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Kapitel 11 Heteroskedastizität. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Der Sachverhalt Modell y = X + u, Ordnung von X: n x k Annahme A6: Var{u} = 2 I.

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1 Kapitel 11 Heteroskedastizität

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Der Sachverhalt Modell y = X + u, Ordnung von X: n x k Annahme A6: Var{u} = 2 I Annahme 6 impliziert konstante Varianz der Störgrößen (Homoskedastizität): Var{u t } = 2, t = 1,…,n In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von Heteroskedastizität; Var{u} = diag( 1 2, …, n 2 ) = 2 = 2 diag( 1, …, n ) Fragestellungen: Konsequenzen von Heteroskedastizität Möglichkeiten zum Identifizieren von Heteroskedastizität Alternative Verfahren, die bei Heteroskedastizität verwendet werden können

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Ein Beispiel 70 Haushalte (HH): Monatliches HH- Einkommen und Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Ein Beispiel, Forts. Residuen e = y- ŷ aus Ŷ = X X: Monatliches HH- Einkommen Y: Ausgaben für Güter des dauerhaften Konsums Je größer das Einkommen, umso mehr streuen die Residuen!

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Typische Situationen für Heteroskedastizität Heteroskedastizität tritt typischerweise auf bei Querschnittserhebungen, etwa von Haushaltsdaten (siehe obiges Beispiel) oder in verschiedenen Regionen Modell mit stochastischen Regressionskoeffizienten Daten sind mit einem Messfehler behaftet, wobei der Messfehler einen Trend aufweist Daten aus dem Bereich der Finanzmärkte wie Wechselkurse oder Renditen von Wertpapieren

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Beispiel: Stochastische Regressionskoeffizienten Im Modell Y t = + t X t + u t gelte t = + t t ist eine für alle t identisch und unabhängig verteilte Variable mit Varianz e 2 Das Modell kann geschrieben werden als Y t = + X t + v t mit Störgrößen v t = u t + X t t Achtung! Die Varianz der v t ergibt sich zu Var{v t } = u 2 + X t 2 e 2 und ist nicht konstant

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Beispiel: Modetrend im Konsum Bereitschaft, einen Modetrend mitzumachen, hängt vom Einkommen ab: Konsum folgt Modetrends eher in Haushalten mit hohen Einkommen Konsumfunktion enthält keinen Regressor, der diese Bereitschaft repräsentiert: Daher steckt diese Information in der Störgröße Da die Bereitschaft zum Mitmachen mit dem Regressor Einkommen hoch korreliert, müssen wir mit Heteroskedastizität rechnen: Bei kleinen Einkommen allgemein geringe Bereitschaft; bei hohen Einkommen streut Bereitschaft stärker

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 OLS-Schätzer b Für b = (XX) -1 Xy = + (XX) -1 Xu ergibt sich mit E{u} = 0, dass b erwartungstreu ist Mit Var{u} = 2 = 2 diag( 1, …, n ) findet man Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 b ist nicht effizient (nach Gauss-Markov ist Var{b} = 2 (X'X) -1 die minimale Varianz von b)

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Konsequenzen von Heteroskedastizität Die OLS-Schätzer b für sind erwartungstreu sind konsistent haben die Kovarianzmatrix Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 sind keine effizienten Schätzer sind unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch normalverteilt Der Schätzer s 2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen 2 ist verzerrt (e: Vektor der OLS-Residuen) Aus 2 (X'X) -1 bestimmte Standardfehler sind verzerrt Achtung! Richtung der Verzerrung kann nicht angegeben werden! Achtung! t- und F-Test liefern irreführende Ergebnisse

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Tests auf Heteroskedastizität Residuen sollten wegen Unverzerrtheit von b die Heteroskedastizität anzeigen Tests auf Basis der Residuen Goldfeld-Quandt-Test Glejser-Test Breusch-Pagan-Test White-Test

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Goldfeld-Quandt-Test Nullhypothese: Homoskedastizität Alternative: Zwei Regime mit 1 2 und 2 2 als Varianz der Störgrößen; Zugehörigkeit zu Regimen wird durch Variable Z angezeigt Beispiel: y 1 = X u 1, Var{u 1 } = 1 2 I n1 (Regime 1) y 2 = X u 2, Var{u 2 } = 2 2 I n2 (Regime 2) Nullhypothese: 1 2 = 2 2 F-Test: S i : Summe der quadrierten Residuen für i-tes Regime

