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Ökonometrie II Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.: 31336-4663.

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1 Ökonometrie II Peter Hackl Sprechstunde: Fr, 10:30-11:30 Tel.: 31336-4663

2 11.3.2005Ökonometrie II2 Termine März: 11., 18., 25. April: 1., 8., 15., 22., 29. Mai: 6., 13., 20., 27. Juni: 3., 10., 17., 24.

3 11.3.2005Ökonometrie II3 Literatur P. Hackl, Einführung in die Ökonometrie. Pearson Studium, 2004 P. Hackl, Ökonometrie, 7.Auflage. Fakultas Skripten. J. Stewart & L. Gill, Econometrics, 2nd Ed. Prentice Hall, 2000. W.H. Greene, Econometric Analysis. 5th Ed. Prentice Hall, 2002.

4 11.3.2005Ökonometrie II4 Inhalte von Ökonometrie II Themen von Ökonometrie I waren: Lineares Regressionsmodell, Schätzverfahren, Annahmen des linearen Regressionsmodells, Statistische Bewertung von Regressionsbeziehungen, Variablenauswahl und Missspezifikation, Lineare Restriktionen, Prognose und Prognosequalität Ökonometrie II behandelt Methodische Erweiterungen Multikollinearität Heteroskedastizität Autokorrelation Zeitreihen und Zeitreihen-Modelle Trends und Unit root-Tests Instrumentvariablen-Schätzung

5 11.3.2005Ökonometrie II5 Regression und Modellierung Multiples lineares Regressionsmodell Y: endogene Variable X 2, … X k : exogene Variable Modell beschreibt den Daten-generierenden Prozess von Y unter der Bedingung X 2, … X k : Interzept k : Koeffizienten von X 1, …, X k

6 11.3.2005Ökonometrie II6 Einkommen und Konsum PCR: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYR: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2003:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

7 11.3.2005Ökonometrie II7 Einkommen und Konsum, Forts. PCRT: Privater Konsum, real, in Mrd.EUR PYRT: Verfügbaren Einkom- men der Haushalte, real 1970:1-2002:4 Basis: 1995 Quelle: AWM-Datenbasis

8 11.3.2005Ökonometrie II8 Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

9 11.3.2005Ökonometrie II9 Area-Wide Model (AW-Modell) Europäischen Zentralbank Working Paper Nr. 42 (2001) von Gabriel Fagan, Jerome Henry, Ricardo Mestre beschreibt die makroökonomischen Prozesse der Euro-Zone Zielsetzung: the assessment of economic conditions in the area microeconomic forecasting policy analysis deepening the understanding of the functioning of euro area economy AWM-Datenbasis: ca. 100 Variable, 1976:1 bis 2003:4

10 11.3.2005Ökonometrie II10 EViews Software zur Ökonometrischen Analyse QMS (Quantitative Micro Software, USA) bringt 1994 EViews 1.0 als moderne Version von Micro TSP aktuelle Version: EViews 5.1 (2005) EViews 3.1 weiter als aktuelle Student-Version Link: www.eviews.com/index.htmlwww.eviews.com/index.html WU: Campus-Lizenz, an allen PCs EViews 5.1

11 11.3.2005Ökonometrie II11 Matrixschreibweise n Beobachtungen (X 1,Y 1 ), …, (X n,Y n ) Modell: Y t = 1 + 2 X t + u t = x t + u t, t = 1, …, n, mit

12 11.3.2005Ökonometrie II12 Matrixschreibweise, Forts. Gemeinsame Darstellung der n Beziehungen Y t = 1 + 2 X t + u t, t = 1, …, n: y = X + u mit

13 11.3.2005Ökonometrie II13 Schätzen der Koeffizienten 1, 2 : wahre Regressionskoeffizienten Störgrößen: u t = Y t - ( 1 + 2 X t ) Residuen: e t = Y t - (b 1 + b 2 X t ) Schätzer von i : b i ist Funktion von (X t, Y t ), t = 1, …, n. Summe der Fehlerquadrate S( 1, 2 ) = t u t 2 = t [Y t - ( 1 + 2 X t )] 2 Prinzip der Kleinsten Quadrate: b i = arg min1, 2 S( 1, 2 )

14 11.3.2005Ökonometrie II14 Ableiten der Normalgleichungen Partielles Ableiten von S( 1, 2 ) = t [Y t - ( 1 + 2 X t )] 2 liefert Nullsetzen: ergibt die Normalgleichungen

