. Das fehlende Quadrat der binomischen Formel wird addiert, daher der Name quadratische Ergänzung. Damit sich der Termwert dabei nicht ändert, musst du das was du ergänzt hast, im selben Schritt gleich wieder abziehen! Nun kannst du zur binomischen Formel zusammenfassen. Das was du im vorigen Schritt abgezogen hast, musst du nun mit der Zahl am Ende addieren. Alternativ kann man gezielt probieren: Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Brüchen, Potenzen und Wurzeln Grundlagen Rechen mit Brüchen Grundlagen Potenzen und Wurzeln Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Brüchen Ich kenne die Begriffe Zähler und Nenner Ich kann Brüche kürzen und erweitern Ich kann Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Zurück zum Start Eine Seite zurück

Die Begriffe „Zähler“ und „Nenner“ Ein Bruch ist nur eine andere Schreibweise für eine Division. So bedeutet die Schreibweise nichts anderes als 1 geteilt durch 2. Dabei ist der Zähler nichts anderes als der Dividend, in diesem Fall die 1 und der Nenner nichts anderes als der Divisor, in diesem Fall die 2. Der Nenner heißt so, weil der den Bruch benennt, er zeigt an in wie viele Teile ein ganzes geteilt wird. Der Zähler zählt die einzelnen tatsächlich vorhandenen Teile. Demnach steht der Zähler immer über dem Nenner. 8 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Brüche kürzen und erweitern Allgemein gilt: Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn man seinen Zähler und seinen Nenner mit derselben Zahl multipliziert (erweitert) oder durch dieselbe Zahl dividiert (kürzt). Im Endergebnis muss immer so weit wie möglich gekürzt werden. Erweitern: Kürzen: 8 30 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Brüchen 11 Beim Addieren und Subtrahieren muss beachtet werden, ob die Brüche denselben Nenner haben (gleichnamig sind) oder nicht (ungleichnamig sind). Beim Addieren von gleichnamigen Brüchen werden die Zähler addiert, während der Nenner gleich bleibt: Beim Subtrahieren von gleichnamigen Brüchen wird der Zähler des Subtrahenden von dem des Minuenden abgezogen, der Nenner bleibt wieder gleich: Ungleichnamige Brüche müssen zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner erweitert bzw. gekürzt werden. Der kleinste gemeinsame Nenner wird Hauptnenner genannt. Beim Multiplizieren wird der Zähler des einen mit dem Zähler des anderen Bruchs multipliziert und der Nenner des einen mit dem Nenner des anderen: Beim Dividieren wir der Dividend mit dem Kehrbruch des Divisors multipliziert. Der Kehrbruch wird gebildet, indem man Zähler und Nenner vertauscht (Kehrwert von ). Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Potenzen und Wurzeln Ich kann Potenzen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Ich kann Wurzeln addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Potenzen 50 Bei der Potenz 32 ist 3 die Basis und 2 der Exponent. Die Potenz drückt aus, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Betrachtet man Potenzen mit gleicher Basis aber unterschiedlichen Exponenten gilt: und Nun werden Potenzen mit gleichem Exponenten, aber unterschiedlicher Basis betrachtet, es gilt: und Bei der Potenz einer Potenz gilt: Für negative Exponenten gilt: Zurück zum Start Eine Seite zurück

