Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird auf Montag, den 17. Mai verlegt! Zeit: 16 Uhr Ort: Kiste Nächste Woche!!!!

Präsentation zum Thema: "Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird auf Montag, den 17. Mai verlegt! Zeit: 16 Uhr Ort: Kiste Nächste Woche!!!!"—  Präsentation transkript:

1 Die Vorlesung am 14. Mai (Tag nach Himmelfahrt) wird auf Montag, den 17. Mai verlegt! Zeit: 16 Uhr Ort: Kiste Nächste Woche!!!!

2 Konfidenzintervalle Intervallschätzung Jeder Beobachtung wird ein Intervall C( ) der reellen Zahlen zugeordnet Niveau Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

3 Niveau klein Das Niveau wird klein gewählt. (Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1) Zusammenhang Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau: Niveau kleiner Intervall breiter Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

4 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

5 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

6 Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz bekannt Annahme: Konfidenzintervalle: wobei

7 In unserem Beispiel: Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich: und

8 Verwendung der Tafel für die Normalvertreilung

9 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

10 Beispiel Kaufhaus-Konzern Kauf würde in Erwägung gezogen Kauf würde nicht in Erwägung gezogen 572 1428

11 Der Zentrale Grenzwertsatz

12 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I Konfidenzintervall zum Niveau

13 Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II Vereinfachung für großes n (n 100)

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15 Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

16 Die Chi-Quadrat-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante c ist dabei: : Gamma-Funktion

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18 Die Student- oder t-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

19 Die Student- oder t-Verteilung Wahrscheinlichkeitsdichte Die Konstante d ist dabei:

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21 unabhängige Für n unabhängige Zufallsvariablen mit hat man: Mathematische Bedeutung der Chi-Quadrat-Verteilung

22 unabhängige Für unabhängige Zufallsvariablen W und U mit hat man: Mathematische Bedeutung der t-Verteilung

23 Konfidenzintervall für den Erwartungswert Varianz unbekannt Student-Verteilung (oder t-Verteilung)

24 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

25 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert bekannt zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

26 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Einseitig Chi-Quadrat- Verteilung

27 Konfidenzintervall für die Varianz Erwartungswert unbekannt Zweiseitig Chi-Quadrat- Verteilung

28 Übersicht I Konfidenzintervalle für den Erwartungswert

29 Übersicht II Konfidenzintervalle für die Varianz

30 Rechenbeispiel Stichprobe vom Umfang n = 5 3.5 7.2 5.0 4.3 7.9 Stichprobenfunktionen

31 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

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33 Fehler: 0,831

34 Fehler: 0,831

35 Fehler: 0,831

36 Fehler: 0,831

37 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe 1.Fall 2.Fall 3.Fall

38 6.Fall 18.28 5.Fall 4.Fall

39 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

40 Konfidenzintervalle für diese konkrete Stichprobe Die anderen Fälle zur Übung empfohlen!! 2.Fall 5.Fall

41 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten Anbaugebiet

42 Der Besitzer P einer Apfelplantage im Kraichgau behauptet gegenüber dem Großhändler G aus Sinsheim, dass die Äpfel seiner Sorte Cox-Orange aus der Lage Sonnenstrahl dieses Jahr ein mittleres Gewicht von wenigstens 142 g aufweisen. G schlägt daraufhin P das folgende Verfahren vor: Die beiden greifen zufällig 16 Äpfel aus der diesjährigen Sonnenstrahl-Lage heraus und bestimmen deren Gewicht. Das arithmetische Mittel x und die empirische Streuung s der Apfelgewichte setzen Sie dann in die folgende Zauber- formel ein: y = x + 0,438 s

43 Ist 142 größer als der errechnete Wert y, dann wird G nicht kaufen, andernfalls kommen G und P ins Geschäft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass G nicht kauft, obwohl das mittlere Apfelgewicht in Wirklichkeit über 142 g lag?

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