Orientierung auf der (Erd-)Kugel Wolfgang Löding, Li Hamburg Workshop am 9. Oktober 2003 auf der Lehrerakademie in Bremen

2 Der globale Blick auf „die Welt“ Globalisierung in Politik und Wirtschaft ist aktuelles Thema Auch Schülerinnen und Schüler erleben zunehmend „Weltreisen“ Die Kugelgestalt der Erde kommt ins Blickfeld Navigation ist ein uraltes Thema, das durch GPS und Navigationssysteme - auch in privaten PKWs - aktuelles Interesse weckt Realitätsnähe, Modellierungsfragen und Vernetzungen innerhalb der Mathematik und zu anderen Fächern liegen auf der Hand

3 Ziele Elemente einer zeitgemäßen Mathematikdidaktik verdeutlichen Grundvorstellungen aus Realitätsbezügen aufbauen Geometrische Anschauungen vertiefen Elementare Sphärische Geometrie wiederbeleben Sinnvoller Computereinsatz

4 Gliederung Persönliches Lernen und Lehren in „Lernsituationen“ Untersuchung und Darstellungen von Kugeln Orientierung auf dem Kreis Orientierung auf der Erdkugel „Wie weit ist es von A nach B ?“ Geometrische Lösungen Ausblick Oberstufe Beispiel GPS Diskussion: Kann man so heute (noch – schon) unterrichten?

5 Wo etwa ist die Position 35° 07‘ N 25° 44‘ O ?

6 Wo sind wir hier eigentlich? Bremen-Universität: 53° 06´ N; 08° 50´ O

7 Wie weit ist es von Hamburg nach New-York? Hamburg: 53,5° N 10° O New –York 40,7° N 74° W

8 Was „sagt uns“ diese Graphik? Wie kann man sie herstellen?

9 Wie orientiert man sich auf der Erde? Hamburg 10° Ost

10 Welche Orte liegen etwa auf der gleichen Länge wie Hamburg ? z.B. Tunis ! oder Oslo ! Wie weit ist es von Hamburg nach Tunis? Hamburg 53,5° N ; 10° O Tunis 36,75° N ; 10° O Breitendifferenz: 16,75° Entfernung :

11 Wie orientiert man sich auf der Erde? Timmendorfer Strand Ostsee 54 ° N

12 Welche Orte in Europa liegen etwa auf der gleichen Breite wie New-York ? Madrid ! der Olymp ! Ankara Peking Wenn man von Madrid genau nach Westen fliegt, kommt man dann nach New-York? Ist das der kürzeste Weg? 40,7° N Ja ! Nein !

13 New-York-Madrid

14 Elemente einer zeitgemäßen Mathematikdidaktik Aufbau von Grundvorstellungen, auf denen sich komplexere Begriffe, Zusammenhänge, Abstraktionen und Formalisierungen aufbauen lassen Orientierung an zentralen Ideen und Vernetzung Realitätsbezug und Modellierung in überschaubaren offenen Situationen Einsatz des Computers Neue Möglichkeiten und Sichtweisen

15 Lernsituationen strukturieren den Unterricht Lernsituationen sind offene und sinnhafte Problemfelder, deren Bearbeitung über Modellierungsprozesse in die Mathematik führt Lernsituationen wahrnehmen Grundvorstellungen aufbauen Mathematik als Werkzeug heranziehen und als Methode eventuell neu entwickeln Probleme lösen, Fragen beantworten, neue Fragen stellen Systematisieren, Begriffe und Strukturen bilden, Sätze aufstellen und begründen/beweisen und als eigenständige Objekte untersuchen Mit andereren Themenfeldern vernetzen

16 Lernsituation „Orientierung auf der (Erd-)Kugel“ Wo liegen wichtige Orte auf der Erde? Wie orientiert man sich auf der Erde? Wie weit ist es auf der Erdkugel von A (Hamburg) nach B (NewYork)? Was wissen wir überhaupt über die Erde? Wie kann man die Erdkugel graphisch darstellen? Wie „funktionieren“ Navigationssysteme?

17 Die Geometrie der Erde Die Erde ist ungefähr eine Kugel Der Erdumfang beträgt ca km Der Erdradius beträgt ca km Weiteres Wissen aus dem Lexikon....

