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Technische Universität Wien Institut für Mechanik und Mechatronik, E 325 Abteilung für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Wiedner Hauptstr. 8.

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1 Technische Universität Wien Institut für Mechanik und Mechatronik, E 325 Abteilung für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Wiedner Hauptstr Wien VU , SS 2009 Grundlagen der Regelungstechnik 2. Übungseinheit: Funktionsbeschreibung, Laplace-Transformation

2 2 Überblick Organisatorisches Zusammenfassung der relevanten Inhalte –Laplace-Transformation –Funktionsbeschreibung Rechenaufgaben –A1: Laplace-Transformation – Funktionsbeschreibung –A2: Übertragungsfunktion – Differentialgleichung –A3: Laplace-Transformation – Rücktransformation

3 3 Organisatorisches Nächste RU –MI, –Nächste Woche: Vorlesung! 1.Hausübung –Angabe: bis spätestens Ende der Woche im TUWEL –Abgabe: bis spätestens DI, ausschließlich über TUWEL korrekt vollständig (Rechenweg!) gut lesbar (gute Scans, keine Fotos)

4 4 Aufgabe1: Laplace-Trafo, Funktionsbeschreibung Geg: Funktionsverlauf u(t) Aufgaben: a)Funktionsbeschreibung von u(t) im Zeitbereich b)Laplace-Transformierte U(s) von u(t)

5 5 Funktionsbeschreibung Einheitssprung (t) –Definition: –Anwendungsbeispiel: t u(t) (t) 1 t u(t) 2 1

6 6 Funktionsbeschreibung Einheitsrampe (t) –Definition: –Anwendungsbeispiel: t u(t) (t) 1 1=k 1 t u(t) 1 1 2

7 7 Funktionsbeschreibung Exponentialfunktion t u(t) 1 T

8 Aufgabe 1a) 8 2 3

9 Anwendung in der Regelungstechnik Definition L-Transformation: Rücktransformation: Laplace-Transformation 9

10 Aufgabe 1b) Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation 10

11 Aufgabe 1b) Zeitverschiebungssatz der Laplace-Transformation 11

12 Aufgabe 1b) Korrespondenztabelle der Laplace-Transformation 12

13 13 Zusammenfassung Aufgabe 1 Funktionsbeschreibung –Zerlegung in einfache Teilsignale –Ablesen der Parameter der Teilsignale Sprunghöhen Rampen- bzw. Tangentensteigungen Totzeitzeiten –Sicherstellen, dass Signale vor Einsatzzeitpunkt = 0! Gegebenenfalls Multiplikation mit Einheitssprung! Laplace-Transformation –Transformation der einzelnen Teilsignale –Verwendung der Korrespondenztabelle –Verwendung der Zeitverschiebungssatzes –Direkte Berechnung aus der Definition der L-Trafo

14 14 Aufgabe 2: Übertragungsfunktion – Differentialgl. Geg: Übertragungsfunktion mit Totzeit Aufgabe: Berechnung der Eingangs-/Ausgangs-DGL

15 Aufgabe 2 Übertragungsfunktion G(s) –Systemgleichung (DGL) –Verschwindende Anfangsbedingungen –Definition von G(s) Repräsentation des Übertragungssystems: 15

16 16 Zusammenfassung Aufgabe 2 Differentialgleichung aus Übertragungsfunktion –Herstellen des Zusammenhangs zwischen Übertragungsfunktion Ein- & Ausgängen –Ausmultiplizieren –Rücktransformation der einzelnen Glieder

17 17 Aufgabe 3: Laplace-Trafo - Rücktransformation Geg: Einmassenschwinger Aufgaben: a)L-Trafo, X(s) mit f(t) = -e -at b)x(0+), x(t ) mit Endwertsätzen c)x(t) durch Rücktransformation mithilfe von –Partialbruchzerlegung –Faltungssatz d)Direkte Lösung des Anfangswertproblems (optional)

18 Aufgabe 3a) + b) Differentiationssatz der Laplace-Transformation Grenzwertsätze der Laplace-Transformation 18

19 Aufgabe 3c) Korrespondenztabelle der L- Trafo 19

20 Aufgabe 3c) Limesmethode zur Partialbruchzerlegung –Einfache reelle Pole: –2-fache reelle Pole: –Konjugiert komplexe Pole: 20

21 Aufgabe 3c) Faltungssatz der Laplace-Transformation 21

22 22 Zusammenfassung Aufgabe 3 L-Trafo –Beachtung der Anfangsbedingungen! Endwerte –Berechnung möglich ohne Kenntnis der Funktion im Zeitbereich Rücktransformation –Partialbruchzerlegung Koeffizientenvergleich Limesmethode –Intelligenter Einsatz der Korrespondenztabelle –Faltungssatz Direkte Lösung der DGL zum Vergleich

23 Nächste RU:


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