Rechnen mit Wurzeln 43 44 Bei der Wurzel ist 2 der Radikand. Das Ergebnis der Wurzel mit sich selbst multipliziert ergibt den Radikanden: aber . Der Radikand darf niemals negativ sein. Bei Wurzeln gilt das Distributivgesetz: Für das Produkt von Wurzeln gilt: mit a, b IR0 Bei der Division von Wurzeln gilt: mit a, b IR0 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen Quadratische Gleichungen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lineare Gleichungen und Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen Ich weiß, was Grundmenge, Definitionsmenge und Lösungsmenge einer linearen Gleichung sind und kann sie bestimmen Ich kann die Lösungsmenge einer linearen Gleichung bestimmen Ich weiß, was ein lineares Gleichungssystem ist Ich kann ein lineares Gleichungssystem mithilfe des Einsetzungsverfahren lösen Ich kann ein lineares Gleichungssystem mithilfe des Gleichsetzungsverfahren lösen Ich kann ein lineares Gleichungssystem mithilfe des Additionsverfahren lösen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grund- Definitions- und Lösungsmenge einer Gleichung Für Grund- und Definitionsmenge einer Gleichung gilt dasselbe wie für Grund- und Definitionsmenge eines Terms Ein Element aus der Grundmenge einer Gleichung heißt Lösung einer Gleichung, wenn das Einsetzen in die Gleichung zu einer wahren Aussage führt. Die Lösungsmenge ist die Menge aller Lösungen für die Gleichung. Bei der Gleichung würde also gelten: L={3}, da nur 3 für x eingesetzt werden darf, damit die Gleichung wahr ist: Die Lösung der Gleichung ist also x=3. 38 46 51 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lösungsmenge einer linearen Gleichung bestimmen Um die Lösungsmenge einer linearen Gleichung zu bestimmen, kannst du die Gleichung umformen. Dabei darfst du nur Äquivalenzumformungen machen, das heißt die Lösung der Gleichung darf sich durch die Umformung nicht ändern! Wenn du eine Gleichung mit Variablen auf beiden Seiten hast, solltest du zunächst alle Variablen auf die eine Seite und alle Zahlen auf die andere Seite bringen. Dabei musst du denselben Betrag, den du auf der einen Seite addierst oder subtrahierst, auf der anderen Seite ebenfalls addieren oder subtrahieren. Wie du mit Termen mit Variablen rechnest, siehst du hier. Im Beispiel sieht das so aus: Diese Striche trennen die Anweisungen zu den Äquivalenzumformungen, die bei der gesamten Gleichung gemacht werden von der Gleichung ab. Danach kannst du durch den Faktor vor der Variable dividieren: Die Lösungsmenge: L={2} 39 46 52 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Gleichungen und 2 Variablen Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen sind zwei miteinander durch verbundene lineare Gleichungen mit 2 Variablen. Die Lösung der Gleichung erfüllt beide Gleichungen, ist also die Lösung jeder Gleichung des Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem kann genau eine, gar keine oder unendlich viele Lösungen haben. Jede lineare Gleichung mit 2 unbekannten kann als lineare Funktion aufgefasst werden, deren Graph eine Gerade ist. Somit kann man die Lösungsmöglichkeiten wie folgt zusammenfassen: Das lineare Gleichungssystem hat keine Lösung: Die zugehörigen Geraden schneiden sich nicht, sie verlaufen parallel zueinander. Das lineare Gleichungssystem hat genau eine Lösung: Die zugehörigen Geraden schneiden sich in einem Punkt. Das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen: Die zugehörigen Geraden sind identisch Zurück zum Start Eine Seite zurück

Das Gleichsetzungsverfahren Gleichsetzungsverfahren Zunächst müssen beide Gleichungen nach derselben Variablen aufgelöst werden: Dann werden die Terme auf der rechten Seite gleichgesetzt und das Ergebnis berechnet: Zum Schluss setzt du nur noch den x-Wert in eine Gleichung ein, um den y-Wert zu bekommen: L={(-0,2/1,4)} Zurück zum Start Eine Seite zurück

Das Einsetzungsverfahren Einsetzungsverfahren Hier wird eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst: Dann setzt man diesen Term für diese Variable in den anderen Term ein: Auch nun musst du wieder den x-Wert in eine der Gleichungen einsetzen, um den y-Wert zu bekommen: L={(-0,2/1,4)} Zurück zum Start Eine Seite zurück

Das Additionsverfahren Additionsverfahren Zunächst werden die Terme auf der linken Seite addiert und mit der Addition der Terme auf der rechten Seite gleich gesetzt: Dann heben sich die Terme mit y gegenseitig auf: Für dieses Verfahren muss in der einen Gleichung eine Variable genauso oft positiv wie in der anderen Gerade negativ vorhanden sein, in diesem Fall die 2y. Gegebenenfalls muss man eine oder beide Gleichungen zunächst mit einer Zahl multiplizieren, damit dies erreicht wird. Schließlich musst du wieder y berechnen: L={(7;-1,5)} Zurück zum Start Eine Seite zurück