18 Falsche Vorstellungen

19 Zum Beispiel mit DERIVE

20 Ebene Schnitte unterstützen das Verständnis

21 Ebene Schnitte unterstützen das Verständnis Ebene Schnitte liefern immer Kreise als Schnittflächen Die Kreise haben unterschiedliche Radien Die größten Kreise haben den Mittelpunkt mit der Kugel gemeinsam, sie heissen Großkreise, die anderen Kleinkreise Grosskreise haben den gleichen Radius wie die Kugel Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf der Kugel verläuft auf einem Großkreis

22 Der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten auf der Kugel verläuft auf einem Großkreis

23 Orientierung auf dem Kreis Kreis und Winkel gehören zusammen!  und b sind proportional

24 Orientierung auf dem Kreis Ein Weg zu den trigonometrischen Funktionen

25 Koordinatensystem auf der Kugel

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27 Koordinatensystem auf der Kugel Die Breite beschreibt die Nord-Süd-Lage (-90° bis 90°) Die Länge beschreibt die Ost-West-Lage (-180° bis 180°) Ein Längenhalbkreis beschreibt alle Punkte gleicher Länge Ein Breitenkreis beschreibt die Punkte gleicher Breite 1° Längenabstand (am oberen/unteren) Kartenrand auf einem Breitenkreis beschreibt je nach Breite unterschiedliche Abstände auf der Erdoberfläche 1° Breitenabstand (am linken/rechten) Kartenrand auf einem Breitenkreis beschreibt unabhängig von der Länge immer den gleichen Abstand auf der Erdoberfläche (1 Seemeilen = 40000/360/60 km = 1,852 km) Nullpunkt : Südlich Greenwich auf dem Äquator

28 33,6° 9,6° Fehlvorstellung ! ? 11 Breitenkreise in 15°-Abstand? Die Winkel sind unterschiedlich groß !

29 Unterschiedliche Abstände zwischen den Breitenkreisen Zeichne Breitenkreise mit 15°-Abstand 15°

30 Problem Eine Person geht 1 km nach Süden dann 1 km nach Osten und dann 1 km nach Norden und stellt fest, dass sie wieder am Ausgangspunkt ihrer Wanderung ist ! Anschliessend schiesst sie einen einen Bären. Welche Farbe hat der Bär? Gibt es weitere Lösungen? Auch auf der Nordhalbkugel?

31 Bestimmung der geographischen Breite

32 Wie weit ist es von Hamburg nach New-York? Hamburg: 53° 30‘ N ; 10° O New-York: 40° 42‘ N ; 74° W

33 Sphärischer Abstand Durch zwei nicht polare Punkte A und B gibt es genau einen Großkreis Die Schnittebene wird durch die drei Punkte A, B und M bestimmt Der kürzere Kreisbogen von A nach B bestimmt den Abstand Der zugehörige Winkel heißt sphärischer Winkel

34 Geometrische Konstruktion  Dynageo (Ende 1. Teil)

35 Oberstufe Im Rahmen der Analytischen Geometrie

36 1. Einführung eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems 2. Umrechnung von geographischen in kartesische Koordinaten 3. Berechnung des euklidischen Abstands von zwei Punkten 4. Berechnung des sphärischen Winkels von zwei Punkten auf der Kugel aus deren euklidischem Abstand (Kosinussatz) 5. Alternative zu 3. und 4. : Verwendung des Skalarprodukts 6. Berechnung des sphärischen Abstands (Dreisatz!) 7. Ausblick: 3-D-Darstellungen der Erdkugel Satellitenbahnen GPS und wie funktionieren Navigationssysteme?

37 Umrechnung von geographischen Koordinaten in kartesische Koordinaten

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Zusammenfassung Umrechnung von geographischen Koordinaten in kartesische Koordinaten: (  ; )  [ r cos ; r sin ; sin ß ] = [ cos ß cos ; cos ß sin ; sin ß ] (R = 1)

41 Euklidischer Abstand („Tunnelabstand “) d (P 1, P 2 ) =

42 Sphärischen Winkel  aus euklidischem Abstand e berechnen:

43 Sphärischer Winkel mit Skalarprodukt = |A|·|B|·cos  = cos 

44 Ein paar Graphiken, Zur Bearbeitung und Visualisierug Mit Computeralgebra (DERIVE)

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46 Stelle die nachfolgenden Bilder selber her Verwende die hier für das GPS-System angegebenen Daten

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48 Wie sind diese Kurven zu verstehen?

49 InterInet Links

50 Literatur Schulbuch: Jutta Cukrowicz, Bernd Zimmermann (Hrsg.): „Mathe Netz“ Klasse 10, Kap.1 Westermann, Braunschweig, 2002S Schulbuch: Rudolf Hame: „Sphärische Geometrie“, Additum Klasse 11 Ehrenwirth, München Hans-Günther Bigalke: „Kugelgeometrie“ München, Salzburg 1984 (vergriffen)