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Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern Digitale System- und Signalanalyse.

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Präsentation zum Thema: "Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern Digitale System- und Signalanalyse."—  Präsentation transkript:

1 Digitale Messdatenverarbeitung mit Mikrorechnern Digitale System- und Signalanalyse

2 DMM 2 Gliederung 5.1 Einführung 5.2 Abtastung 5.3 Differenzengleichung 5.4 Laplacetransformation 5.5 Z-Transformation 5.6 Näherungsweise Z-Transformation 5.7 Übersicht über die Transformationen Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung

3 DMM Einführung Die Fourier-Transformation erfolgt in der Praxis mit Hilfe von digitaler Signalverarbeitung, d.h. das zu analysierende Signal muss zunächst mit Hilfe eines Analog-Digital-Wandlers abgetastet und in der Amplitude quantisiert werden. kontinuierliches Eingangssignal zeitdiskretes Signal Information über den Zeitverlauf gehen verloren durch Abtastung:

4 DMM 4 Digitale Signale und Systeme: Ein Beispiel aus der Regelungstechnik: Der digitale Regelkreis A/D Regler D/A H Strecke w(t)e(t)ê(kT)e(kT)û(kT)u(kT)u(t)y(t) H: Halteglied Moderne A/D oder D/A-Wandler sind sehr hochauflösend. Sie können daher in den weiteren Betrachtungen weg- gelassen werden ! Ihre Quantisierungsfehler sind somit vernachlässigbar.

5 DMM Abtastung und Aliasing-Effekt Abtaster: Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten t = T (mit =0,1,...) Vereinfachung: t = Abtastfrequenz: T = 2 /T mit T als Abtastzeit Der Abtastvorgang eines analogen Signals entspricht der Modulation einer Impulsreihe von Dirac-Impulsen

6 DMM 6 Die Bandbreite des Eingangssignals muss begrenzt sein, da andernfalls durch die Abtastung die Eindeutigkeit aufgrund von Aliasing-Effekten verloren geht. Nach dem Abtasttheorem von Shannon muss die Abtastfrequenz f A mindestens doppelt so hoch sein, wie die größte auftretende Frequenz des Eingangssignals.

7 DMM 7 Wird das Abtasttheorem von Shannon T > 2 max eingehalten, so kann kein Aliasing auftreten. Da wichtige Signale in der Mess- und Regeltechnik nicht band- begrenzt sind (Sprung, Impuls), ist dies jedoch problematisch ! Aliasing-Effekt Abhilfe: Antialiasing-Filter filtert Frequenzen > T /2 heraus Tiefpass In der Folge können - versteckte Schwingungen auftreten oder - hochfrequente Störungen durch das Aliasing in einen tieferen Frequenzbereich transformiert werden.

8 DMM Differenzengleichungen Lineare dynamische Systeme mit dem Eingangssignal u(t) und dem kontinuierlichen Ausgangssignal y(t) können durch DGL´n beschrieben werden: d n y/dt n a 1 dy/dt + a 0 y = b m d m u/dt m b 1 du/dt + b 0 u Laplace-transformiert: Y(s) (s n a 1 s + a 0 ) = U(s) (b m s m b 1 s + b 0 ) Dann ist G(s) = Y(s) / U(s) die (kontinuierliche) Übertragungsfunktion

9 DMM 9 Bei zeitdiskreten Signalen liegen diese n bzw. m Ableitungen nicht vor: Man kann die Ableitungen daher näherungsweise durch die Differenzenquotienten ersetzen: dy/dt| t= T y( T) / T = y( T) – y(( - 1)T) T (1. Ableitung) Höhere Ableitungen werden als Differenzen der Differenzen gebildet: y( T) – 2y(( - 1)T) + y(( - 2)T) T2T2 d 2 y/dt 2 | t= T y( T) – y(( - 1)T) T2T2 = (2. Ableitung) ( = 0,1,2,...)

