Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten

Präsentation zum Thema: "Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten"—  Präsentation transkript:

1 Algebraische Schleifen und Strukturelle Singularitäten
Der bisher aufgezeigte Sortieralgorithmus funktioniert nicht immer so reibungslos, wie dies in den bisher gezeigten Beispielen den Anschein machte. In dieser Vorlesung werden die Probleme der sogenannten algebraischen Schleifen und der singulären Strukturen behandelt. 27. Oktober, 2004

2 Übersicht Algebraische Schleifen Strukturdiagramme
Strukturelle Singularitäten Ableitung 27. Oktober, 2004

3 Algebraische Schleifen: Ein Beispiel
Komponentengleichungen: U0 = f(t) u3 = R3· i3 u1 = R1· i1 uL = L· diL/dt u2 = R2· i2 Knotengleichungen: i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 Maschengleichungen: U0 = u1 + u3 uL = u1 + u2 u3 = u2 Das Netzwerk enthält 5 Komponenten  Wir benötigen Gleichungen in 10 Unbekannten 27. Oktober, 2004

4 Horizontales Sortieren I
1. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 2. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 3. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 4. U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 27. Oktober, 2004

5 Horizontales Sortieren II
U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL i1 = i2 + i3 U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 Bei den sechs noch a-kausalen Gleichungen (d.h. den Gleichungen ohne rote Variable) enthält jede Gleichung mindestens zwei Unbe-kannte, und jede Unbekannte taucht in mindestens zwei Gleichungen auf.  Eine solche Situation deutet immer auf das Vorhandensein algebraischer Schleifen hin. 27. Oktober, 2004

6 Algebraische Schleifen I
Wir wählen eine Variable in einer Gleichung, z.B. Variable i1 in Gleichung 4. Wir nehmen diese Variable nun als bekannt an und fahren fort wie bis anhin. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 1. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 2. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 3. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 4. 1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 27. Oktober, 2004

7 Algebraische Schleifen II
1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 Strukturdiagramm Algebraische Schleifen i2 i1 u1 u3 i3 u2 U0 4. 1. 2. 3. 5. 6. 27. Oktober, 2004

8 Auflösen algebraischer Schleifen I
1. u1 = R1· i1 2. u2 = R2· i2 3. u3 = R3· i3 4. i1 = i2 + i3 5. U0 = u1 + u3 6. u3 = u2 1. u1 = R1· i1 2. i2 = u2 / R2 3. i3 = u3 / R3 4. i1 = i2 + i3 5. u3 = U0 - u1 6. u2 = u3 Gleichung 4. wird durch die neue Gleichung ersetzt.  i1 = i2 + i3 = u2 / R2 + u3 / R3 = u3 / R2 + u3 / R3 = ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · u3 = ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - u1 ) = ((R2 + R3 ) / (R2 · R3 )) · (U0 - R1· i1 )  i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0 27. Oktober, 2004

9 Auflösen algebraischer Schleifen II
U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0  Die algebraischen Schleifen sind jetzt aufgelöst, und es kann mit dem Sortieralgorithmus in der üblichen Weise fortgefahren werden. 27. Oktober, 2004

10 Horizontales Sortieren III
U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0 U0 = f(t) u1 = R1· i1 u2 = R2· i2 u3 = R3· i3 uL = L· diL/dt i0 = i1 + iL U0 = u1 + u3 u3 = u2 uL = u1 + u2 i1 = R2 + R3 R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 · U0 27. Oktober, 2004

11 Mehrere gekoppelte Schleifen
4. 6. 1. 2. 3. 5. c d h g b f a e 7. 8. c = b + d = 3·f + h = 3·f + g = 3·f + 2·c f = e + g = a + 2·c = b + 2·c + 1 = 3·f + 2·c + 1 1. a = b + 1 2. b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g 1. a = b + 1 2. b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g  1. a = b + 1 2. b = 3·f 3. c = b + d 4. d = h 5. e = a 6. f = e + g 7. g = 2·c 8. h = g  c + 3·f = 0 2·c + 2·f = -1 c = f = 27. Oktober, 2004

12 Strukturelle Singularität: Ein Beispiel
Das gemischt rotatorische und translatorische System weist drei Körper auf: die Träg-heiten J1 und J2 sowie die Masse m. Somit würden wir erwarten, dass es sich um ein System 6er Ordnung handelt. 3 Körper  6 Differentialgleichungen + 3 algebraische Gleichungen (D’Alembert) 3 Reibungen  3 algebraische Gleichungen (Reibungskräfte) 2 Federn  2 algebraische Gleichungen (Federkräfte) 1 Getriebe  2 algebraische Gleichungen (Übertragung)  16 Gleichungen 16 Unbekannte 27. Oktober, 2004

