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Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I Themen: Vorlesung 8 Statistik Dichtefunktionen Jährliche und partielle Serien.

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1 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Vorlesung Wasserwirtschaft & Hydrologie I Themen: Vorlesung 8 Statistik Dichtefunktionen Jährliche und partielle Serien Trendanalyse Extremwertstatistik Typen von Verteilungsfunktionen

2 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken analysieren anwenden verstehen erinnern Lehrziele der Veranstaltung erschaffen bewerten Sie kennen die grundlegenden Annahmen der (hydrologischen) Statistik. Sie verstehen den Einfluss von Ausreißern auf die Extremwert- statistik. Sie verstehen die prinzipielle Vorgehensweise bei der Extremwert- statistik für Hochwasserabflüsse. Sie wenden geeignete Verteilungsfunktionen für die Auswertung an.

3 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Basisansatz, Hypothese:y(t) = y T (t) + y P (t) + y korr (t) + z(t) Vorgehensweise: Trennung der Komponenten y(t) y(t) - y T (t) y(t) - y T (t) - y P (t) z(t) y korr (t) Trendanteil periodischer Anteil korrelativer Anteil Zufallsanteil Regressionsanalyse Glättung (Bildung von Gleitmitteln) Harmonische Analyse Fourieranalyse Glättung (Mittelbildung unter Berücksichtigung der Periode) Autokorrelations- analyse y T (t)y P (t) Basisansatz

4 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Q [m³/s] t Zeitraster Klassen- einteilung Häufigkeit Haufigkeitsermittlung

5 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken ,0380,1540,038 0,077 0, Häufigkeit Häufigkeit (absolut) Häufigkeit (relativ) Dichtefunktion Ermittlung der Dichtefunktion

6 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Abflussganglinie

7 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Dichtefunktionen

8 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Verteilungsfunktionen

9 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Abflüsse unterschiedlicher Wiederkehrintervalle

10 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken 2. Trendprüfung (+ gegebenenfalls Trend bereinigen) 4. Angabe der Bandbreite für die Extremwert HQ x Plausibilisierung der Eingangsdaten (Prüfung auf Vollständigkeit / Fehlzeiten, Test auf Ausreißer) 1. Anwendung der Extremwertstatistik (mit Parameteranpassung bei Zugrundlegung der jährlichen (oder partiellen) Serie) 3. Vorgehensweise bei der statistischen Analyse

11 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken TendenzSprung Trend

12 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Q [m³/s] t [Jahre] Trendbereinigung Die Eingangs- informationen für extremwert- statistische Auswertungen dürfen keinen Trend aufweisen In diesem Fall ergibt die Prüfung einen linearen Trend; die Messwerte müssen von diesem Trendanteil bereinigt werden. Trendbehaftete Zeitreihe

13 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken 1 Jahr N [mm] [Monate, Tage, Stunden,] t jährliche SerieEingang in die Berechnung findet jeweils der größte Wert pro Jahr Jährliche Serie

14 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken 1 Jahr N [mm] [Monate, Tage, Stunden,] t partielle SerieEingang finden die n größten Werte pro Jahr (n =2 oder 3) Partielle Serie

15 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Als Eingangswerte für extremwert-statistische Berechnungen werden die maximalen Abflüssen eines jeden Jahres (jährliche Serie) verwendet. In diesem Fall umfasst die Serie 27 Jahre. Extremwertstatistik

16 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Die Reihe der Messwerte weist Fehljahre auf. Dies kann beispiels- weise durch Ausfall der Messeinrichtung auftreten oder durch fehlerbehaftete Daten. Fehlzeiten werden durch besondere Werte gekenn- zeichnet. Zeitreihe der jährlichen Serie

17 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Bevor eine extrem- wertstatistische Berechnung durch- geführt werden darf, muss eine Trend- analyse erfolgen. Trendbehaftete Messreihen verstossen gegen die Grund- annahmen der Extra- polation. Trendanalyse

18 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken In einem ersten Schritt wird für die verschiedenen Verteilungsfunktionen die Parameter- anpassung überprüft. Die drei Verteilungs- funktionen mit den besten Kriterien für die Parameteranpassung werden für die weitere Bearbeitung vorgeschla- gen. In diesem Fall sind es die Verteilungen: Log-Normal [LN3] Pearson3 [P3] Weibull [WB3] Test der Verteilungsfunktion

19 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Für die unterschiedlichen Verteilungen werden Prüfgrößen und Qualitätskennwerte ausgewiesen. Parameter der Verteilungsfunktion

20 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Die verschiedenen Verteilungsfunktionen liefern als Ergebnis eine Spannweite der extremen Abflüsse. In diesem Fall liegt der Abfluss für das 50-jährige Ereignis HQ 50 zwischen 217 und 223 m³/s. Ergebnisse der Extremabflüsse

21 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Die verschiedenen Verteilungsfunktionen differieren bei kleinen Wiederkehrintervallen kaum. Das Streumaß nimmt jedoch deutlich mit größerem Wieder- kehrintervall zu. Der grau hinterlegte Bereich gibt die- jenigen Wiederkehr- intervalle an, die außerhalb des be- legten Extrapolations- bereichs liegen. (3x21=63 Jahre) Graphische Darstellung der Extrapolationsergebnisse

22 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Um den Einfluss einzelner Messwerte auf das Ergebnis der Extrapolation statistisch zu ver- deutlichen wird hier ein Beispiel aus- geführt. Es wird lediglich der größte Wert der jährlichen Serie abgeändert (von 238 auf 300m³/s) und der gesamte Vorgang wiederholt. Sensitivität der Verteilungen

23 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Die Anpassung der Verteilungsfunktionen ergibt bereits erste Abweichungen. Nunmehr sind die Extremalverteilung vom Typ 1 [E1] und die allgemeine Extremalwertver- teilung [AE] am besten geeignet zur Anpassung an die Messreihe. Sensitivität der Verteilungen

24 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Originalwerte Die Ergebnisse der Extremabflüsse weichen deutlich von der ersten Berechnung ab. Das HQ 50 wäre in diesem Fall in einer Größenordnung von m³/s anzusetzen. Sensitivität der Verteilungen

25 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Das Streumaß der Ergebnisse ist in diesem Fall ebenfalls deutlich größer als bei der Ursprungsreihe. Dieser einfache Test verdeutlicht, wie groß der Einfluss einzelner, großer Messwerte auf die extremwert- statistische Auswertung ist. Deshalb sind immer Ausreißertests vor der Auswertung durchzuführen. Sensitivität der Verteilungen

26 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Normalverteilung

27 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Lognormalverteilung

28 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Exponentialverteilung

29 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Gamma-Verteilung

30 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Pearson Typ3 Verteilung

31 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Log Pearson Typ3 Verteilung

32 Univ.-Prof. Dr.-Ing. H. Nacken Extremal Verteilung


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