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EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido

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Präsentation zum Thema: "EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido"—  Präsentation transkript:

1 EINI-I Einführung in die Informatik für Naturwissenschaftler und Ingenieure I Vorlesung 2 SWS WS 99/00 Gisbert Dittrich FBI Unido dittrich@cs.uni-dortmund.de

2 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 2 20.1.2000 Gliederung Kapitel 8 Motivation –Suchen in einfach verketteter Liste + deren Nachteile Binärer Suchbaum –Grobideen: Suchen, Suchstruktur –Idee Baum –Binärer Baum, Knotenmarkierung, Implementierung knotenmarkierter bin. Bäume, Suchbaum –Suchen –Einfügen –Analyse

3 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 3 20.1.2000 Suchen in einer Liste bool Suchen (int i, Liste * L) { if (L == NULL) return false; else return (L->Element == i? true: Suchen(i, L->weiter)); }

4 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 4 20.1.2000 Suchen in einer Liste Ist L die leere Liste: i kann nicht in L sein. Ist L nicht leer –entweder i == L->Element –oder i wird in L->weiter gesucht

5 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 5 20.1.2000 Suchen in einer Liste Problem: langsame Suche –jedes Element muß bei einer erfolglosen Suche betrachtet werden –also: Suchzeit proportional zur Anzahl der Elemente in der Liste (lineare Suchzeit)

6 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 6 20.1.2000 Suchen in einer Liste Beispiel –erfolglose Suche bei 10 9 Elementen braucht 10 9 Vergleiche, also (pro Vergleich 10 -5 sec.) 10 4 sec = 2,7 h –Bei geschickter Anordnung der Daten geht´s mit 35 Vergleichen, also in 3.5.10 -4 sec.

7 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 7 20.1.2000 Suche in einer Hälfte Suche in einer Hälfte Grobidee: –Suchen in geordneter "Liste" durch Überprüfen des "mittleren" Elementes + Fortsetzung in einer Hälfte –Beispiel: 1 23456789 2467817193640 k: 19 k:5 OK: nicht vorhanden

8 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 8 20.1.2000 Suchstruktur Aufgabe: Trage die Zahlen 17, 4, 36, 2, 8, 19, 40, 6, 7 in eine baumförmige Struktur so ein: 17 436 28 6 7 1940

9 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 9 20.1.2000 Ziel: Binärer Suchbaum Zu diesem Ziel nacheinander definieren: –(Binärer) Baum –Knotenmarkierter binärer Baum –Binärer Suchbaum

10 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 10 20.1.2000 Idee von Baum KünstlerischAbstrahiert 1Abstrahiert 2Die Informatiksicht:

11 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 11 20.1.2000 Binärer Baum Definition: (Binärer Baum) 1.) Der "leere" Baum ist ein binärer Baum mit der Knotenmenge. 2.) Seien B i binäre Bäume mit den Knotenmengen K i, i = 1,2. Dann ist auch B = (w, B 1, B 2 ) ein binärer Baum mit der Knotenmenge K = {w} –K 1 – K 2. (– bezeichnet disjunkte Vereinigung.) 3.) Jeder binäre Baum B läßt sich durch endlich häufige Anwendung von 1.) oder 2.) erhalten.

12 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 12 20.1.2000 Binärer Baum Sprech-/Darstellungsweisen (im Falle 2.)): Sei B = (w, B 1, B 2 ) binärer Baum w heißt Wurzel, B 1 linker und B 2 rechter Unterbaum. B1B1 B2B2 Wurzel linker Unterbaum rechter Unterbaum w

13 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 13 20.1.2000 Binärer Baum Darstellung eines Beispiels nach Definition: B 1 = (k 1,, (k 2, (k 3,, ), )). k1k1 k2k2 k3k3

14 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 14 20.1.2000 Terminologie Binäre Bäume Wurzel innerer Knoten Blatt

15 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 15 20.1.2000 Knotenmarkierter binärer Baum Definition: Sei M eine Menge. (B, km) ist ein knotenmarkierter binärer Baum (mit Markierungen aus M) :¤ 1.) B ist binärer Baum (mit Knotenmenge K = K(B)) 2.) km: K --> M Abbildung. (Markierung/Beschriftung der Knoten k K mit Elementen m M)

16 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 16 20.1.2000 binärer Baum Knotenmarkierter binärer Baum Beispiel: (M := $, $ := Menge der ganzen Zahlen) damit existiert auf M eine Ordnung ! Damit: "Übliche" Darstellung der Knotenbeschriftung km durch "Anschreiben" der Beschriftung an/in die Knoten. k1k1 k2k2 k3k3 24 18 16

17 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 17 20.1.2000 Datentyp BinBaum Implementierung knotenmarkierter binärer Bäume durch eine struct mit Zeigern: –Inhalt, (hier z. B.) ganzzahlig (Später allgemeiner möglich) –Zeiger jeweils auf den linken und den rechten Unterbaum struct BinBaum { int Element; BinBaum *Lsohn, *Rsohn; }

18 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 18 20.1.2000 Binäre Suchbäume Definition: (B, km) ist ein binärer Suchbaum (über $) :¤:¤ 1.) (B, km) ist ein binärer, knotenmarkierter Baum. 2.) Ist w die Beschriftung der Wurzel w, so ist die Wurzelmarkierung im linken Unterbaum kleiner als w, die Wurzelmarkierung im rechten Unterbaum größer als w. (Jeweils, sofern diese vorhanden.) 3.) Ist (B, km) mit B, B = (w, B 1, B 2 ), so sind (B i,km i ) mit km i := km|B i (i= 1,2) binäre Suchbäume.

