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Geoinformation3 1234567891012131415161718192011 Geoinformation III Punkt-in-Polygon-Verfahren III (R/R + -Baum) Vorlesung 4.

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1 Geoinformation3 1234567891012131415161718192011 Geoinformation III Punkt-in-Polygon-Verfahren III (R/R + -Baum) Vorlesung 4

2 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Punkt-in-Polygon-Suche II MBR – minimum bounding rectangle Idee Neues laufendes Beispiel Rechtecke Rechtecke mit R-Baum R-Baum R-Baum als B-Baum Der R-Baum als solcher Einfügen in einen R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens Suchen eines Knotens 1 Übersicht Nachteil des R-Baums Alternative: Der R+-Baum R+-Baum Suche im R+-Baum

3 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R-Baum Bisher: –Zerlegung der Maschen in Streifen –Konstruktion einer Suchstruktur Alternatives Vorgehen: Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele Rechtecke –Minimal Bounding Rectangle (MBR) –Verwaltung der Rechtecke R-Baum R + -Baum 2

4 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 MBR – minimum bounding rectangle A 4x y Außen x 3

5 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Idee In welcher Masche M liegt der Punkt P? Nutze die Bounding Boxes als Filter Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R 1,... R n zu finden, die P enthalten –Jedem Rechteck R i entspricht eine Masche M i Prüfe, ob P in einer der Maschen M 1,... M n vorkommt Verwende dazu das Standardverfahren Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen 4 A 1x

6 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Neues laufendes Beispiel Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen A 1x 4

7 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 4x Rechtecke mit R-Baum B D G JF C I E H A 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 5

8 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Rechtecke mit R-Baum A 4x A I 3 AI 3 5

9 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Rechtecke mit R-Baum A 4x A I 3 AI 3 E H 4 4 EH 5

10 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Rechtecke mit R-Baum A 4x A I 3 AI 3 E H 4 4 EH B DG J F C I 12BCDJFG 6 2 5 56 5

11 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 21x R-Baum A 12 B DG J F C I 1 2 E H A 6

12 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 21x R-Baum A 12 B DG J F C I 1 2 E H A 3 AI 3 6

13 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 21x R-Baum A 12 B DG J F C I 1 2 E H A 3 AI 3 4 4 EH 6

14 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 21x R-Baum A 12 B DG J F C I 1 2 E H A 3 AI 3 4 4 EH 5 BCD 5 6

15 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 21x R-Baum A 12 B DG J F C I 1 2 E H A 3 AI 3 4 4 EH 5 BCD 5 6 6 JFG 6

16 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 A 21x R-Baum A 12 B DG J F C I 1 2 E H A 3 AI 3 4 4 EH 5 BCD 5 6 6 JFG 6

17 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R-Baum als B-Baum Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften B-Baum –Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen –Besonders gut für Hintergrundspeicher (Festplatte), innere Knoten entsprechen Kacheln des Sekundärspeichers –Alle Informationen stehen in den Blättern –Alle Blätter haben das gleiche Niveau –Alle inneren Knoten außer der Wurzel sind mindestens zur Hälfte gefüllt –Teilung beim Überlauf eines inneren Knoten –Verteilung auf Nachbarn beim Unterlauf 7

18 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 B-Baum Ein kleiner Exkurs: Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt. Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidet sich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen. Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch an vielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen. 8

19 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 B-Baum Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n: –Ein B-Baum ist nicht binär –Ein B-Baum ist ausgeglichen –Alle Blätter haben das gleiche Niveau –Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente –Jeder innere Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n Elemente –Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl der Schlüssel des inneren Knotens ist –Die m Schlüssel eines inneren Knotens werden in aufsteigender Reihenfolge gespeichert: x 1 < x 2 <... < x 3 –Für jeden i-ten Teilbaum S i eines Knotens gilt: Die Schlüssel seiner Knoten sind grösser als x i und kleiner als x i+1 (ganz links und ganz rechts analog) –Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern 9