15 11.3.2005Ökonometrie II15 Normalgleichungen Auflösen nach b 1 und b 2 gibt die OLS-Schätzer mit

16 11.3.2005Ökonometrie II16 OLS-Schätzung in Matrixform Y t = x t + u t, t = 1, …, n oder y = X + u Summe der Fehlerquadrate S() = (y-X)(y-X) = yy -2yX+XX OLS-Schätzer: b = (XX) -1 Xy

17 11.3.2005Ökonometrie II17 Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

18 11.3.2005Ökonometrie II18 Eigenschaften von Schätzern Erwartungstreue: Schätzer bfür Parameter ist erwartungstreu, wenn E{b} = Effizienz: Schätzer bfür Parameter ist effizienter als b*, wenn Var{b} < Var{b*}; bist effizient, wenn seine Varianz geringer als die jedes anderen Schätzers (aus einer Klasse von Schätzern) ist Konsistenz: Schätzer b nfür Parameter ist konsistent, wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung von b nfür n-> im Punkt kollabiert

19 11.3.2005Ökonometrie II19 OLS-Schätzer: Erwartungstreue wegen E{u|X}=0 Der OLS-Schätzer b (und damit auch der ML-Schätzer) ist erwartungstreu! Die Verteilung der u t muss als unabhängig von den Regressoren (Spalten von X) vorausgesetzt werden! Für fixe X ist das stets erfüllt.

20 11.3.2005Ökonometrie II20 Varianz der OLS-Schätzer wegen Var{a+Au} = A Var(u) A, wenn Var(u) = 2 I vorausgesetzt wird. Achtung! Die Annahme Var(u) = 2 I bedeutet: Homoskedastizität Serielle Unkorreliertheit

21 11.3.2005Ökonometrie II21 Beispiel: Einfache Regression Y t = + X t + u t Dafür ergibt sich Die Varianzen sind

22 11.3.2005Ökonometrie II22 Konsumfunktion, Forts. Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

23 11.3.2005Ökonometrie II23 OLS-Schätzer: Effizienz Das Gauss-Markov Theorem sagt: der OLS-Schätzer b ist der beste, lineare, erwartungstreue (BLU) Schätzer für b hat minimale Varianz unter allen linearen, erwartungstreuen Schätzern b ist effizient gegenüber allen linearen, erwartungstreuen Schätzern

24 11.3.2005Ökonometrie II24 OLS-Schätzer: Konsistenz hat die Varianz Konvergenz im quadratischen Mittel: E{b n }= für alle n mit der regulären Matrix Q = lim (X n X n /n)

25 11.3.2005Ökonometrie II25 Beispiel: Einfache Regression Y t = + X t + u t Dafür ergibt sich Damit Q regulär ist, muss X t 2 /n auch bei beliebig großem n endlich bleiben. Achtung! X kann einen Trend enthalten!

26 11.3.2005Ökonometrie II26 ML-Schätzer Annahme: u ~ N(0, 2 I), normalverteilte Störgrößen Dichtefunktion der Beobachtungen (X 1,Y 1 ), …, (X n,Y n ) Likelihood-Funktion Log-Likelihood-Funktion

27 11.3.2005Ökonometrie II27 ML-Schätzer, Forts. Ableitungen: Likelihood-Gleichungen: Nullsetzen der Ableitungen Maximum-Likelihood (ML)-Schätzer: Beachte: ML-Schätzer für ist identisch mit OLS-Schätzer (wenn Störgrößen normalverteilt sind)

28 11.3.2005Ökonometrie II28 Eigenschaften der ML-Schätzer Schätzer für erwartungstreu effizient konsistent Schätzer für 2 nicht erwartungstreu! konsistent

29 11.3.2005Ökonometrie II29 Schätzer der Koeffizienten: Wahrscheinlichkeitsverteilung ML-Schätzer sind asymptotisch normalverteilt OLS- und ML-Schätzer für sind ident; daher ist auch der OLS-Schätzer asymptotisch normalverteilt Bei endlichem Umfang n: nur bei normalverteilten Störgrößen gilt

