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Verkettung von zwei Funktionen
… und ihre Auswirkungen auf Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit
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Verkettung von Funktionen
„Bei einer Funktion f steht anstelle der Variablen x eine Funktion g der Variablen x“ h(x) = f(g(x)) oder f◦g f(x) = äußere Funktion g(x) = innere Funktion Beispiel f(x) = x³ g(x) = 5x²-6 h(x) = (5x²-6)³
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Stetigkeit „Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 stetig, wenn gilt: “ Also muss: f an der Stelle x0 definiert sein Der Grenzwert f(x) existieren Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen
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Stetigkeit
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Stetigkeit verketteter Funktionen
1. Funktionen f und g sind stetig Ist die Funktionen f in xo und g bei f(xo) stetig, dann ist auch die Verkettung f◦g in xo stetig Beispiel f(x) = ex g(x) = -3x h(x) =e -3x
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Stetigkeit verketteter Funktionen
2. Funktionen f ist unstetig Ist die Funktion f unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = g(x) = 3x+2 h(x) =
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Stetigkeit verketteter Funktionen
3. Funktionen g ist unstetig Ist die Funktion g unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = 3x+2 g(x) = h(x) =
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Stetigkeit verketteter Funktionen
4. Funktionen f und g sind unstetig Sind die Funktionen f und g unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = 1/x g(x) = h(x) =
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Differenzierbarkeit (x;f(x)) f(x)-f(c) (c;f(c)) x-c c x
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Differenzierbarkeit (x;f(x)) f(x)-f(c) (c;f(c)) x-c c x
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Merksätze Funktion ableitbar an x=c Funktion stetig an x=c
Differenzierbarkeit bedeutet Stetigkeit. Funktion stetig an x=c Funktion an x=c nicht unbedingt differenzierbar Stetigkeit bedeutet nicht Differenzierbarkeit.
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Beispiel: nicht stetig und nicht differenzierbar
an c=6
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Beispiel: stetig und differenzierbar
an c=2
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Integrierbarkeit Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist. Im Intervall [a,c] a b c
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