Verbesserung der Entscheidungssicherheit bei der Bestimmung von Prüfmittelfähigkeitsindizes Präsentation zum Seminar im Studiengang „Scientific Programming“ Nikolai Giesbrecht Betreuer: Prof. Dr. Horst Schäfer Prof. Dr. Christoph Weigand

Ablauf Einleitung Grundlagen – Qualität im Unternehmen – Prüfmittel Auswertung von Ergebnissen Bootstrapping Beispiel – Vorstellung – Variante: Erhöhung des Stichprobenumfangs (Variante 1) – Variante: Bootstrapping (Variante 2) Vergleich der Varianten Fazit Diskussion

Einleitung Ziel: Aussagen über eine Eigenschaft – Anwendung z. B. Politik, Wirtschaft, Technik usw. Problem: Oft hoher oder unmöglicher Aufwand – Alle müssten erreicht werden, zerstörende Prüfung usw. Folgerung: Aussagen aufgrund von Stichproben – Durch Wahrscheinlichkeit begrenzt – Sichere und effektive Verfahren notwendig Bestimmung von Prüfmittelfähigkeitsindizes – „Güte“ des Prüfmittels – Prüfmittel haben große Auswirkung auf Qualität – Bei Auswahl oder Entscheidung über Weiterverwendung sollte man sich sehr sicher sein

Grundlagen Qualität im Unternehmen Gewinnmaximierung wichtiger Faktor Für langfristigen Erfolg ist Qualität von entscheidender Bedeutung – S. „Made in Germany“, Markenprodukte werden häufig bevorzugt Qualitätsmanagement – Prozesse werden organisiert – Qualitätssicherung in verschiedenen Stufen eines Produktlebenszyklus – Viele Standards vorhanden, z. B. ISO 9000 Familie Prüfung messbarer Qualitätsmerkmale mithilfe von statistischer Qualitätssicherung (SQS) – Ressourcen werden benötigt => Prüfung kostet Geld – Reduktion von Stichprobenumfängen, Bewertung von Produktionsprozessen u. a. möglich

Grundlagen Prüfmittel Verwendung bei messenden Prüfungen – Anfertigungsprozesse – Ankommende und Ausgehende Lieferungen Bei Auswahl von Prüfmittel – Grundsätzliche Kriterien (z. B. Messgröße, Spezifikationsgrenze) – Auflösung als Kriterium Laut [1] Quotient aus Auflösung und Toleranz maximal 5 % – Eigene Messungen Messabweichungen – Ursachen: Messgeräteabweichungen, Umwelteinflüsse, Messverfahren u. a. – Verschiedene Kategorien von Abweichungen möglich, s. [2] Genauigkeit, Wiederholpräzision, Vergleichspräzision, Stabilität, Linearität

Grundlagen Prüfmittel Prüfung – Hintereinander 50 Messungen mit Prüfmittel – Derselbe Bediener – Messung eines Normals – Unabhängige Messungen Berechnung signifikanter Werte – Stichprobenmittelwert und –varianz – Potential und Fähigkeit des Prüfmittels Ergebnisse fließen in Entscheidung über Auswahl oder Weiterverwendung des Prüfmittels ein

Auswertung von Ergebnissen Definitionen – Prüfmittelpotential : – Prüfmittelfähigkeit: Für Prüfmittelpotential meist Forderung eines Mindestwertes von mindestens 1,33 Prüfmittelfähigkeit sollte möglichst gleich dem –potential sein => keine systematische Abweichung

Auswertung von Ergebnissen Prüfmittelpotential Prüfmittelpotential – => χ² - Verteilung

Auswertung von Ergebnissen Prüfmittelpotential – Berechnung für Schätzwert unter Mindestwert – Beispielhafte Rechnung n = 50, c g, min = 1,33

Auswertung von Ergebnissen Prüfmittelfähigkeit Prüfmittelfähigkeit – Keine bekannte Verteilung

Bootstrap Einführung Stichprobe mit unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariable Standardisierte Zufallsvariable konvergiert punktweise gegen Standardnormalverteilung (Zentraler Grenzwertsatz) – Existenz und Endlichkeit von Erwartungswert und Varianz notwendig – Für n -> ∞ lim n -> ∞ = |P(Z n ≤ z) = φ(z) Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom Erwartungswert ist fast sicher null (Starkes Gesetz großer Zahlen) |P(lim n -> ∞ sup|∑ i=0 n (X i – E(X i ))/n| = 0) =1

Bootstrap Einführung Abweichung der empirischen Verteilung von der zugrunde liegenden Verteilung geht fast sicher gegen null (Gliwenko- Cantelli-Satz) |P(lim n -> ∞ d n = 0) = 1 Nachbildung der empirischen Verteilungsfunktion beim Bootstrap Weitere Kriterien vorhanden, daher nicht immer anwendbar Konvergenzgeschwindigkeit kann in einigen Fällen abgeschätzt werden – S. Satz von Berry-Esseen, Edgeworth Entwicklung, Cornish-Fisher- Methode

