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Verkettung von zwei Funktionen … und ihre Auswirkungen auf Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit.

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Präsentation zum Thema: "Verkettung von zwei Funktionen … und ihre Auswirkungen auf Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit."—  Präsentation transkript:

1 Verkettung von zwei Funktionen … und ihre Auswirkungen auf Stetigkeit Differenzierbarkeit Integrierbarkeit

2 Verkettung von Funktionen Bei einer Funktion f steht anstelle der Variablen x eine Funktion g der Variablen x h(x) = f(g(x)) oder fg f(x) = äußere Funktion g(x) = innere Funktion Beispiel f(x) = x³ g(x) = 5x²-6 h(x) = (5x²-6)³

3 Stetigkeit Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x 0 stetig, wenn gilt: Also muss: 1.f an der Stelle x 0 definiert sein 2.Der Grenzwert f(x) existieren 3.Grenzwert und Funktionswert übereinstimmen

4 Stetigkeit

5 Stetigkeit verketteter Funktionen 1. Funktionen f und g sind stetig Ist die Funktionen f in x o und g bei f(x o ) stetig, dann ist auch die Verkettung fg in x o stetig Beispiel f(x) = e x g(x) = -3x h(x) =e -3x

6 Stetigkeit verketteter Funktionen 2. Funktionen f ist unstetig Ist die Funktion f unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = g(x) = 3x+2 h(x) =

7 Stetigkeit verketteter Funktionen 3. Funktionen g ist unstetig Ist die Funktion g unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = 3x+2 g(x) = h(x) =

8 Stetigkeit verketteter Funktionen 4. Funktionen f und g sind unstetig Sind die Funktionen f und g unstetig, ist auch die verkettete Funktion nicht stetig Beispiel f(x) = 1/x g(x) = h(x) =

9 Differenzierbarkeit x-c f(x)-f(c) c x (c;f(c)) (x;f(x))

10 Differenzierbarkeit x-c f(x)-f(c) c x (c;f(c)) (x;f(x))

11 Merksätze 1.Funktion ableitbar an x=c Funktion stetig an x=c Differenzierbarkeit bedeutet Stetigkeit. 2.Funktion stetig an x=c Funktion an x=c nicht unbedingt differenzierbar Stetigkeit bedeutet nicht Differenzierbarkeit.

12 Beispiel: nicht stetig und nicht differenzierbar an c=6

13 Beispiel: stetig und differenzierbar an c=2

14 Integrierbarkeit Funktion ist integrierbar, wenn sie zumindest stückweise stetig ist. a c b Im Intervall [a,c]


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