10 DMM 10 Nach Einsetzen der Differentialquotienten in die DGL entsteht eine Differenzengleichung, die eine Beziehung zwischen n zeitlich zurückliegenden Abtastwerten des Ausgangssignals und n zurückliegenden Werten des Eingangsignals herstellt (Annahme m=n) : Sind die letzten n Werte des Ausgangs und m Werte des Eingangs als Anfangswerte bekannt so lässt sich die Differenzengleichung rekursiv lösen, indem sie nach y( T) aufgelöst wird (T weggelassen) : Anfangswerte (n m) : y(i) = y 0i i= -n+1, -n+2,...,0 u(j) = u 0j j= -m+1, -m+2,...,0

11 DMM 11 Damit wird deutlich: 1.Ein dynamisches System bildet den Verlauf der Eingangsgröße in den Verlauf der Ausgangsgröße ab. 2.Die Differenzengleichung beschreibt das Systemverhaltenlokal in dem Sinne, dass die Werte der Eingangs- und Ausgangsgrößen zu n Abtastzeitpunkten ausreichen, um den nächsten Wert der Ausgangsgröße zu bestimmen. 3.Das zeitdiskrete System ist kausal, denn in die Bestimmung von y( ) gehen nur Werte von u und y ein, die zum selben Zeitpunkt oder früher aufgetreten sind.

12 DMM 12 Analog zum Kontinuierlichen lässt sich beispielsweise für ein System 2.Ordnung folgendes Blockschaltbild (in BNF) zeichnen: u( ) y( ) T T b0b0 b1b1 b2b2 a1a1 a2a2 Die Nummerierung der Koeffizienten ist hier jedoch entgegengesetzt !

13 DMM 13 Beispiel Aufstellen einer Differenzengleichung aus einer DGL DGL eines PT 1 : T 1 dy/dt + y = u Einsetzen des Differenzenoperators liefert: y( T) – y(( - 1)T) T T1T1 + y( T) = u( T) (T 1 /T + 1) y( T) – T 1 /T y(( - 1)T) = u( T) Aufgelöst nach dem neusten Ausgangselement entsteht eine Differenzengleichung :

14 DMM 14 FouriertransformationDFT Laplace Transformation Z-Transformation kontinuierlichdiskret Übersicht Transformationen FFT

15 DMM 15 Von der Fourier- zur Laplacetransformation Fouriertransformation Probleme technische Signale beginnen zu einem bestimmten Zeitpunkt viele Signale sind nicht fouriertransformierbar, weil das Integral nicht existiert Fourierrücktransformation

16 DMM 16 Lösung: Beginn zum Nullzeitpunkt: rechtsseitige Laplacetransformation f(x)=0, für x < 0 Konvergenz für viele Funktionen durch Dämpfung erzwingen Einfügen eines Faktors exp(- t) mit Laplace-Integral

17 DMM Definition Laplace - Transformation Es werden bei der System- und Signalanalyse mit der Laplace-Transformation nur Zeitfunktionen f(t) betrachtet, deren Funktionswerte für t < 0 verschwinden. Zeitfunktionen mit der Eigenschaft heißen kausale Zeitfunktionen. Betrachtet man also nur kausale Zeitfunktionen, dann läßt sich folgende Definition der einseitigen Laplace-Transformation geben, bei der die untere Integrationsgrenze über den Zeitbereich bei t = 0 beginnt:

18 DMM 18 Unter der Laplace-Transformierten L{f(t)} der Zeitfunktion f(t) versteht man die durch die Funktionaltransformation definierte Funktion F(s). Dabei ist s = + j eine komplexe Variable, durch die Konvergenz für alle praktisch vorkommen- den Zeitfunktionen erreicht werden kann.

19 DMM 19 Laplace-Transformation einer Stufenfunktion f t 1T 2T 3T nT (n+1)T n Das Laplace-Integral für die abschnittsweise konstante Funktion ergibt:

20 DMM 20 Halteglied Geht man vom analogen Ursprungssignal y 1 (t) aus erhält man nach Abtastung, A/D und D/A –Wandlung als Ausgangsignal des Haltegliedes y 2 (t) : A/D D/A H Das Halteglied G H (s) tritt bei jeder Laplacetransformation einer Stufenfunktion auf Es ist das mathematische Modell des A/D-Umsetzers Da es immer auftritt, kann es zur Vereinfachung weggelassen werden

21 DMM 21 Durch die Abtastung ist die Laplace- Transformierte periodisch j j /2 A j A Um zu einer nichtperiodischen Darstellung zu kommen wird die komplexe Variable z eingeführt Die komplexe s-Ebene gesucht ist also eine konforme Abbildung, die die periodischen Wiederholungen der s-Ebene auf sich selbst abbilden:

22 DMM Die z-Transformation mit folgt die Definition der z-Transformation z -n trennt die Funktionswerte voneinander z -n entspricht einer Zeitverzögerung von n mal T von t=0 aus gesehen Aus der Laplace-Transformierten einer Impulsreihe

23 DMM 23 Eigenschaften der Z-Transformation Die Z-Transformation geht aus der Laplace-Transformation hervor und weist daher auch ähnliche Rechenregeln auf. Überlagerungssatz: Die Z-Transformation ist eine lineare Transformation d.h., es gilt Z{a f 1 ( ) + b f 2 ( )} = a Z{ f 1 ( )} + b Z{f 2 ( )} Verschiebungssatz: Verschiebung um ganze kT (k 0): Z{f( - k)} = Z{f( )} z –k z auch als Verschiebeoperator bezeichnet. Da Systeme i.A. verzögernden Charakter haben, wird meist mit negativen Potenzen von z gerechnet. Die Multiplikation von F(z) mit z –1 bedeutet, dass die Folge f(k) um einen Abtastschritt nach rechts verschoben wird. z –1 ist also ein Verzögerungsoperator !

24 DMM 24 Eigenschaften der Z-Transformation Faltungssatz: Für die Faltung zweier Folgen f 1 (k) f 2 (k) gilt: Grenzwertsätze: Satz vom Anfangswert: f(0) kann aus Z{f( )} für z bestimmt werden, vorrausgesetzt dieser Grenzwert existiert: Satz vom Endwert:Falls dieser Grenzwert existiert gilt:

25 DMM 25 Summensatz: Es wird die aus der Folge f(k) durch Summenbildung erhaltene Folge betrachtet:

26 DMM 26 Übertragungsfunktion Die bekannte Differenzengleichung Führt man für die Wertefolgen y( ) und u( ) die Z-Transformierten ein, so lässt sich der Verschiebungssatz der Z-Transformation anwenden: Y z (z)(1 + a 1 z -1 + a 2 z a n z -n ) = U z (z)(b 0 + b 1 z -1 + b 2 z b n z -n )

27 DMM 27 G z (z) = Y z (z) U z (z) = b 0 z n + b 1 z n-1 + b 2 z n b n z n + a 1 z n-1 + a 2 z n a n = b 0 + b 1 z -1 + b 2 z b n z -n 1 + a 1 z -1 + a 2 z a n z -n Als Quotient der Signale entseht eine Übertragungsfunktion, die Impulsübertragungsfunktion:

28 DMM 28 Die komplexe z-Ebene Re{z} Im{z} j Die (stabile) linke Halbebene wird auf das Innere des Einheitskreises abgebildet. Die j -Achse wird auf den Einheitskreises abgebildet. s=0 wird auf z=1 abgebildet. S=0 Z=1 S= 0,25 j S= 0,5 j =- 0,5 j =j /2 s z

29 DMM 29

30 DMM 30 Rücktransformation Der Integrationsweg des Ringintegrals ist so zu wählen, dass er alle Singularitäten des Integranden umschließt. Die Zuordnung einer Z-Transformierten zu einer Folge ist umkehrbar eindeutig. Direkte Rücktransformation PBZ und Korrrespondenztabelle Die Z-Transformierte wird mit einer Partialbruchzerlegung in Summanden zerlegt und in Tabellen rücktransformiert. Polynomdivision Die Z-Transformierte wird mit z -n erweitert und der Zähler abdividiert. Es entsteht eine Potenzreihe in z -k, die direkt der Folge entspricht.

31 DMM 31 Zeitdiskret vs. kontinuierlich! Eine Impulsübertragungsfunktion ist als Anregung für kontinuierliche Systeme technisch nicht realisierbar. In der Praxis werden statt Impulsen, Stufenfunktionen verwendet, die durch ein Halteglied modelliert werden können.

32 DMM 32 Die Dynamik des Haltegliedes wird im zeitdiskreten mit dem Term: berücksichtigt. Um aus einer Impulsübertragungsfunktion die Stufenübertragungsfunktion zu berechnen muss demzufolge die Übertragungsfunktion des Haltegliedes mit der Impulsübertragungsfunktion multipliziert werden.