Quadratische Gleichungen Ich kann reinquadratische Gleichungen (x2=d) lösen Ich kann quadratische Gleichungen durch Faktorisieren oder mit Hilfe der Lösungsformel für quadratische Gleichungen („Mitternachtsformel“) lösen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lösen von reinquadratische Gleichungen Jede reinquadratische Gleichung mit der Form x2=y hat für y>0 genau 2 Lösungen, nämlich . für y=0 genau eine Lösung, nämlich . für y<0 keine Lösung, da der Radikand niemals kleiner als 0 sein darf, wenn die Grundmenge die Menge der reellen Zahlen ist. 44 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Quadratische Gleichungen lösen 47 59 Es gibt neben reinquadratischen Gleichungen auch noch andere quadratische Gleichungen. Nimmt man zum Beispiel die Gleichung , muss man diese anders lösen. Hier kann man ein x ausklammern, um die Form zu bekommen. Nun kann man die Lösungen x1=0 und x2=5 ablesen, da ein Produkt 0 ergibt, wenn einer der Faktoren 0 ergibt. Doch es gibt auch noch die Gleichungen der Form , wobei a, b, c Elemente der Reellen Zahlen sind. Diese lassen sich eventuell faktorisieren oder mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen (auch „Mitternachtsformel“) lösen, welche wie folgt aufgebaut ist: Dadurch ergeben sich entweder keine, eine oder zwei mögliche Lösungen: Keine Lösung, wenn die sog. Diskriminante ( ), also das, was unter der Wurzel steht, kleiner 0 ist, da der Radikand niemals negativ sein darf. Eine Lösung, wenn die Diskriminante 0 ist, da dann für x1 die Zahl 0 addiert und für x2 die Zahl 0 subtrahiert wird, was ja im Ergebnis keinen Unterschied macht. Und zwei Lösungen, wenn die Diskriminante größer als 0 ist. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Ungleichungen Ich kann lineare Ungleichungen lösen Ich kann quadratische Ungleichungen graphisch lösen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lineare Ungleichungen lösen Wenn man bei einer linearen Gleichung das „=“ Zeichen durch ein >,<,≤ oder ≥ ersetzt, erhält man eine lineare Ungleichung. Um die Lösungsmenge einer Ungleichung zu bestimmen, geht man ähnlich vor wie beim Lösen von linearen Gleichungen, dass auf einer Seite der Ungleichung nur noch Terme mit x stehen. Bei den Umformungen muss man beachten, dass wenn man auf beiden Seiten durch eine negative Zahl dividiert, sich das Größer- bzw. Kleinerzeichen umdreht. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Quadratische Ungleichungen graphisch lösen 61 Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, sollte man zunächst die dazugehörige quadratische Gleichung lösen, um die Nullstellen der zugehörigen Hilfsfunktion zu bestimmen. Nun kann man den Graphen skizzieren und anhand des Graphen die Lösungsmenge ablesen. f(x)<0: L=]-1;1[ y x Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lineare und quadratische Funktionen Grundbegriffe Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grundbegriffe Ich habe verstanden was der Graph einer Funktion darstellt Ich weiß was die Definitions- und Wertemenge einer Funktion ist Ich kann sowohl Nullstellen als auch Schnittpunkte einer oder mehrerer Funktionen bestimmen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Der Graph einer Funktion 54 Eine Funktion ordnet jedem Wert aus der Definitionsmenge eindeutig einen Funktionswert zu: f:x→f(x) Ist die Definitions- und Wertemenge eine Teilmenge von IR, so spricht man von einer reellen Funktion. Man kann den Graphen einer Funktion in einem kartesischen Koordinatensystem mit einer horizontalen x- Achse und einer vertikalen y-Achse zeichnen. Dabei entspricht jedem Wertepaar (x; f(x)=y) ein Punkt in diesem Koordinatensystem. Beispiel: f:x → y=x. Dem x-Wert 1 wird der y-Wert y=f(1)=1 zugeordnet: f(1): y=1 Eine solche Zuordnung heißt reelle Funktion. Da nur eine einfache x-Potenz vorhanden ist, handelt es sich um eine lineare Funktion. y x Zurück zum Start Eine Seite zurück

