Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid

Präsentation zum Thema: "Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid"—  Präsentation transkript:

1 Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid
Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets

2 Frequenzen, Zeiten, Längen, Perioden, ...
Eine äquidistante Zeitreihe mit Messintervall (Zeitauflösung) und N Werten Länge der Messperiode Anzahl der Perioden im Datensatz Periodenlänge Frequenz Kreisfrequenz harmonische Frequenz Grundfrequenz, Frequenzauflösung Nyquist-Theorem, Abtasttheorem

3 Aufgabe Berechnen Sie in Excel die Fourierkoeffizienten für den Datensatz in Aufgabe_Fourieranalyse.xls. Erstellen Sie anhand der Fourierkoeffizienten ein Periodogramm. Rekonstruieren Sie die Zeitreihe als Superposition der entsprechenden sin- und cos- Funktionen. Überprüfen Sie dabei das Parsevalsche Theorem (Verteilung der Gesamtvarianz auf die einzelnen Frequenzen). Führen Sie mit den Daten eine Fourieranalyse in Statistica durch und vergleichen Sie die Ergebnisse.

4 Aliasing jenseits der Nyquist-Frequenz

5 Parsevalsches Theorem
Die totale Varianz der Werte ist gleich der Summe der Varianzen der einzelnen Frequenzen:  Energie ist im Zeit- und Frequenzraum gleich Def.: Energie eines Signals:

6 Periodogramm Aufteilung der Varianz auf die einzelnen Frequenzen:
s2(k) (= spektrale Varianz) gegen k aufgetragen Berechnung anhand der Fourier-Koeffizienten:

7 Periodogramm = Darstellung der Varianzanteile für die einzelnen Frequenzen bzw. Phasenlängen

8 Amplitudenspektrum = Amplituden der harmonischen Schwingungen:
mit ak, bk = Fourier-Koeffizienten  grafische Darstellung im Amplitudenspektrum

9 Kumulatives Periodogramm
(normiert auf Summe = 1) Bei weissem Rauschen: gerade Linie von (0,0) nach (, 1) => Signifikanztest gegen weißes Rauschen! ε %-Signifikanz: Senkrechter Abstand zur Geraden: mit ε 0, , , ,25 dε 1, , , ,02

10 Kumulatives Periodogramm: Beispiel
Lehstenbach/Fichtelgebirge, Tageswerte

11 Kumulatives Periodogramm: Beispiel
Steinkreuz/Steigerwald, Stundenwerte

12 Periodogramm als Schätzer
Periodogramm als Schätzer für das Spektrum des die Zeitreihe erzeugende Prozesses: positiv: Erwartungswert des Periodogramms konvergiert mit zunehmender Länge der Zeitreihe negativ: die Varianz des Schätzers nimmt nicht mit zunehmender Länge des Datensatzes ab, daneu hinzukommende Information in die Verwendung von mehr Fourier-Stützstellen, und nicht in die Verringerung der Varianz an den einzelnen Stützstellen fließt: Erhöhung der Abtastrate => Verschiebung der Nyquist-Frequenz, d.h., Erfassung neuer Spektralanteile Verlängerung der Zeitreihe bei gleicher Abtastbreite => dichtere Verteilung der gleichbleibend ungenauen Schätzwerte. => verläßlichere Spektralschätzer zur Schätzung des der Zeitreihe zugrunde liegenden Prozeßspektrums gesucht

13 Signifikanz und Verteilung von Spektralwerten
Für weißes Rauschen entstammen die Schätzwerte einer Verteilung: => unabhängig von N, d.h., keine Verbesserung durch Verlängerung der Zeitreihe !

14 Endliches weißes Rauschen

15 Spektogramm = Darstellung der Spektraldichten
erfordert in der Regel eine Glättung des Periodogramms zur Verringerung von Bias und Varianz und zur Erhöhung der Stabilität der Schätzer Glättung erfolgt i.d.R. über Fenstertechniken = stückweise Gewichtung der Daten in der Zeitdomäne: Bartlett-Fenster in der Frequenzdomäne: Daniell-, Tukey-Hanning-, Hamming-, Parzen-Fenster

16 Typische Spektralschätzer: Versatzfenster

17 Peak-Identifikation: Beispiel
(Quelle: W.W.S. Wei, Time Series Analysis (Addison Wesley 1990))

18 Powerspektrum und Varianz

19 Frequenzraumdarstellung von Zeitreihen
bisher: Zeitreihen wurden durch ihre Werte dargestellt (Zeitdomäne): x = x(t) alternativ: Darstellung in einem Funktionenraum - möglich für jede Funktion in einem n-dimensionalen Vektorraum: : Koeffizienten : Basisfunktionen sinnvolle Wahl des Funktionenraums: additiv (Superposition) => orthogonale Funktionen

