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Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.1 Vorlesung Prozessidentifikation Systeme 2. Ordnung / Semesterabschluß 10. Juli.

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1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.1 Vorlesung Prozessidentifikation Systeme 2. Ordnung / Semesterabschluß 10. Juli 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr Saarbrücken

2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.2 Parameterschätzung Identifikationsaufgabe System Nicht bekannt Störeinflüsse u m (t)y m (t) u(t) y(t) Modell e(t)

3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.3 Ergebnis Rekursive Parameterschätzung ^B k+1 = ^B k + P k x k+1 (x k+1 T P k x k+1 +1) -1 {y k+1 T - x k+1 T ^B k } Damit kann ^B k+1 kann damit aus ^B k P k x k+1 und y k+1 ermittelt werden. ^B k+1 = f(^B k, P k, x k+1, y k+1 ) Ergebnis beinhaltet: P k = (X k T X k ) -1 für Auswertung von k-Messwertpaaren x k+1 T zusätzliche Zeile des X-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (x-Werte und Operationen) y k+1 zusätzliche Zeile des Y-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (y-Wert) ^B k Schätzvektor unter Auswertung von k-Messwertpaaren P k+1 = P k - P k x k+1 (x k+1 T P k x k+1 +1) -1 x k+1 T P k

4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.4 Anwendung der rekursiven Regressionsformel ^B 1 = (X 1 T X 1 ) -1 X 1 T Y 1 = P 1 X 1 T Y 1 ^B 2 = ^B 1 + P 1 x 2 (x 2 T P 1 x 2 +1) -1 {y 2 T – x 2 T ^B 1 } P 2 = P 1 – P 1 x 2 (x 2 T P 1 x 2 +1) -1 x 2 T P 1 ^B 3 = ^B 2 + P 2 x 3 (x 3 T P 2 x 3 +1) -1 {y 3 T – x 3 T ^B 2 } P 3 = P 2 – P 2 x 3 (x 3 T P 2 x 3 +1) -1 x 3 T P 2 Start für k=1 1.Iteration 2.Iteration

5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.5 Beispiel für rekursive Rekursion Gegeben: Datensatz:(1,1) (1,0) (2,0) Gesucht:Math. Modell / Funktion mit Abstand der Punkte zur Kurve nach minimalem Fehlerquadrat optimiert. Lösung:Parameterschätzung nach Regressionsformel unter Berücksichtigung aller Messwerte (One-Shot) Parameterschätzung nach rekursiver Regressionsformel mit Start k=1. Modellansatz y(k) = ax(k) Lösung Tafel

6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.6 Systeme 2. Ordnung Zusammenhang Pol- Nullstellenverteilung / Bodediagramm Fallunterscheidungen D > 1 D = 1 0 < D < 1 D = 0 Untersuchung für Fall 0 < D < 1: Betragsbildung für G(j ) Phasenbestimmung Wert für = 0 Wert für = 0 (1-D 2 )

7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.7 Quelle: ISS, Meyr, Aachen Bodediagramm System 2. Ordnung

8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.8 NYQUIST-Kriterium Beurteilung der Stabilität des Regelkreise im Frequenzgang oder Orts- Kurve des offenen Regelkreis G 0. Vorteile: Messkurve liegt oft vor Anwendung auch für totzeitbehaftete Regelkreise Die Stabilität des Regelkreises: Eigenschaft des Kreises selber Keine Eigenschaft der Eingangs- oder Störgrößen Bild 7.9 Walter, S.152

9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.9 Übertragungsfunktion G 0 Stabilitätsgrenze Charakteristisches Polynom ist 1+Go P(s) = 1+Go(s) = 0 -> Go(s) = -1 Stabilitätsgrenze ist dann gegeben wenn Go(s) = -1 wird Präziser:Re{Go(s)} = -1 und Im{Go(s)} = 0 Re{Go(j )} = -1 und Im{Go(j )} = 0

10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt Stabilitätsgrenze Re{Go(j )} = -1 und Im{Go(j )} = 0 Diese graphische Darstellung stellt die Ortskurve von Go(j ) dar. Aus der Lage der Ortskurve zum Punkt (–1, j0) kann die Systemstabilität des geschlossenen Regelkreises beurteilt werden. Regel (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn der kritische Punkt (-1, j0) beim Durchlaufen der Ortskurve mit steigendem links liegt.

11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt Stabilitätsgrenze Weitere Aussagen & Größen: Amplitudenreserve A R Phasenreserve R Phasendurchtrittsfrequenz D Interpretation der Größen: Amplitudenreserve Faktor um den man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreis vergrößern kann, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Phasenreserve positiv für stabile Systeme Entspricht der Phase mit dem ein Totzeit- glied die Phase bis zur Stabilitätsgrenze weiterdrehen kann.

12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt Interpretation Für stabile Systeme gilt: A R > 1 und |Go(j )| < 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt links hiervon. Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises vergrößern, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Für instabilie Systeme gilt: A R 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt rechts hiervon. Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises verkleinern (absenken) muß, um wieder die Stabilitätsgrenze zu erreichen.

13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt Vereinfachtes Nyquist-Kriterium im Bodediagramm Zusammenhang Ortskurve und Bodediagramm Der Punkt (–1, j0) bedeutet betragsmäßig 1 und Phase von –180° Betrag 1 bedeutet A = 0 dB

14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt Fälle Stabilitätsgrenze / Instabil und Stabil Wendt S. 233 Bild Wendt S. 233 Bild Wendt S.234 Bild 7.3-3


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