Definitions- und Wertemenge einer Funktion Eine Funktion f ordnet jedem x-Wert aus einer vorgegebenen Definitionsmenge Df , die in der Regel aus den reellen Zahlen besteht, genau einen reellen y-Wert zu. Die Menge der zugeordneten y-Werte heißt Wertemenge Wf. Vergleiche: Definitions- und Lösungsmenge einer Gleichung Zurück zum Start Eine Seite zurück

Nullstellen und Schnittpunkte Um die Nullstellen einer Funktion zu bestimmen, musst du heraus finden, an welchen x-Stellen deren y-Wert gleich Null wird, also wo der Graph die y-Achse schneidet oder berührt. Als ersten Schritt setzt du deshalb die Funktionsgleichung gleich Null. Das bedeutet, dass du für y Null einsetzt, das wäre bei der linearen Funktion f: Nun musst du die Gleichung nur noch lösen, und die Werte, die du für x raus bekommst sind deine Nullstellen: Um die Schnittpunkte von zwei Funktionen heraus zu finden, musst du die beiden Funktionsterme gleich setzen und dann die entstehende Gleichung lösen: Dann musst du nur noch die y-Werte einer der beiden Funktionen für diese x-Werte berechnen und du hast die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lineare Funktionen Ich weiß was eine lineare Funktion ist, kenne die charakterlichen Größen (Steigung und y-Achsenabschnitt) und kann den Graphen zeichnen Ich kann die Funktionsgleichung einer linearen Funktion bestimmen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Lineare Funktionen – Steigung – y-Achsenabschnitt – Graph Der Funktionsterm einer linearen Funktion ist: Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade, wenn die Definitionsmenge ID=IR ist, bei anderen Definitionsmengen ist der Graph nur ein Teil / mehrere Teile dieser Gerade. Der y-Achsenabschnitt gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet, die Steigung gibt an, wie „steil“ die Gerade verläuft. Wenn man x um 1 erhöht, ändert sich der y-Wert um m. Man nennt dies Steigungsdreieck: Als erstes kennzeichnet man den y-Achsenabschnitt (1. Punkt auf der Gerade) Nun geht man von diesem Punkt den Nenner der Steigung nach rechts und den Zähler der Steigung (je nach Vorzeichen nach oben bzw. unten) . Somit erhält man einen zweiten Punkt der Geraden. Verbindet man die beiden Punkte mit dem Lineal erhält man den Graphen der Funktion. Alternativ berechnet man zwei Funktionswerte und kennzeichnet die dazugehörigen Punkte. y x 50 52 55 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Funktionsgleichungen von linearen Funktionen bestimmen Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, benötigt man entweder einen Punkt und die Steigung oder 2 Punkte. Hat man einen Punkt und die Steigung gegeben, setzt man die Koordinaten des Punktsund die Steigung in die Funktionsgleichung ein, um den y-Achsenabschnitt der Funktion zu bekommen: Hat man zwei Punkte gegeben berechnet man die Steigung mit dieser Formel: Nun geht man so vor, wie wenn man Punkt und Steigung hat. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Quadratische Funktionen Ich kenne und verstehe die Begriffe quadratische Funktion, Normalparabel und Scheitelpunkt einer Parabel und kann anhand einer Funktionsgleichung feststellen, ob die zugehörige Parabel nach oben oder unten geöffnet ist Ich kenne die beiden Darstellungsformen Normalform und Scheitelform einer quadratischen Funktion und kann sie ineinander umwandeln Ich kann die Nullstellen einer quadratischen Funktion bestimmen Ich kann den Scheitelpunkt einer quadratischen Funktion bestimmen Ich kann die Wertemenge einer quadratischen Funktion bestimmen Zurück zum Start Eine Seite zurück