13 Modellieren des Getriebes
Wir schneiden das Getriebe auf. Dafür wird die Schneidekraft F eingeführt.  Das Drehmoment t ist proportional zur Schneidekraft F, und der Weg x ist proportional zum Drehwinkel . t = r · F x = r ·  27. Oktober, 2004

14 Aufschneiden des Systems
t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG x = r · 2 tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x  16 Gleichungen 16 Unbekannte 27. Oktober, 2004

15 Horizontales Sortieren I
t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG x = r · 2 tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x Diese Gleichung kann nicht verwendet werden, da sie keine Unbekannte enthält. Idee: Wenn eine Gleichung für alle Zeiten gilt, dann gilt auch jede Ableitung davon.  Man ersetze die unverwend-bare Gleichung durch ihre Ableitung. 27. Oktober, 2004

16 Ableiten I t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG v = r ·  2 tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x Die Gleichung ist leider immer noch nicht verwendbar, da sie immer noch keine Unbekannte enthält.  Man leite die unverwend-bare Gleichung nochmals ab. 27. Oktober, 2004

17 Ableiten II t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · Die Gleichung ist jetzt verwend-bar geworden, da jetzt beide der darin erwähnten Variablen unbekannt sind. Die beiden Ableitungen waren bisher rot, da beide nur einmal im Gleichungssystem auftauchten. Jetzt sind sie aber zweimal vorhanden und müssen darum wieder schwarz gemacht werden. 27. Oktober, 2004

18 Horizontales Sortieren II
t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r ·  27. Oktober, 2004

19 Horizontales Sortieren III
t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · Es bleiben immer noch 6 Gleichungen in 6 Unbekannten. Jede der Gleichungen enthält min-destens zwei der Unbekannten. Jede Unbekannte taucht in mindestens zwei der Gleichungen auf.  Wir haben es wieder mit mindestens einer algebrai-schen Schleife zu tun. 27. Oktober, 2004

20 Algebraische Schleife
t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r ·  Wahl 27. Oktober, 2004

21 Horizontales Sortieren IV
t (t) = tT1 + tB1 + tB3 tB1 = tT2 + tk1 + tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g tT1 = J1· d1 dt d1 = 1 tT2 = J2· d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · tT1 = t (t) - tB1 - tB3 tT2 = tB1 - tk1 - tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g = tT1 / J1 d1 dt d1 = 1 = tT2 / J2 d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r ·  27. Oktober, 2004

22 Auflösen der algebraischen Schleife I
tT1 = t (t) - tB1 - tB3 tT2 = tB1 - tk1 - tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g = tT1 / J1 d1 dt d1 = 1 = tT2 / J2 d2 d2 = 2 FI = m· dv dx = v tG = r · FG tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x = r · d2 dt = tT2 / J2 = (tB1 - tk1 - tG ) / J2 = (tB1 - tk1 ) / J2 - tG /J2 = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · FG = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (FI + Fk2 + FB2 + m·g) = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g) - (r /J2 ) · FI = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g) - (m·r /J2 ) · dv/dt = (tB1 - tk1 ) / J2 - (r /J2 ) · (Fk2 + FB2 + m·g) - (m·r2 /J2 ) · d2 /dt 27. Oktober, 2004

23 Auflösen der algebraischen Schleife II
tT1 = t (t) - tB1 - tB3 tT2 = tB1 - tk1 - tG FG = FI + Fk2 + FB2 + m · g = tT1 / J1 d1 dt d1 = 1 d2 = 2 FI = m· dv dx = v d2 = tB1 - tk1 – r · (Fk2 + FB2 ) – m·g·r J2 + m·r2 tG = r · FG dv d2 = r · dt dt tB1 = B1· (1 – 2 ) tB3 = B3· 1 FB2 = B2· v tk1 = k1· 2 Fk2 = k2· x 27. Oktober, 2004

24 Anmerkungen Das Problem der strukturellen Singularität trat auf, weil die Masse m und die Trägheit J2 nicht unabhängig voneinander bewegt werden können. Eigentlich hätte das System deshalb durch 4 Differentialgleichungen beschrieben werden können. Die hier angebotene Lösung zeigt diese mögliche Einsparung der Anzahl Zustände nicht auf. Eine bessere Lösung wird nächste Woche gezeigt. 27. Oktober, 2004

25 Referenzen Cellier, F.E. and H. Elmqvist (1993), “Automated formula manipulation supports object-oriented continuous-system modeling,” IEEE Control Systems, 13(2), pp 27. Oktober, 2004