20 Fouriertransformation
Jede periodische Zeitreihe x(t) lässt sich auch im Frequenzraum darstellen: => Verwendung der selektiven Fouriertransformation als Filter: Tiefpassfilterung: Eliminieren der hochfrequenten Anteile Hochpassfilterung: Eliminieren der niederfrequenten Anteile Bandpassfilterung: Eliminierung aller Anteile außerhalb eines bestimmten Frequenzbereiches

21 Fast Fourier Transformation (FFT)
Numerisch schnelles numerisches Verfahren für Werte: lediglich statt Multiplikationen erforderlich Prinzip: Die diskrete Fourier-Transformation eines Datensatzes der Länge N ist gleich der Summe der beiden diskreten Fouriertransformationen der Länge N/2 (getrennt für geradzahlige und ungeradzahlige t )

22 Fast Fourier Transformation (FFT)
Index g: für geradzahlige t Index u: für ungeradzahlige t

23 Fouriertransformation
Für unendlich lange Zeitreihen gibt es alle Frequenzen Spektrum von Merkmale: umkehrbar existiert für absolut integrierbare Funktionen zeitglobal Stationarität prinzipiell erforderlich

24 Leistungsspektrum (Powerspektrum)
Def.: Energie eines Signals Leistungsspektrum, Powerspektrum, spektrale Dichte,... Nachteil: keine Phaseninformation mehr => Viele Prozesse mit gleichem Powerspektrum!

25 Powerspektrum = Verallgemeinerung der Spektralanalyse für nicht-periodische, endliche (und diskrete) Funktionen methodisch: fensterweise Durchführung einer Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion übliche Darstellung: log-log-Plot des Leistungsspektrums ( 'power-law' Charakteristik)

26 Powerspektrum = Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion

27 Bestimmung des Powerspektrums
mit ρ: Autokorrelationswert η: h: Verschiebung (Time Lag) der Autokorrelationsfunktion M: maximale Verschiebung der Autokorrelationsfunktion D(k) "Fenster", z.B. Hamming Window

28 Faltungstheorem und Autokorrelation
Faltung zweier Funktionen: Fouriertransformierte einer Funktionenfaltung Faltungstheorem Anwendung: Das Leistungsspektrum einer Zeitreihe ist die Fouriertransformierte ihrer Autokorrelation (Wiener-Khintchin-Theorem)

29 Farbiges Rauschen  Klassifizierung nach Steigung  der an den abfallenden Ast der Kurve im doppelt-logarithmischen Plot gefitteten Gerade  = 0  weißes Rauschen: ohne jegliche Struktur, frequenzunabhängige spektrale Energiedichte 1/f Rauschen: spektrale Dichte umgekehrt proportional zur Frequenz (1/f Rauschen i.e.S. = rosa Rauschen:  = 1 bzw. 0,5 <  < 1,5) 0 <  < 1  rotes Rauschen: größere Varianz der langperiodischen (niederfrequenten) Anteile => Tiefpassfilter; autokorrelierte Daten ("Trägheit") -1 <  < 0  blaues Rauschen: größere Varianz der kurzperiodischen (hochfrequenten) Anteile => Hochpassfilter

30 Beispiele für Powerspektren I
Regen, β = 0.36 Abfluss, β = 1.15 Lehstenbach/Fichtelgebirge

31 Beispiele für Powerspektren II
Regen, β = 0.28 Abfluss, β = 1.53 Lange Bramke/Harz

32 Beispiel: Fernsehturm "Telemax" (280 m)
(R. Heer, Uni Hannover)

33 Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete
(Kirchner et al. 2000)

34 Beispiel: Cl im Abfluss kleiner Einzugsgebiete
(Kirchner et al. 2000)

35 Powerspektren für nicht-äquidistante Daten: Lomb-Scargle-Normalisierung
Messungen der Zeitreihe zu beliebigen Zeitpunkten tj : für und J.D. Scargle (1982): Studies in astronomical time series analysis. II. Statistical aspects of spectral analysis of unevenly spaced data. The Astrophysical Journal 263, (1982) Lomb, N.R. (1976), Astrophysical Space Science 39 = beste (im least squares Sinne) Approximation

36 Ein ziemlich lückiger Datensatz...

37 ...und sein Spektrum

38 Beispiel: Abflusspegel mit großer Lücke

39 Lomb-Scargle-Spektrum im Vergleich

40 Ausblick auf weitere Fouriermethoden
Multivariate Fouriertransformationen Kreuz-Spektren (Kohärenz zwischen zwei Zeitreihen) Skalierung, Potenzgesetze Behandlung langreichweitiger Spektren Zeitlokale Spektren: Zeit-Frequenz-Diagramme, Wavelets