Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht MNU- Tagung am 09.10.2007 an.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht MNU- Tagung am 09.10.2007 an."—  Präsentation transkript:

1 Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht MNU- Tagung am an der Universität in DortmundKlaus Gerber, Leichlingen

2 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen

3 1.Geometrisch orientierte Strategien 2.Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI 3.Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen 4.Experimentelle Untersuchungen

4 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen 1.Geometrisch orientierte Strategien 2.Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI 3.Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen 4.Experimentelle Untersuchungen

5 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen In ein trichterförmiges Gefäß läuft Wasser ein. Es hat die Form eines auf der Spitze stehenden Kegels mit dem Radius r = 5 cm und der Höhe h = 10 cm. Die Zuflussgeschwindig- keit beträgt 9 cm 3 /min. Mit welcher Geschwindigkeit steigt der Wasserpegel, wenn die Füllhöhe gerade 6 cm beträgt? Pólyas Kegel

6 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel 1. Zeichnung: 2. Gegebene Änderungsrate: Gesuchte Änderungsrate: 3. Kettenregel: 4. Es gilt: Mit der Ähnlichkeitsbeziehung erhält man: Ableiten ergibt: 5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel: Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit: Gesucht! Lösung:

7 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen 1.Fertige eine Zeichnung mit den relevanten geometrischen Größen an. 2.Notiere die gegebenen und die gesuchten Änderungsraten. 3.Formuliere die Kettenregel, die die Änderungsraten verknüpft. 4.Finde die unbekannte Änderungsrate in der Kettenregel mit geometrischen Hilfsmitteln (Ähnlichkeit, Pythagoras, Koordinatengeometrie). 5.Setze die gefundene Änderungsrate in die Kettenregel ein, und berechne die gesuchten Größen. Die Lösungsschritte lassen sich zusammenfassen:

8 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Verwandte Aufgaben:

9 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen 1.Geometrisch orientierte Strategien 2.Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI 3.Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen 4.Experimentelle Untersuchungen

10 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Ein Glas entsteht durch die Rotation des Graphen zu f(x) = 0,5 x im Intervall [0; 10]. Nun wird das Glas mit der Spitze nach unten aufrecht gestellt und mit Wein gefüllt. Die Zufluss- geschwindigkeit beträgt 9 cm 3 /min. Berechne die momentane Pegelgeschwindigkeit, wenn die Füllhöhe 6 cm beträgt? Pólyas Kegel mit dem HDI

11 4. Berandungsfunktion f mit. f und f 2 sind stetig. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Integralfunktion mit dem Term differenzierbar und es gilt: Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel mit dem HDI 1. Zeichnung: 2. Gegebene Änderungsrate: Gesuchte Änderungsrate: 3. Kettenregel: 5. Einsetzten in die umgeformte Kettenregel: Mit der Füllhöhe y = 6cm erhält man die gesuchte Pegelgeschwindigkeit: Gesucht! Lösung: Allgemein gilt:

12 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Verwandte Aufgaben: Vasen, Silos, Sektschalen, Weinkelche......

13 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen 1.Geometrisch orientierte Strategien 2.Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI 3.Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen 4.Experimentelle Untersuchungen

14 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen In das trichterförmiges Gefäß läuft Wasser ein. (Radius r = 5cm und der Höhe h = 10cm.) Wasser läuft nun mit der veränderlichen Zuflussgeschwindig- keit dV/dt = t zu. Berechne die momentane Pegelgeschwindigkeit 3s nach dem Start des Zuflusses in das leere Glas? Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss

15 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Pólyas Kegel mit veränderlichem Zufluss Einsetzen in die umgeformte Kettenregel: Separation der Variablen: Integration: Wenn für t=0 die Füllhöhe 0cm beträgt, ist die Integrationskonstante c=0 und wir können die Lösungsfunktion der Differentialgleichung durch Auflösen nach y bestimmen: Ihre Ableitungsfunktion beschreibt die Pegelgeschwindigkeit: 3s nach dem Start des Zuflusses beträgt die gesuchte Pegelgeschwindigkeit :

16 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen 1.Geometrisch orientierte Strategien 2.Related-Rates-Aufgaben in Verbindung mit dem HDI 3.Veränderliche Raten – Sprungbrett zu den Differenzialgleichungen 4.Experimentelle Untersuchungen

17 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen 1. Aufzeichnung des Füllvorgangs mit einer Videokamera und Auswertung mit einer Videoanalyse-Software (z.B.: VIANA) Befüllung einer Glaskaraffe 2. Entwicklung eines mathematischen Modells mit einer ganzrationalen Berandungsfunktion und Lösung als Related- Rates-Problem. 3. Vergleich der Modelle.

18 Related-Rates-Problems Klaus Gerber, Leichlingen Danke für Ihre Aufmerksamkeit!


Herunterladen ppt "Related-Rates-Problems – Aufgaben mit verketteten Änderungsraten – Ein integrierendes Konzept für den Analysis-Unterricht MNU- Tagung am 09.10.2007 an."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen