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Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht.

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1 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht immer so reibungslos, wie dies in den bisher gezeigten Beispielen den Anschein machte. In dieser Vorlesung werden die Probleme der sogenannten algebraischen Schleifen und der singulären Strukturen behandelt.

2 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Übersicht Algebraische Schleifen Strukturdiagramme Strukturelle Singularitäten Ableitung

3 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Algebraische Schleifen: Ein Beispiel Komponentengleichungen: U 0 = f(t)u 3 = R 3 · i 3 u 1 = R 1 · i 1 u L = L· di L /dt u 2 = R 2 · i 2 Knotengleichungen: i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i 3 Maschengleichungen: U 0 = u 1 + u 3 u L = u 1 + u 2 u 3 = u 2 Das Netzwerk enthält 5 Komponenten Wir benötigen 10 Gleichungen in 10 Unbekannten

4 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren I U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i 3 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2 1. U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i 3 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i 3 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i 3 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2

5 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren II U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L i 1 = i 2 + i 3 U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2 Eine solche Situation deutet immer auf das Vorhandensein algebraischer Schleifen hin. Bei den sechs noch a-kausalen Gleichungen (d.h. den Gleichungen ohne rote Variable) enthält jede Gleichung mindestens zwei Unbe- kannte, und jede Unbekannte taucht in mindestens zwei Gleichungen auf.

6 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Algebraische Schleifen I 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u Wir wählen eine Variable in einer Gleichung, z.B. Variable i 1 in Gleichung 4. Wir nehmen diese Variable nun als bekannt an und fahren fort wie bis anhin.

7 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Algebraische Schleifen II 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u 2 i2i2 i1i1 u1u1 u3u3 i3i3 u2u2 U0U Algebraische Schleifen Strukturdiagramm

8 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Auflösen algebraischer Schleifen I 1. u 1 = R 1 · i 1 2. u 2 = R 2 · i 2 3. u 3 = R 3 · i 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. U 0 = u 1 + u 3 6. u 3 = u 2 1. u 1 = R 1 · i 1 2. i 2 = u 2 / R 2 3. i 3 = u 3 / R 3 4. i 1 = i 2 + i 3 5. u 3 = U 0 - u 1 6. u 2 = u 3 i 1 = i 2 + i 3 = u 2 / R 2 + u 3 / R 3 = u 3 / R 2 + u 3 / R 3 = ((R 2 + R 3 ) / (R 2 · R 3 )) · u 3 = ((R 2 + R 3 ) / (R 2 · R 3 )) · (U 0 - u 1 ) = ((R 2 + R 3 ) / (R 2 · R 3 )) · (U 0 - R 1 · i 1 ) i 1 = R 2 + R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 · U 0 Gleichung 4. wird durch die neue Gleichung ersetzt.

9 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Auflösen algebraischer Schleifen II U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2 i 1 = R 2 + R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 · U 0 Die algebraischen Schleifen sind jetzt aufgelöst, und es kann mit dem Sortieralgorithmus in der üblichen Weise fortgefahren werden.

10 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren III U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2 i 1 = R 2 + R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 · U 0 U 0 = f(t) u 1 = R 1 · i 1 u 2 = R 2 · i 2 u 3 = R 3 · i 3 u L = L· di L /dt i 0 = i 1 + i L U 0 = u 1 + u 3 u 3 = u 2 u L = u 1 + u 2 i 1 = R 2 + R 3 R 1 R 2 + R 1 R 3 + R 2 R 3 · U 0

11 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Mehrere gekoppelte Schleifen 1. a = b b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g c d hg b f a e a = b b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g 1. a = b b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g c = b + d = 3·f + h = 3·f + g = 3·f + 2·c f = e + g = a + 2·c = b + 2·c + 1 = 3·f + 2·c + 1 c + 3·f = 0 2·c + 2·f = -1 c = f =

12 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Strukturelle Singularität: Ein Beispiel 16 Gleichungen 16 Unbekannte Das gemischt rotatorische und translatorische System weist drei Körper auf: die Träg- heiten J 1 und J 2 sowie die Masse m. Somit würden wir erwarten, dass es sich um ein System 6 er Ordnung handelt. 3 Körper 6 Differentialgleichungen + 3 algebraische Gleichungen (DAlembert) 3 Reibungen 3 algebraische Gleichungen (Reibungskräfte) 2 Federn 2 algebraische Gleichungen (Federkräfte) 1 Getriebe 2 algebraische Gleichungen (Übertragung)

13 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Modellieren des Getriebes = r · F x = r · Wir schneiden das Getriebe auf. Dafür wird die Schneidekraft F eingeführt. Das Drehmoment ist proportional zur Schneidekraft F, und der Weg x ist proportional zum Drehwinkel.