Bootstrap Durchführung Stichprobe von einer unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariable Schätzung des gewünschten Parameters Ziehung von Stichproben aus der originalen und jeweils Schätzung des gewünschten Parameters Normale Approximationsmethode, s. [3] – Geschätzter Parameter muss normalverteilt sein – Bildung eines Konfidenzintervalls entsprechend einer Normalverteilung um den Parameter aus der Originalstichprobe Perzentilmethode, s. [4] – Ordnung der geschätzten Bootstrap-Parameter – Bildung eines Konfidenzintervalls – Hohe Anzahl an Bootstrap-Stichproben nötig, bei kleinen Stichproben nicht sicher

Beispiel Erzeugung von Zufallszahlen mit Java Beispielsweise Abweichung von einer Füllhöhe eines Flüssigkeitsbehälters Verwendung nur der ersten 50 von den 70 Werten Wahl für Toleranz T = 30,4; somit hinreichend groß

Beispiel Berechnung signifikanter Werte Signifikante Werte – Stichprobenmittelwert:= -0,338 – Stichprobenvarianz: s²= 1,30 – Stichprobenstandardabweichung: s= 1,14 – Prüfmittelpotential:= = 1,33 – Prüfmittelfähigkeit:= = 1,18 – Abschätzung des Prüfmittelpotentials nach unten Bei einer normalverteilten Grundgesamtheit ist Z chi-quadrat verteilt – Z = (n – 1) s² / σ² – Z ≥ χ n-1; 1-γ ²  (n – 1) s² / σ² ≥ χ n-1; 1-γ ²  σ² ≤ (n – 1) s² / χ n-1; 1-γ ² Mit γ = 95 % folgt – σ² ≤ (n – 1) s² / χ 49; 0,05 ² = 49 ∙ 1,30 / 33,9 ≈ 1,88 => c g ≥ 0,20 ∙ 30,4 / (4 ∙ √1,88) ≈1,11

Variante: Erhöhung des Stichprobenumfangs Nutzung aller 70 Werte – Beachtung, dass deshalb die Wahrscheinlichkeit für einen Schätzwert über dem Mindestwert anders ist Signifikante Werte – Stichprobenmittelwert:= -0,130 – Stichprobenvarianz: s²= 1,237 – Stichprobenstandardabweichung: s= 1,112 – Prüfmittelpotential:= 1,37 ≥ 1,17 – Prüfmittelfähigkeit:= 1,31 Aufwand – Kann sehr kosten- oder zeitintensiv sein

Variante: Bootstrapping Aus 50er Stichprobe wurden B = 1000 Stichproben gezogen Bei der Abschätzung wurde die Perzentilmethode verwendet Signifikante Werte – Mittelwert (der Mittelwerte):= -0,340 – Mittelwert der Varianzen: s²= 1,28 – Mittelwert der Standardabweichungen: s= 1,13 – Prüfmittelpotential:= 1,35 ≥ 1,13 – Prüfmittelfähigkeit:= 1,19 Aufwand – Schnelle Berechnungen – Benötigt Computer und passende Software

Vergleich der Varianten Ergebnisse des Beispiels Bei Variante 1 insbesondere bei Prüfmittelfähigkeit deutliche Verbesserung Variante 2 brachte nur leichte Verbesserungen

Vergleich der Varianten Ergebnisse eines anderen Beispiels Variante 1 – Schlechtere Werte als bei der Standardprüfung, obwohl einige Schätzwerte näher bei den tatsächlichen liegen Variante 2 – Deutliche Verbesserung bei Abschätzung des Potentials nach unten, sonst nur wenig bessere Werte

Fazit Erhöhung des Stichprobenumfangs – Meist näher an der tatsächlichen Verteilung Genauere Ergebnisse, jedoch Nachteile bei Abschätzungen möglich – Erwägenswert bei relativ kostengünstigen Prüfungen Bootstrapping – In den Beispielen meist nur leichte Verbesserungen – Könnte aufgrund geringem Mehraufwand trotzdem hilfreich sein Fallabhängige Entscheidung über Verwendung der Varianten – Jeweils Beachtung, ob und welcher Nutzen entsteht Testen anderer Verfahren – Variierung der Anzahl der Bootstrapstichproben, BC, BCa – Weitere Resampling – Verfahren (z. B. Jacknife)

Ende des Vortrags Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit Haben Sie Fragen zum Thema? Diskussion

Literaturverzeichnis [1] „Prüfmittelmanagement“, Arbeitsgruppe 136. Prüfmittelmanagement – Planen, Überwachen, Organisieren und Verbessern von Prüfprozessen. 2. Auflage. Frankfurt: Deutsche Gesellschaft für Qualität e. V., S. 68. Band / [2] Messsystemanalyse. Wikipedia. [Online] [Zitat vom ] [3] Shikano, Susumu. Bootstrap and Jacknife. [Online] [Zitat vom ] BootstrapMethodenbuch pdf [4] Chernik, Michael R. Bootstrap Methods – A Guide for Practitioners and Researchers. 2. Auflage. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons Inc., S. 57/