33 DMM Näherungsweise Z-Transformation exakte Z-Transformation z = e Ts Umkehrfunktion für s = 1/T ln z nicht zu einer gebrochen rationalen Funktion auflösbar einfachere Beziehungen gesucht, die auf gebrochen rationalen Zuordnungen beruhen. Integration nach der Rechteckregel: Dazu betrachtet man die Sprungantwort eines einzelnen Integrators: t = T u( )

34 DMM 34 Obersumme : y = y( ) - y( -1) In z geschrieben lautet der Zusammenhang: Mit G(s) = Y(s) / U(s) = 1/s (Integrator !) folgt: y = u dt dy/dt = u( ) y = t u( ) y( ) - y( +1) = T u( )

35 DMM 35 Entsprechend erhält man für die Untersumme, indem man der Fläche y u( -1)T statt u( )T zuordnet: y( ) - y( +1) = T u( -1) und damit schließlich: Untersumme: t = T u( )

36 DMM 36 Trapezregel Hier erhält man: y( ) - y( +1) = T (u( ) + u( - 1)) / 2 Dies ergibt transformiert: und damit: Das selbe Ergebnis erhält man, wenn man in s = 1/T ln z (exakte Z-Trafo) den Logarithmus durch eine Reihenentwicklung annähert: Abbruch nach dem ersten Glied führt wieder auf die Tustinformel

37 DMM 37 Graphische Gegenüberstellung Die exakte Z – Transformation bildet Geraden parallel zur imaginären Achse auf Kreise um den Ursprung in z ab. Die imaginäre Achse selbst wird auf den Einheitskreis in z abgebildet. Parallelen zur reellen Achse werden auf Geraden durch den Ursprung in z abgebildet. Exakte Transformation

38 DMM 38 Transformation nach der Rechteckregel - Untersumme Die Abbildung nach der Untersumme liefert optisch die schlechteste Anpassung.

39 DMM 39 Die Abbildung nach der Obersumme wirkt optisch etwas besser, weist aber noch erhebliche Verzerrungen auf. Transformation nach der Rechteckregel - Obersumme

40 DMM 40 Transformation nach der Trapezregel Für kleine Abtastzeiten in Relation zur Lage der Pole liefert die Tustinformel (Trapezregel) relativ gute Abbildungseigenschaften.

41 DMM 41 Ist eine bilineare Abbildung. Sie lässt sich immer als näherungsweise Z-Transformation verwenden, weil sich jede lineare DGL n-ter Ordnung in ein System linearer DGL´n erster Ordnung umschreiben lässt. Wird für z wieder die komplexe Variable s eingeführt, erhält man den Zusammenhang zwischen der Frequenz a des kontinuierlichen analogen Systems und der Frequenz d des durch die bilineare Transformation genäherten zeitdiskreten digitalen Übertragungssystems, wenn man z = e Ta s = e j dTa setzt : s = j a = 2/T a e j dTa - 1 e j dTa + 1

42 DMM 42 a = 2/T a (1/2j) (e j dTa /2 - e -j dTa /2 ) (1/2) (e j dTa /2 + e -j dTa /2 ) sin ( d T a /2) cos ( d T a /2) = 2/T a tan ( d T a /2) Ist das Verhältnis s/ a zu berechnen, entfällt aus Normierungsgründen bei der Tustin-Formel der Faktor 2/T a. In diesem Fall ist umgeformt:f a = 1/ T a tan ( f d T a ) nach f d aufgelöst:f d = 1/ T a arctan ( f a T a ) s = j a = 2/T a e j dTa - 1 e j dTa + 1 * e -j dTa/2

43 DMM Übersicht Transformationen Abgetastete ImpulsantwortImpuls-Übertragungsfunktion kontinuierlich diskret Impulsantwort g(t) Z Z Übertragungsfunktion G(s) L L -1 Rekonstruktionen Abtastung Näherung exakt (nicht praktikabel !) G(s) G(z) (exakt) : Die Abhängigkeit von s und z entsteht durch das Abtast- Halteglied

44 DMM 44

45 DMM 45 Beispiel: Tiefpass 1. Ordnung 1. Übertragungsfunktion in s aufstellen 2. Bilineare Transformation nach z 3. Umformen, so dass sich eine Gleichung in z -1 ergibt 4. Nach Y(z) auflösen 5. In den Zeitbereich zurücktransformieren 6. Filterkoeffizienten ermitteln 7. Filter testen


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