30 11.3.2005Ökonometrie II30 Liste der Annahmen A1 lineare funktionale Form des Modells A2 r(X) = k A3 lim X n X n /n = Q hat vollen Rang A4 X i unabhängig von u für alle i (Exogenität) A5 E{u} = 0 A6 Var{u} = 2 I A6 1 Var{u t } = 2 für alle t A6 2 Cov{u t, u s } = 0 für alle t und s mit t s A7 u t normalverteilt für alle t

31 11.3.2005Ökonometrie II31 Dimensionen der Bewertung Globale Bewertung: Kann das Modell den datengenerierenden Prozess der abhängigen Variablen als Ganzes erklären? Globale Kriterien: Bestimmtheitsmaß Adjustiertes Bestimmtheitsmaß Logarithmierte Likelihoodfunktion Informationskriterien, zB Akaikes AIC-Kriterium Inferenz der Regressionsparameter t-Test F-Test ANOVA-Tafel

32 11.3.2005Ökonometrie II32 Bestimmtheitsmaß Definition: Anteil der durch das Regressionsmodell erklärten Varianz (der Varianz der geschätzten Y) an der Gesamtvarianz der Beobachtungen von Y Anteil der Varianz der abhängigen Variablen, die durch das Modell erklärt wird oft in Prozenten angegeben

33 11.3.2005Ökonometrie II33 R 2 : Eigenschaften Wegen gilt: R 2 =1 bedeutet: ; alle Residuen sind Null! R 2 =0 bedeutet: alle Regressionskoeffizienten haben den Wert Null! R 2 soll einen möglichst hohen Wert haben Einfache Regression: Multiple Regression: R 2 kann durch Hinzufügen eines Regressors nicht kleiner werden! Achtung! Bei homogener Regression ist R 2 <0 möglich!

34 11.3.2005Ökonometrie II34 Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

35 11.3.2005Ökonometrie II35 Bewertung der Parameter Frage: Trägt der Regressor X i zur Erklärung bei? Test von H 0 : i = 0 gegen H 1 : i >0 oder H 1 : i 0: (t-Test) Konfidenzintervall für i Tragen alle Regressoren zur Erklärung bei? Test von H 0 : 2 = … = k (F-Test)

36 11.3.2005Ökonometrie II36 t-Test Verteilung der OLS-Schätzer b: Für den Schätzer b i gilt: mit dem i-ten Diagonalelement a ii aus (XX) -1 (a ii ) bzw. s(a ii ) heißt Standardfehler von b i Test von H 0 : i =0 gegen H 1 : i 0: Entscheidung mittels p-Wert:

37 11.3.2005Ökonometrie II37 Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

38 11.3.2005Ökonometrie II38 F-Test Test von H 0 : 1 =…= k gegen H 1 : 0 trifft nicht zu F ist verteilt nach F(k-1,n-k) Entscheidung mittels p-Wert

39 11.3.2005Ökonometrie II39 Beispiel: Konsumfunktion Dependent Variable: PCR_D4 Method: Least Squares Date: 08/20/04 Time: 11:06 Sample(adjusted): 1971:1 2002:4 Included observations: 128 after adjusting endpoints VariableCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.010855 0.00105310.310710.0000 PYR_D40.747032 0.04184017.854510.0000 R-squared0.716716 Mean dependent var0.024898 Adjusted R-squared0.714468S.D. dependent var0.014817 S.E. of regression0.007918 Akaike info criterion-6.823949 Sum squared resid0.007899 Schwarz criterion-6.779386 Log likelihood438.7327 F-statistic318.7837 Durbin-Watson stat0.632776 Prob(F-statistic)0.000000

40 11.3.2005Ökonometrie II40 Eigenschaften von b, wenn relevante Regressoren nicht berücksichtigt werden b ist verzerrt: Das Vorzeichen des Bias ist schwer abzuschätzen Die Varianz der Störgrößen wird überschätzt

41 11.3.2005Ökonometrie II41 Eigenschaften von, wenn nicht relevante Regressoren berücksichtigt werden ist unverzerrt Zu große Varianzen keine effizienten Schätzer

42 11.3.2005Ökonometrie II42 Modellvergleich: F-Statistik In drei Schritten: 1.Anpassen des kurzen Modells Y = X + u an die Regressoren aus X, Berechnen der Residuen e 2.Anpassen des weiteren Modells Y = X + Z + v an die Variablen aus X und Z, Berechnen der Residuen 3.Berechnen von 4.F ist (näherungsweise) verteilt nach F(g,n-k)


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