Grundbegriffe zu quadratischen Funktionen Die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Normalform ist y=ax2+bx+c mit a=0. Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel, wenn Df=IR, ansonsten besteht der Graph nur aus Teilen dieser Parabel. Ist der Öffnungsfaktor a positiv, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist der Öffnungsfaktor a negativ, so ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Graph der Funktion p: y=x2 Dp=IR wird Normalparabel genannt und hat den Scheitelpunkt S(0/0), dies ist der Extrempunkt der Parabel (hier der tiefste Punkt). Der Graph dieser Funktion sieht so aus: y x 58 Zurück zum Start Eine Seite zurück

Die Darstellungsformen einer quadratischen Funktion Jeder Graph einer quadratischen Funktion entsteht aus der Normalparabel durch Verschiebung nach oben bzw. unten, rechts bzw. links du Stauchung bzw. Streckung der in y-Richtung. Verschiebung in y-Richtung: Ist q>0, so wird die Normalparabel nach oben verschoben Ist q<0, so wird die Normalparabel nach unten verschoben Verschiebung in x-Richtung: Ist p>0, so wird die Normalparabel nach rechts verschoben Ist p<0, so wird die Normalparabel nach links verschoben Stauchung bzw. Streckung in y-Richtung: Ist IaI>1, so wird die Normalparabel in y-Richtung getreckt (optisch schmaler) Ist IaI<1, so wird die Normalparabel in y-Richtung gestaucht (optisch breiter) Werden alle Veränderungen vorgenommen ergibt sich die Scheitelform der quadratischen Funktion: aus der man direkt die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen kann S(p/q). Multipliziert man diesen Term aus und fasst alles so weit wie möglich zusammen kommt man zur Normalform der quadratischen Funktion: Die Normalform kann man mit Hilfe der quadratischen Ergänzung in die Scheitelform umwandeln. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Die Nullstellen einer quadratischen Funktion Um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu berechnen, setzt man die Funktion gleich Null, also 0 für den y-Wert ein, da die Nullstellen die Punkte der Funktion sind, an denen der y-Wert des Graphen 0 ist. Dann löst man die quadratische Gleichung mit der Lösungsformel. Es können entweder kein Ergebnis, ein Ergebnis oder zwei Ergebnisse herauskommen. Gibt es kein Ergebnis, hat der die Funktion keine Nullstellen. Gibt es ein Ergebnis, berührt der Graph die x-Achse, der Scheitelpunkt ist die Nullstelle. Gibt es zwei Ergebnisse, sind dies die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Zurück zum Start Eine Seite zurück

Die Koordinaten eines Scheitelpunkts 61 Wenn du die Koordinaten eines Scheitelpunkts S(xS/yS) bestimmen möchtest, solltest du zunächst überprüfen, ob die Funktion in der Scheitelform gegeben ist, denn dann kannst du sie direkt ablesen: f(x)=a(x-xS)²+yS → S(xS/yS) Wenn die Funktion in allgemeiner Form angegeben ist (f(x)=ax²+bx+c), kannst du die Funktion mit Hilfe von quadratischer Ergänzung in die Scheitelform umwandeln und dann ablesen die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel berechnen und dann diese x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsehen um die y-Koordinate des Scheitels zu erhalten wenn bereits die Nullstellen x1 und x2 der quadratischen Funktion bekannt sind, die x-Koordinate des Scheitelpunkts mit der Formel berechnen. Die y-Koordinate des Scheitelpunkts erhält man durch Einsetzen in die Funktionsgleichung Zurück zum Start Eine Seite zurück

Wertemenge Wf einer quadratischen Funktion Um die Wertemenge einer quadratischen Funktion zu berechnen solltest du zunächst die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen bzw. berechnen: S(xS/yS) Nun kannst du aus dem Öffnungsfaktor a ablesen, ob die zugehörige Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Ist die Parabel nach oben geöffnet, so ist Wg=[yS;+ ] Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist Wg=[- ;yS] 8 8 Zurück zum Start Eine Seite zurück