20 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 2912 1315171233 2948 19 1037567 B-Baum ! Alle Knoten bestehen aus 4 Blättern, auch wenn sie im Folgenden nicht dargestellt sind ! 56 = 10 A 1x

21 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Einfügen Einfügen eines Elements mit dem Wert 18 (Idealfall) A 26x 2912 13151713 19 10723 2948 3756 18 < 19 linker Ast 18 > 12 rechter Ast 18 > 17 Einfügen 18 2912 13151713 19 10723 2948 3756 11

22 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 18 Einfügen Einfügen eines Elements mit dem Wert 14 (Problemfall) A 26x 2912 13151713 19 10723 2948 3756 14 < 19 linker Ast 14 > 12 rechter Ast 2912 13151713 19 10723 2948 3756 18 Problem: Speicher voll Lösung: Knoten sprengen 11

23 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Setze das mittlere Element um eine Position nach oben Bilde zwei neue Zweige Einfügen A 26x Einfügen eines Elements mit dem Wert 14 2912 13141517 13107 19 23 2948 3756 18 15 14 15 18 17 15 18 11

24 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Das Löschen in einem B-Baum gestaltet sich sehr einfach. Wir unterscheiden hier folgende Fälle: 1.Löschen in einem Blatt: Einfaches Löschen 2.Löschen in einem inneren Knoten: Beachte:die Anzahl der Schlüssel der inneren Knoten muss mindestens n sein Wie bei AVL-Bäumen den Eintrag ersetzen durch den Rechtesten Eintrag im linken Unterbaum oder den Linkesten im Rechten. Entfernen 12 A 5x

25 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Entfernen Entfernen des Elements mit dem Wert 48 A 5x 2912 13151713 19 10723 2948 2731 37 4960 Keine n Elemente im Knoten Ersetzen durch den rechtesten Eintrag im linken Unterbaum 37 12

26 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Der R-Baum als solcher Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste Rechteck, welches das Objekt O umschließt Jeder innere Knoten hat n Paare (R,P) –P zeigt auf einen Teilbaum –R ist das kleinste umschließende Rechteck dieses Teilbaums Beachte Rechtecke können sich überlappen Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden 13

27 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Einfügen in einen R-Baum Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen R-Baum Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt? –Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt –Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch Einfügen von R minimal vergrößert würde –Füge (R,O) schließlich als Blatt ein –Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum Besonderheit gegenüber B-Baum: –Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten –Verschiedene Strategien zum Spalten eines Knotens 14

28 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Strategien zum Spalten eines Knotens A 5x Minimierung des Durchschnitts Minimierung der Gesamtfläche 15

29 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suchen eines Knotens A 13x E H A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 In welchem R liegt Q? 16

30 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suchen eines Knotens A 13x E H A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 16

31 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suchen eines Knotens A 13x E H A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 16

32 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suchen eines Knotens A 13x E H A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 16

33 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suchen eines Knotens A 13x E H A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 16

34 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suchen eines Knotens A 13x E H A B DG J F C I 34 12 AIEH 5 BCD 6 JFG 6 4 2 1 3 5 16

35 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 1117 Nachteil des R-Baums Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist Abhilfe: R + -Baum

36 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 1118 Alternative: Der R + -Baum Alle inneren Rechtecke sind disjunkt Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern vorkommen Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten umschlossen wird

37 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 1119 R + -Baum EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ A 34x

38 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 19

39 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 19 3 3

40 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 19

41 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 19

42 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 19

43 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 8 8 EG 19

44 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 8 8 EG 9 9 FJ 19

45 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 R + -Baum A 34x 1 2 EH A B D G JF C I 1 2 3 3 4 AE 4 5 DEH 5 6 6 BDI 7 7 BCD 8 8 EG 9 9 FJ 19

46 12345678910121314151617181920 Geoinformation3 11 Suche im R + -Baum A 6x EH A B D G JF C I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 231 45 AEDEH 67 BDIBCD 89 EGFJ 20


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