14 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Aufschneiden des Systems (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G x = r · 2 B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x 16 Gleichungen 16 Unbekannte

15 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren I (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G x = r · 2 B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x Diese Gleichung kann nicht verwendet werden, da sie keine Unbekannte enthält. Idee: Wenn eine Gleichung für alle Zeiten gilt, dann gilt auch jede Ableitung davon. Man ersetze die unverwend- bare Gleichung durch ihre Ableitung.

16 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Ableiten I (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G v = r · 2 B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x Die Gleichung ist leider immer noch nicht verwendbar, da sie immer noch keine Unbekannte enthält. Man leite die unverwend- bare Gleichung nochmals ab.

17 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Ableiten II (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt Die Gleichung ist jetzt verwend- bar geworden, da jetzt beide der darin erwähnten Variablen unbekannt sind. Die beiden Ableitungen waren bisher rot, da beide nur einmal im Gleichungssystem auftauchten. Jetzt sind sie aber zweimal vorhanden und müssen darum wieder schwarz gemacht werden.

18 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren II (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt

19 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren III (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt Es bleiben immer noch 6 Gleichungen in 6 Unbekannten. Jede der Gleichungen enthält min- destens zwei der Unbekannten. Jede Unbekannte taucht in mindestens zwei der Gleichungen auf. Wir haben es wieder mit mindestens einer algebrai- schen Schleife zu tun.

20 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Algebraische Schleife (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt Wahl (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt

21 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Horizontales Sortieren IV (t) = T1 + B1 + B3 B1 = T2 + k1 + G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g T1 = J 1 · d 1 dt d 1 dt = 1 T2 = J 2 · d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt T1 = (t) - B1 - B3 T2 = B1 - k1 - G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g = T1 / J 1 d 1 dt d 1 dt = 1 = T2 / J 2 d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt

22 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Auflösen der algebraischen Schleife I d 2 dt = T2 / J 2 = ( B1 - k1 - G ) / J 2 = ( B1 - k1 ) / J 2 - G /J 2 = ( B1 - k1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · F G T1 = (t) - B1 - B3 T2 = B1 - k1 - G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g = T1 / J 1 d 1 dt d 1 dt = 1 = T2 / J 2 d 2 dt d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt = ( B1 - k1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (F I + F k2 + F B2 + m·g) = ( B1 - k1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (F k2 + F B2 + m·g) - (r /J 2 ) · F I = ( B1 - k1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (F k2 + F B2 + m·g) - (m·r /J 2 ) · dv/dt = ( B1 - k1 ) / J 2 - (r /J 2 ) · (F k2 + F B2 + m·g) - (m·r 2 /J 2 ) · d 2 /dt

23 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Auflösen der algebraischen Schleife II T1 = (t) - B1 - B3 T2 = B1 - k1 - G F G = F I + F k2 + F B2 + m · g G = r · F G B1 = B 1 · ( 1 – 2 ) B3 = B 3 · 1 F B2 = B 2 · v k1 = k 1 · 2 F k2 = k 2 · x dv dt = r · d 2 dt = T1 / J 1 d 1 dt d 1 dt = 1 d 2 dt = 2 F I = m· dv dt dx dt = v d 2 dt = B1 - k1 – r · (F k2 + F B2 ) – m·g·r J 2 + m·r 2

24 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Anmerkungen Das Problem der strukturellen Singularität trat auf, weil die Masse m und die Trägheit J 2 nicht unabhängig voneinander bewegt werden können. Eigentlich hätte das System deshalb durch 4 Differentialgleichungen beschrieben werden können. Die hier angebotene Lösung zeigt diese mögliche Einsparung der Anzahl Zustände nicht auf. Eine bessere Lösung wird nächste Woche gezeigt.

25 Anfang Präsentation 27. Oktober, 2004 Referenzen Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling, IEEE Control Systems, 13(2), pp Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling


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