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Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.:

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Präsentation zum Thema: "Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.:"—  Präsentation transkript:

1 Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.: 31336-4663
Ökonometrie II Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.:

2 Termine März: 11., 18., 25. April: 1., 8., 15., 22., 29. Mai: 6., 13., 20., 27. Juni: 3., 10., 17., 24. Ökonometrie II

3 Literatur P. Hackl, Einführung in die Ökonometrie. Pearson Studium, 2004 P. Hackl, Ökonometrie, 7.Auflage. Fakultas Skripten. J. Stewart & L. Gill, Econometrics, 2nd Ed. Prentice Hall, 2000. W.H. Greene, Econometric Analysis. 5th Ed. Prentice Hall, 2002. Ökonometrie II

4 Inhalte von Ökonometrie II
Themen von Ökonometrie I waren: Lineares Regressionsmodell, Schätzverfahren, Annahmen des linearen Regressionsmodells, Statistische Bewertung von Regressionsbeziehungen, Variablenauswahl und Missspezifikation, Lineare Restriktionen, Prognose und Prognosequalität Ökonometrie II behandelt Methodische Erweiterungen Multikollinearität Heteroskedastizität Autokorrelation Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle Trends und Unit root-Tests Instrumentvariablen-Schätzung Ökonometrie II

5 Regression und Modellierung
Multiples lineares Regressionsmodell Y: endogene Variable X2, … Xk: exogene Variable Modell beschreibt den Daten-generierenden Prozess von Y unter der Bedingung X2, … Xk b1: Interzept b2, ..., bk: Koeffizienten von X1, …, Xk Ökonometrie II

6 Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR
PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Ökonometrie II

7 Einkommen und Konsum, Forts.
PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis Ökonometrie II

8 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares
Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

9 Area-Wide Model (AW-Modell)
Europäischen Zentralbank Working Paper Nr. 42 (2001) von Gabriel Fagan, Jerome Henry, Ricardo Mestre beschreibt die makroökonomischen Prozesse der Euro-Zone Zielsetzung: the assessment of economic conditions in the area microeconomic forecasting policy analysis deepening the understanding of the functioning of euro area economy AWM-Datenbasis: ca. 100 Variable, 1976:1 bis 2003:4 Ökonometrie II

10 EViews Software zur Ökonometrischen Analyse
QMS (Quantitative Micro Software, USA) bringt 1994 EViews 1.0 als moderne Version von Micro TSP aktuelle Version: EViews 5.1 (2005) EViews 3.1 weiter als aktuelle Student-Version Link: WU: Campus-Lizenz, an allen PCs EViews 5.1 Ökonometrie II

11 Matrixschreibweise n Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn)
Modell: Yt = b1 + b2Xt + ut = xt‘b + ut, t = 1, …, n, mit Ökonometrie II

12 Matrixschreibweise, Forts.
Gemeinsame Darstellung der n Beziehungen Yt = b1 + b2Xt + ut, t = 1, …, n: y = Xb + u mit Ökonometrie II

13 Schätzen der Koeffizienten
b1, b2: „wahre“ Regressionskoeffizienten Störgrößen: ut = Yt - (b1 + b2Xt) Residuen: et = Yt - (b1 + b2 Xt) Schätzer von bi: bi ist Funktion von (Xt, Yt), t = 1, …, n. Summe der Fehlerquadrate S(b1, b2) = St ut2= St [Yt - (b1 + b2Xt)]2 Prinzip der Kleinsten Quadrate: bi = arg minb1, b2 S(b1, b2) Ökonometrie II

14 Ableiten der Normalgleichungen
Partielles Ableiten von S(b1, b2) = St [Yt - (b1 + b2Xt)]2 liefert Nullsetzen: ergibt die Normalgleichungen Ökonometrie II

15 Normalgleichungen Auflösen nach b1 und b2 gibt die OLS-Schätzer mit
Ökonometrie II

16 OLS-Schätzung in Matrixform
Yt = xt‘b + ut, t = 1, …, n oder y = Xb + u Summe der Fehlerquadrate S(b) = (y-Xb)‘(y-Xb) = y‘y -2y‘Xb+b‘X‘Xb OLS-Schätzer: b = (X‘X)-1X‘y Ökonometrie II

17 Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4
Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

