Kapitel 2: Spektrum periodischer Signale (Fourierreihe) SoE 2011 28.04.2017 Kapitel 2: Spektrum periodischer Signale (Fourierreihe) SiSy, Rumc, 2-1 Signale können im Zeit- oder Frequenzbereich analysiert werden Die Analyse im Frequenzbereich ist oft vorteilhaft. Wir betrachten in diesem Kapitel analoge periodische Signale und deren Frequenzkomponenten bzw. Spektrum. Spektralanalyse basiert auf Fourierreihe Die Fourieranalyse ist eines der wichtigsten Resultate der angewandten Mathematik und geht zurück auf J.B. Fourier (1768-1830) Inhalt 1. Cosinus- und Sinus-Spektrum 2. Betrag-/Phasen-Spektrum 3. Komplexe Fourierreihe 4. Leistungsberechnung im Frequenzbereich 5. Numerische Approximation der Fourierkoeffizienten Projektleitung

Wie gross muss die Bandbreite B min. sein für «formtreue» Übertragung? Motivation SiSy, Rumc, 2-2 Beispiel: Lichtbrechung und Spektralfarben Spektralfarben weisses (Sonnen) Licht Demo: Übertragung bipolarer Datenstrom über eine Leitung Oszilloskop Spektrum- Analyzer Leitung Sender Empfänger Wie gross muss die Bandbreite B min. sein für «formtreue» Übertragung? Funktions- Generator

linearer Mittelwert, „DC-Anteil“ Cosinus- und Sinus-Spektrum SiSy, Rumc, 2-3 Fourier (1768-1830): Jede periodische Funktion s(t) kann durch eine Summe harmonischer Schwingungen dargestellt werden: „gerader" Signalanteil „ungerader" Signalanteil wobei linearer Mittelwert, „DC-Anteil“ S0 = A0/2 k≥1 Cosinus-Amplitudenspektrum Linienspektrum k≥1 Sinus-Amplitudenspektrum

Beispiel: Periodisches Dreiecksignal SiSy, Rumc, 2-4 Fourierreihe Ak

Beispiel: Periodisches Rechtecksignal SiSy, Rumc, 2-5 Fourierreihe B1 = 4/π, Bk = B1 / k wenn k ungerade

Gütekriterium für die Approximation SiSy, Rumc, 2-6 Jede cos- oder sin-Schwingung in der Fourierreihe approximiert das periodische Signal s(t) im Sinne der kleinsten Fehlerquadrate. Beispiel: s(t) soll mit A1·cos(2π·f0·t) approximiert werden, wobei f0 = 1/T0 Frage: Welches A1 minimiert die Summe der Fehlerquadrate? Lösung: dΔ / dA1 = 0 => optimaler Koeffizient A1 ist aber identisch mit dem entsprechenden Fourierkoeffizienten Fehler r(t)

Orthogonalität SiSy, Rumc, 2-7 Die einzelne Koeffizienten Ak und Bk dürfen unabhängig voneinander optimiert werden, weil die harmonischen Schwingungen orthogonal sind.

Gibb‘sches Phänomen Approximation periodisches Rechtecksignal SiSy, Rumc, 2-8 Approximation periodisches Rechtecksignal Gibb’sches Phänomen (Überschwingen bei Nachbildung der Flanke / Unstetigkeit) verschwindet selbst für K   nicht.

Betrag- / Phasen-Spektrum SiSy, Rumc, 2-9 Betrag-/Phasen-Darstellung + Zusammenhang mit Cosinus- und Sinus-Koeffizienten Mk·cos(2πkf0t+φk) = Mk·cos(φk)·cos(2πkf0t) - Mk·sin(φk)·sin(2πkf0t) Ak -Bk M0 = A0/2 k>0 Beispiel: Periodisches Rechtecksignal Mk M1 Mk = Bk = (4/π)/k φk M3 f0 3f0 f φk = atan(-Bk/0) = -π/2 M5 f -π/2 f0 3f0 5f0

Fourierreihe (komplex) SiSy, Rumc, 2-10 1 komplexer statt 2 reelle Koeffizienten pro Harmonische Ausgangspunkt: einzelne Fourierkomponente Umformung mit Euler-Formel Zusammenfassung ej… und e-j… Terme ck c-k

Fourierreihe (komplex) SiSy, Rumc, 2-11 Zweiseitige Betrag-/Phasen-Darstellung Zusammenhang mit anderen Fourier-Koeffizienten für k≥1 Beispiel: Zweiseitiges Betragsspektrum s(t) IckI 1 t f T0 f0 3f0

Beispiel: cos-Signal Komplexe Fourierreihe von s(t) = cos(2π·f0·t) SiSy, Rumc, 2-12 Komplexe Fourierreihe von s(t) = cos(2π·f0·t) Eulerformel Fourierkoeffizienten c1 = c-1 = ½ Zweiseitiges Spektrum

Beispiel: sin-Signal Komplexe Fourierreihe von s(t) = sin(2π·f0·t) SiSy, Rumc, 2-13 Komplexe Fourierreihe von s(t) = sin(2π·f0·t) Eulerformel Fourierkoeffizienten c1 = -j/2, c-1 = j/2 Zweiseitiges Spektrum

Leistungsberechnung im Frequenzbereich SiSy, Rumc, 2-14 Harmonische sind orthogonal Addition der DC- und AC-Leistungen erlaubt DC-Leistung AC-Leistung k>0 Satz von Parseval

periodisches Ausgangs- Beispiel: Klirrfaktor SiSy, Rumc, 2-15 Mass für Abweichung von einem reinen Sinus-Signal Mass für lineare Verzerrung (z.B. durch Audioverstärker) Definition Klirrfaktor YRMS-Oberwellen / YRMS (DC-frei) periodisches Ausgangs- signal mit Oberwellen! sin-Eingangssignal Verstärkerkurve

Numerische Approximation SiSy, Rumc, 2-16 Approximation mit N Abtastwerten einer Periode (T=N·Δt, t0=0) DFT k=0, 1, …, N-1 Approximation ck ≈ S[k] / N für k=0, 1, …, N/2 Beispiel N=1024; % Stützwerte pro Periode s=[ones(1,N/2) (-1)*ones(1,N/2)]; % 1 Periode Rechtecksignal mit N Stützwerten S=fft(s); % DFT c=S/N; % Achtung c0=c(1), c1=c(2) stem([0:19], abs(c(1:20))); grid; % plot Beträge der ersten 20 ck-Werte P=sum(abs(c).^2) % Leistung (Parseval) N Stützwerte 1 T=N·Δt Δt -1