19 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 19 20.1.2000 Binäre Suchbäume Beispiel: Aufgaben im Zusammenhang mit (binären) Suchbäumen: Suchen nach Markierungen/Elementen im Suchbaum Aufbau solcher Bäume Abbau, z. B. Entfernen eines Knotens mit Markierung Durchlaufen aller Knoten

20 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 20 20.1.2000 Binäre Suchbäume: Suchen Gegeben: ein binärer Suchbaum (durch Zeiger B darauf), ganze Zahl k Problem: Ist k in durch B bezeichneten Baum gespeichert? Lösungsidee: Stimmt B->Element mit k überein: Antwort ja Gilt B->Element Rsohn Gilt B->Element > k: suche in B->Lsohn Ist B leer, Antwort nein

21 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 21 20.1.2000 Binäre Suchbäume: Suchen 17 436 28 6 7 1940 Suche nach dem Element 5 Suche nach dem Element 19

22 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 22 20.1.2000 Binäre Suchbäume: Suchen bool Suche (BinBaum * B, int k) { if (B == NULL) return false; else { if (B->Element == k) return true; else if (B->Element < k) Suche(B->Rsohn, k); return Suche(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) Suche(B->Lsohn, k); return Suche(B->Lsohn, k); } }

23 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 23 20.1.2000 Binäre Suchbäume: Einfügen Aufbau durch wiederholtes Einfügen in einen leeren binären Suchbaum Einfügeoperation für binären Suchbaum * B und eine ganze Zahl k –B == NULL : erzeuge neuen Knoten, weise ihn B zu und setze B->Element = k –B != NULL B->Element RSohn B->Element > k : Einfügen von k in B->LSohn

24 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 24 20.1.2000 Binäre Suchbäume: Einfügen BinBaum *Einfuegen (BinBaum * B, int k) { if (B == NULL){ Binbaum *Hilf = new BinBaum; Hilf->Element = k; Hilf->Lsohn = Hilf->Rsohn = NULL; return Hilf; } else { if (B->Element < k) B->Rsohn = Einfuegen(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) B->Lsohn = Einfuegen(B->Lsohn, k); return B; } }

25 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 25 20.1.2000 Binäre Suchbäume: Einfügen Rekursion wichtiger Bestandteil der Funktion Idee: –suche den Unterbaum, in den eingefügt werden soll, –füge in den Unterbaum ein, –weise diesem Unterbaum das Resultat der Einfügung zu.

26 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 26 20.1.2000 weise dem Unterbaum das Resultat der Einfügung zu Kommentar: Einfügen if (B->Element < k) B->Rsohn = Einfuegen(B->Rsohn, k); else if (B->Element > k) B->Lsohn = Einfuegen(B->Lsohn, k); return B; Suche den Unterbaum, in den eingefügt wird

27 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 27 20.1.2000 Analyse: Einfügen Wie schnell geht das eigentlich? Maß für die Güte eines Algorithmus: –Anzahl von Operationen und –Speicherplatz-Verbrauch hier: –Speicherplatz: pro Knoten eine Instanz von BinBaum, also relativ uninteressant. –Operationen sind hier Vergleiche: interessant

28 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 28 20.1.2000 Analyse: Einfügen Frage: wieviele Vergleiche sind beim Einfügen (oder bei der erfolglosen Suche) notwendig? Antwort: nicht so leicht zu geben: –ist der günstigste Fall gemeint? (klar: 1) –ist der ungünstigste Fall gemeint? (auch ziemlich klar: längster Pfad im Baum) –ist der durchschnittliche Fall gemeint? (völlig unklar)

29 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 29 20.1.2000 Suchen: ungünstigster Fall Erfolglose Suche: –suche von der Wurzel zu einem Blatt, jeder Knoten entspricht einem Vergleich. Höhe eines Baums: –gibt den längsten Pfad von der Wurzel zu einem Blatt an. Ist rekursiv definiert Höhe des leeren Baums ist 0, Höhe eines nicht-leeren Baums ist 1 + max{Höhe Lsohn, Höhe Rsohn }

30 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 30 20.1.2000 Höhe eines binären Baums 17 436 28 6 7 1940 37 Der Baum hat die Höhe 5

31 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 31 20.1.2000 Suchen: ungünstigster Fall Es gilt der Satz: Ein binärer Baum der Höhe n hat zwischen n und 2 n - 1 Knoten. –Daraus folgt: k Knoten können in einem binären Baum gespeichert werden, der eine Höhe zwischen ~log 2 k und k hat –Also: der schlechteste Fall bei der erfolglosen Suche in einem binären Suchbaum mit k Elementen liegt bei k Vergleichsoperationen

32 Kap 8: Binäre Bäume + SuchenVorl EINI-I"Prof. Dr. G. Dittrich 32 20.1.2000 Suchen: zu erwartender Fall Die erfolglose Suche in einem binären Suchbaum mit k Elementen erfordert im Durchschnitt proportional zu log k Vergleichsoperationen. Recht kompliziert herzuleiten.


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