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Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen Differenzengleichung (Beispiel) R C x(t)y(t) Lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme.

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Präsentation zum Thema: "Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen Differenzengleichung (Beispiel) R C x(t)y(t) Lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme."—  Präsentation transkript:

1 Lineare, zeitinvariante, analoge Systeme => Differentialgleichungen Differenzengleichung (Beispiel) R C x(t)y(t) Lineare, zeitinvariante, diskrete Systeme => Differenzengleichungen dy(t)/dt (1/T s )·[y(nT s )-y((n-1)T s )] y[n] = b 0 ·x[n] - a 1 ·y[n-1] TsTs x[n] y[n] -a 1 b0b0 DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 1 b 0 = T s /(T s + τ ) und a 1 = b τ· dy(t)/dt + y(t) = x(t)

2 Differenzengleichung Nicht-rekursive Systeme (FIR-/Transversalfilter) Rekursive Systeme (IIR-Filter) TsTs TsTs b0b0 b1b1 bNbN... x[n] x[n-1] x[n-N] y[n] TsTs -a 1 y[n-1] TsTs -a M -a M-1 y[n-M] b N-1... DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 2

3 Impulsantwort und Faltungssumme LTD- System n δ [n] 1 h[n] (Impulsantwort) n Bestimmung der Ausgangsfolge y[n] für beliebige Eingangsfolgen x[n] x 0 [n] = x[0]·δ[n] => y 0 [n] = x[0]·h[n] x k [n] = x[k]·δ[n-k] => y k [n] = x[k]·h[n-k] DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 3

4 y[10] Faltung (Beispiel) Demo: dsv1kap4_digisys_faltungschritt.m DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 4 Approximation RC-Tiefpass 1. Ordnung, RC=1s, f s =10 Hz: b 0 = und a 1 =

5 Faltung (Beispiel 2) Demo: dsv1kap4_digisys_faltung.m DSV 1, 2006/01, Hrt, LTD-Systeme, 5 RC-Tiefpass-Approximation: b 0 = 0.2 und a 1 = -0.8Signal: Sägezahnimpuls Bevor ein Signal x eintrifft (n < 0) ist der Ausgang y = 0 (kausales System). Ausgangssignal y = Faltung der Impulsantwort h mit den eingetroffenen Signalen x. Faltung = Signale spiegeln, mit Impulsantwort multiplizieren, Terme aufaddieren.

6 Frequenzgang eines LTD-Systems DSV 1, 2005/01, Rur, Filterentwurf, 6 H(f): Frequenzgang H(f) = H(z=e j2πfTs ) Fourier-Transformierte von h[n] Polarkoordinatendarstellung => H(z): Übertragungsfunktion (UTF) z-Transformierte der Impulsantwort h[n] IH(f)I: Amplitudengang meistens in dB, d.h. 20*log 10 (IH(f)I) gerade Funktion, d.h. IH(f)I = IH(-f)I φ(f): Phasengang ungerade Funktion, d.h. φ(f) = -φ(-f) φ(f) = arctan( Im[H(f)] / Re[H(f)] ) H(f) Re[H(f)] Im[H(f)] IH(f)I φ(f) wenn h[n] reell: H(f) = H*(-f)

7 Frequenzgang eines LTD-Systems DSV 1, 2005/01, Rur, Filterentwurf, 7 IH(f 0 )I·cos[2πf 0 ·nT s +φ(f 0 )] = IH(f 0 )I·cos[2πf 0 ·(nT s -Δ 0 )] cos(2πf 0 ·nT s ) H(f) Bedeutung des Amplituden- und Phasengangs Linearer Phasengang H(f) verzögert alle Frequenzkomponenten um Δ=K/2π φ(f) = -K·f wobei Zeitverzögerung

8 Frequenzgang eines LTD-Systems DSV 1, 2005/01, Rur, Filterentwurf, 8

9 z-Transformation DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 9 Laplace-Transformation von x[n]: Substitution: Definition z-Transformation: Eigenschaft: Zeitverschiebung x[n-k] z -k ·X(z)

10 z-Transformation & Impulsantwort DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 10 Beispiel: n = … h[n] =0b 0 -a 1 ·b 0 a 1 2 ·b 0 -a 1 3 ·b 0 … H(z) =0·z 1 + b 0 ·z 0 -a 1 ·b 0 ·z -1 +a 1 2 ·b 0 ·z -2 -a 1 3 ·b 0 ·z -3 … h[n] = b0. (-a1) n Impulsantwort

11 Linearität (!) Zeitverschiebung (!) Faltung (!) Multiplikation mit Exponentialfolge Multiplikation mit der Zeit Anfangswerttheorem für einseitige z-Trafo Endwerttheorem für einseitige z-Trafo Eigenschaften der z-Transformation a·x 1 [n] + b·x 2 [n] a·X 1 (z) + b·X 2 (z) x[n-k] z -k ·X(z) x[n] * h[n] X(z) · H(z) a n ·x[n] X(z/a) n·x[n] -z·dX(z)/dz DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 11

12 Frequenzgang eines LTD-Systems DSV 1, 2005/01, Rur, Filterentwurf, 12 H(z): Übertragungsfunktion (UTF) z-Transformierte der Impulsantwort h[n]

13 z-Transformation - Fouriertransformierte DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 13 Fourier-/Laplace-Transformation: X(f) = X(s = j2πf) Laplace-/z-Transformation: X(s) = X(z = e sTs ) Fourier-/z-Transformation: X(f)=X(z = e j2πfTs ) Beispiel: Approximation RC-Tiefpass 1. Ordnung mit f g =100 Hz f s = 10 kHz, b 0 = 0.06, a 1 = =>

14 DSV 1, 2005/01, Rur&Hrt, LTD-Systeme, 14 z-Transformation der s-Ebene Substitution Imaginäre s-Achse wird mehrfach auf z-Einheitskreis abgebildet Linke s-Halbebene wird mehrfach in den z-Einheitkreis abgebildet s-Ebene Re(s) Im(s) Re(z) Im(z) z-Ebene j2π·f s /2 j2π·f s -j2π·f s /2 -j2π·f s

15 PN-Darstellung der UTF Nullstelle 3 Pole P=e j2 π fTs für f=f s /8 f = 0 f = f s /2 s2s2 s1s1 s3s3 s4s4 x[n] K TsTs TsTs TsTs 11 y[n] DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 15 Nullstellen der UTF Pole der UTF Abstand Punkt P=e j2πfTs auf Einheitskreis zu Pol p k Beispiel: + H(z) = K·(z-1)·(z+j)·(z-j) / z 3 H(f=f s /8) = K·s 1 ·s 2 ·s 3 / s 4 3

16 Vergleich: Laplace-, z- und Fourier-Trafo Demo: dsv1kap4_digisys_vergleich.m DSV 1, 2006/01, Hrt, LTD-Systeme, 16

17 Zusammenfassung LTD-Systeme h[n] x[n] Impulsantwort Faltungssumme Differenzengleichung Y(f) = X(f)·H(f) Y(z) = X(z)·H(z) X(f) X(z) H(f): Frequenzgang H(z): Übertragungsfunktion <= H(f) = H(z=e j2πfTs ) DSV 1, 2005/01, Rur, LTD-Systeme, 17 y[n]

18 Korrelation DSV 1, 2006/01, Hrt, LTD-Systeme, 18 Anwendungen:

19 Korrelation DSV 1, 2006/01, Hrt, LTD-Systeme, 19

20 Korrelation DSV 1, 2006/01, Hrt, LTD-Systeme, 20 *


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