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Goldfeld-Quandt-Test, Forts. Das Testverfahren läuft in folgenden Schritten ab: 1. Sortieren der Beobachtungen nach steigenden Werten von Z 2. Entfernen von 2c Beobachtungen in der Mitte der sortierten Beobachtungen 3. Getrennte OLS-Anpassung an die ersten n 1 und die letzten n 2 Beobachtungen [typischerweise n 1 = n 2 = (n-c)/2] und Bestimmung der OLS-Schätzer b i und der Summen der quadrierten Residuen S i (i = 1,2) 4. Berechnen der Teststatistik F; sie ist unter H 0 exakt oder näherungsweise F-verteilt mit n 2 -c-k und n 1 -c-k Freiheitsgraden

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Konsumfunktion, Forts. Test, ob zwei Regime: (1) X 4000; Modelle: A: gemeinsam (n = 70): Ŷ = X, S = 2, , s = B(1): X < 4000 (n 1 = 48): Ŷ = X, S 1 = , s 1 = 117 B(2): X > 4000 (n 2 = 22): Ŷ = X, S 2 = 1, , s 2 = 258 F-Teststatistik: p-Wert: ; Nullhypothese kann nicht gehalten werden Achtung! Ursache für Ablehnung kann sein: ; aber auch 1 2

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 Glejser-Test Modell für Heteroskedastizität mit p-Vektoren z t und, Interzept 1, p-1 Variablen Z 2, …, Z p zu prüfende Nullhypothese: H 0 : 2 = … = p = 0 also t 2 = f( 1 ) für alle t, d.h. Homoskedastizität

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Konsumfunktion, Forts. Glejser-Test, ob t 2 = 1 + X t 2 1.Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X 2.Anpassen der Residuen: e 2 = X t-Test: t = 4.3, p-Wert: Nullhypothese kann nicht gehalten werden

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 Glejser-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: 1. Ermitteln der OLS-Residuen e t durch OLS-Anpassung des zu prüfenden Modells 2. Regression einer dem funktionalen Zusammenhang f entsprechenden Funktion der Residuen auf die Variablen Z 2, …, Z p 3. Test der Nullhypothese: 2 = … = p = 0 mittels Wald-Test bzw. t- Test (wenn p = 2) Funktionaler Zusammenhang f und Residuen-Modell Regression von e t 2 auf (z t ' ) zum Test von t 2 = 2 (z t ' ) Regression von log e t 2 auf (z t ' ) für t 2 = 2 exp{z t ' }

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 Breusch-Pagan-Test Modell für Heteroskedastizität mit p-Vektoren z t und, Interzept 1, p-1 Variablen Z 2, …, Z p zu prüfende Nullhypothese: H 0 : 2 = … = p = 0 also t 2 = f( 1 ) für alle t, d.h. Homoskedastizität

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Breusch-Pagan-Test, Forts. Der Test läuft in den folgenden Schritten ab: 1. Ermitteln der OLS-Residuen e t durch Anpassen des zu prüfenden Modells 2. Berechnung des Schätzers s e 2 = e'e/n und Transformation der quadrierten Residuen e t 2 in die Größen g t = e t 2 / s e 2 3. Regression der g t auf die Variablen Z 2, …, Z p 4. Berechnen der Lagrange-Multiplier Teststatistik LM(H) = 1/2 [g'Z(Z'Z) -1 Z'g], die unter H 0 asymptotisch der Chi-Quadrat- Verteilung mit p-1 Freiheitsgraden folgt Berechnung von LM(H) = nR g 2 mit dem Bestimmtheitsmaß R g 2 der Regression der transformierten Residuen g t auf die Variablen Z 2, …, Z p

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 Konsumfunktion, Forts. Breusch-Pagan-Test, ob t 2 = 1 + X t 2 1.Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X 2.Berechnen von g t = e t 2 / s e 2 3.Anpassen der transf. Residuen: g = X R g 2 = , LM(H) = 70 (0.2143) = 15.0, p-Wert: Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 White-Test Test der Nullhypothese: H 0 : t 2 = 2 für alle t gegen die unspezifizierte Alternative, H 0 sei unrichtig Test vergleicht die Kovarianzmatrix (X'X) -1 X'X (X'X) -1 und ihr Pendant bei Homoskedastizität, (X'X) -1 Teststatistik: n-faches Bestimmtheitsmaß R e 2 der Hilfsregression der quadrierten Residuen e t 2 auf die Regressoren des Modells, ihre Quadrate und gegebenenfalls auch auf ihre Produkte W = n R e 2 W folgt asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung; Zahl der Freiheitsgrade ist gleich der Anzahl der geschätzten Koeffizienten weniger Eins