18 Eigenschaften von Schätzern
Erwartungstreue: Schätzer b für Parameter b ist erwartungstreu, wenn E{b} = b Effizienz: Schätzer b für Parameter b ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; b ist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist Konsistenz: Schätzer bn für Parameter b ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von bn für n->∞ im Punkt b kollabiert Ökonometrie II

19 OLS-Schätzer: Erwartungstreue
wegen E{u|X}=0 Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu! Die Verteilung der ut muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt. Ökonometrie II

20 Varianz der OLS-Schätzer
wegen Var{a+Au} = A Var(u) A‘, wenn Var(u) = s2I vorausgesetzt wird. Achtung! Die Annahme Var(u) = s2I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit Ökonometrie II

21 Beispiel: Einfache Regression
Yt = a + b Xt + ut Dafür ergibt sich Die Varianzen sind Ökonometrie II

22 Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4
Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

23 OLS-Schätzer: Effizienz
Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern Ökonometrie II

24 OLS-Schätzer: Konsistenz
hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{bn}=b für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (Xn‘Xn/n) Ökonometrie II

25 Beispiel: Einfache Regression
Yt = a + b Xt + ut Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss SXt2/n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten! Ökonometrie II

26 ML-Schätzer Annahme: u ~ N(0, s2I), normalverteilte Störgrößen
Dichtefunktion der Beobachtungen (X1,Y1), … , (Xn,Yn) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion Ökonometrie II

27 ML-Schätzer, Forts. Ableitungen:
Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für b ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind) Ökonometrie II

28 Eigenschaften der ML-Schätzer
Schätzer für b erwartungstreu effizient konsistent Schätzer für s2 nicht erwartungstreu! Ökonometrie II

29 Schätzer der Koeffizienten: Wahrscheinlichkeitsverteilung
ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt OLS- und ML-Schätzer für b sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt Ökonometrie II

30 Liste der Annahmen A1 A2 A3 A4 A5 A6 A61 A62 A7
lineare funktionale Form des Modells A2 r(X) = k A3 lim Xn‘ Xn/n = Q hat vollen Rang A4 Xi unabhängig von u für alle i (Exogenität) A5 E{u} = 0 A6 Var{u} = s2I A61 Var{ut} = s2 für alle t A62 Cov{ut, us} = 0 für alle t und s mit t ≠ s A7 ut normalverteilt für alle t Ökonometrie II

31 Dimensionen der Bewertung
Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien: Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaike‘s AIC-Kriterium Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel Ökonometrie II

32 Bestimmtheitsmaß Definition:
Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird oft in Prozenten angegeben Ökonometrie II

33 R2: Eigenschaften Wegen gilt:
R2=1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R2=0 bedeutet: alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R2 soll einen möglichst hohen Wert haben Einfache Regression: Multiple Regression: R2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden! Achtung! Bei homogener Regression ist R2<0 möglich! Ökonometrie II

34 Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

35 Bewertung der Parameter
Frage: Trägt der Regressor Xi zur Erklärung bei? Test von H0: bi = 0 gegen H1: bi>0 oder H1: bi≠0: (t-Test) Konfidenzintervall für bi Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H0: b2 = … =bk (F-Test) Ökonometrie II

36 t-Test mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1
Verteilung der OLS-Schätzer b: Für den Schätzer bi gilt: mit dem i-ten Diagonalelement aii aus (X‘X)-1 s√(aii) bzw. s√(aii) heißt Standardfehler von bi Test von H0: bi=0 gegen H1: bi≠0: Entscheidung mittels p-Wert: Ökonometrie II

37 Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

38 F-Test Test von H0: b1=…= bk gegen H1: H0 trifft nicht zu
F ist verteilt nach F(k-1,n-k) Entscheidung mittels p-Wert Ökonometrie II

39 Beispiel: Konsumfunktion
Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PYR_D R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Ökonometrie II

40 Eigenschaften von b, wenn
relevante Regressoren nicht berücksichtigt werden b ist verzerrt: Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt Ökonometrie II

41 Eigenschaften von , wenn
nicht relevante Regressoren berücksichtigt werden ist unverzerrt Zu große Varianzen keine effizienten Schätzer Ökonometrie II

42 Modellvergleich: F-Statistik
In drei Schritten: Anpassen des kurzen Modells Y = Xb + u an die Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e Anpassen des weiteren Modells Y = Xb + Zg + v an die Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen Berechnen von F ist (näherungsweise) verteilt nach F(g,n-k) Ökonometrie II


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