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 21 Konsumfunktion, Forts. White-Test, ob t 2 = 2 für alle t 1.Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X 2.Anpassen der Residuen: e 2 = X – X 2 R e 2 = 0.226, W = 70 (0.226) = 15.82, p-Wert: Die Nullhypothese kann nicht gehalten werden

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 22 Inferenz bei Heteroskedastizität Kovarianzmatrix von b: Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Verwendung von (X'X) -1 führt zu verfälschten Ergebnissen Vermeidung von Fehlern durch 1.Verwendung der korrekten Varianzen 2.Transformation des Modells so, dass die Störgrößen homoskedast sind

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 23 Schätzen von Var{b} Nach White: heteroskedasticity consistent Kovarianzmatrix statt Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Daraus erhält man die White-Standardfehler für die b i Achtung: Simulationen zeigen, dass die White-Standardfehler die tatsächlichen Standardfehler unterschätzen! EViews verwendet White-Standardfehler als Option der OLS- Schätzung

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 24 Konsumfunktion, Forts. Anpassen der Konsumfunktion: Ŷ = X Der Standardfehler des Koeffizienten von X beträgt Der White-Standardfehler beträgt Der nicht korrigierte Standardfehler unterschätzt um mehr als 30%

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 25 Variablen-Transformation Bei bekannter funktionaler Form der Abhängigkeit der t 2 : Transformation so, dass die Störgrößen des transformierten Modells homoskedast sind Beispiel: Modell Y t = + X t + u t hat heteroskedaste Störgrößen: t 2 = Z t 2 für t = 1, …, n; oder Var{u} = 2 = 2 diag(Z 1 2, …, Z n 2 ) Mit v t = u t /Z t ergibt sich Var{v t } = Var{u t }/Z t 2 = 2 Transformiertes Modell erfüllt Annahme 6

26 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 26 Gewichtete LS-Schätzer Minimieren der Summe der Abweichungsquadrate für transformiertes und nicht-transformiertes sind verschieden! Beispiel: Modell Y t = + X t + u t mit Var{u t } = t 2 = Z t 2 Beim nicht-transformierten Modell wird minimiert: t (Y t – – X t ) 2 Beim transformierten Modell wird minimiert: t w t (Y t – – X t ) 2 mit Gewichten w t = Z t -2 Achtung! w t = t -1/2 mit t aus Var{u} = 2 = 2 diag(Z 1 2, …, Z n 2 ) Diese Gewichtete LS-Schätzung ist ein Fall der GLS-Schätzung (generalized LS-Schätzung)

27 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 27 Konsumfunktion, Forts. Transformation von Y t = a + b X t + u t durch Division durch X t Entspricht den Gewichten w t = X t -1/2 Die angepasste Funktion ist Achtung! R 2 der Schätzungen mit und ohne Gewichtung sind nicht vergleichbar! EViews erlaubt gewichtete LS-Schätzung als Option der Modellanpassung

28 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 28 GLS-Schätzer Transformation von Y t = x t + u t mit Var{u t } = t 2 durch Dividieren durch t ergibt das Modell Y t / t = Y t * = x t / t + u t / t = x t / t + v t mit Var{v t } = 1 Die Annahme 6 der Homoskedastizität ist für das Modell in transformierten Variablen erfüllt, die OLS-Schätzer sind beste Schätzer. Das Schätzen der Parameter des Modells in transformierten Variablen entspricht der gewichteten OLS- oder GLS- Schätzung. Achtung! In den meisten Fällen sind die t 2 nicht bekannt!

29 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 29 FGLS-Schätzer Bei unbekannten Parametern in den Gewichten t : 2-stufiges Verfahren 1. Anpassen des Modells ohne Gewichtung und Schätzen der Varianzen t (Regression von e t 2 ) 2. Transformation der Variablen: Division durch geschätzte t 3. Anpassen des Modells in transformierten Variablen Man spricht von einem FGLS-Schätzer (feasible GLS-Schätzer), auch vom anwendbaren oder geschätzten GLS-Schätzer


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