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Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter.

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Präsentation zum Thema: "Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter."—  Präsentation transkript:

1 Kapitel 18 Dynamische Modelle: Schätzen der Parameter

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 AR(1)-Modell: Schätzer für Für das AR(1)-Modell Y t = Y t-1 +u t gelte: | | < 1, u t ist Weißes Rauschen OLS-Schätzer: Aus Y t = i i u t-i sieht man, dass der Erwartungswert von t Y t-i u t nicht den Wert Null hat: Der OLS-Schätzer für ist nicht erwartungstreu! Es lässt sich zeigen: der OLS-Schätzer für ist konsistent Ist asymptotisch normalverteilt

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Schätzverfahren für dynamische Modelle Themen sind das Schätzen der Parameter folgender Modelle: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen ADL-Modell Modell mit Koyckscher Lagstruktur

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 DL(s)-Modell Probleme beim Schätzen der Koeffizienten des Modells Y t = + 0 X t + … + s X t-s + u t sind: Verlust von Beobachtungen: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt Zusätzliches Problem kann sein: korrelierte Störgrößen, z.B. AR(1)-Prozess u t = u t-1 + t mit Weißem Rauschen (Varianz 2 )

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell: Y t = + 0 X t + … + s X t-s + u t mit u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) Alternative Darstellungen (mit Störgrößen ) ADL-Form Y t = + Y t X t + … + s+1 X t-s-1 + t mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, …, s+1 = – s ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen: Y* t = + 0 X* t + … + s X* t-s + t mit Y* t = Y t – Y t-1, X* t = X t – X t-1

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Beispiel: DL(1)-Modell mit korrelierten Störgrößen Modell Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + u t mit Störgrößen u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) ADL(1,2)-Form: Y t = + Y t X t + 1 X t X t-2 + t mit = (1 – ), 0 = 0, 1 = 1 – 0, 2 = – 1 ADL(1,s+1)-Modell Modell in Quasi-Differenzen: Y* t = + 0 X* t + 1 X* t-1 + t mit Y* t = Y t – Y t-1, X* t = X t – X t-1

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Beispiel: Konsumfunktion Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2) In logarithmierten Differenzen: Ĉ = Y mit t(Y) = 5.94, adj.R 2 = 0.326; r = ADL(1,1)-Form: Ĉ = C Y – 0.131Y -1 mit t(C -1 ) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y -1 ) = -0.87, adj.R 2 = 0.386; r = Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.344C -1, Y* = …): Ĉ* = Y* mit t(Y*) = 5.42, adj.R 2 = 0.288; r = 0.051

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: Schätzer Eigenschaften der OLS-Schätzer: DL(s)-Modell mit korrelierten Störgrößen: erwartungstreu und konsistent nicht effizient; verzerrte Schätzer der Standardfehler (unterschätzt, wenn > 0) ADL-Form: Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung, verzerrte, aber konsistente Schätzer nicht-lineare Normalgleichungen ADL-Form, Quasi-Differenzen-Form: Störgrößen erfüllen Voraussetzungen der OLS-Schätzung nicht-lineare Normalgleichungen

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Schätzen der ADL-Form Y t = + Y t X t + … + s+1 X t-s-1 + t Konsequenzen des Summenden Y t-1 : OLS-Schätzer sind verzerrt (siehe oben) Alternative: Instrumentvariablen-Schätzung konsistent von der Wahl der Instrumente abhängig

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Beispiel: DL(0)-Modell Modell: Y t = + X t + u t mit u t = u t-1 + t ( Weißes Rauschen) ADL(1,1)-Modell: Y t = + Y t-1 + X t + 1 X t-1 + t mit = (1 – ), 1 = - IV-Schätzung 1.Hilfsvariable: Ŷ t = c 0 + c 1 X t-1 + c 2 X t-2 + … Ordnung der Lagstruktur: z.B. AIC 2.Ersetzen von Y t-1 im ADL(1,1)-Modell durch Ŷ t-1 und OLS- Anpassung

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Schätzen der Quasi-Differenzen- Form Modell: Y* t = + 0 X* t + 1 X* t-1 + t mit Y* t = Y t – Y t-1, X* t = X t – X t-1 Berechnung der Quasi-Differenzen: Voraussetzung ist ein Schätzer für Zweistufiges Verfahren (vergl. Cochrane-Orcutt-Schätzer, FGLS- Schätzung) 1.OLS-Schätzer für, Berechnung der Quasi-Differenzen 2.OLS-Schätzer der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Beispiel: DL(1)-Modell Modell: Y t = + X t + X t-1 + u t mit u t = u t-1 + t ( Weißes Rauschen) Cochrane-Orcutt-Schätzer: 1.OLS-Schätzer a, b 0, b 1 (unter Annahme, dass = 0); Berechnung der Residuen e t = Y t – (a + b 0 X t + b 1 X t-1 ) und Berechnung der Quasi-Differenzen Y* t = Y t – rY t-1, X t * = … 2.OLS-Schätzung der Koeffizienten aus Y* t = + X* t + X* t-1 + t

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Schätzen von Residuen zum Berechnen der Schätzfunktion OLS-Residuen IV-Residuen r ist konsistenter Schätzer Iteratives Berechnen: 1.Schätzung der Koeffizienten unter der Annahme = 0, Berechnen von r (1) und der Quasi-Differenzen 2.Schätzung der Koeffizienten der Quasi-Differenzen-Form, Berechnen von r (2) und verbesserter Quasi-Differenzen 3.Wiederholung, bis Abbruchkriterium erfüllt ist

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 ADL-Modell: korrelierte Störgrößen ADL(1,1)-Modell Y t = + Y t X t + 1 X t-1 + u t mit u t = u t-1 + t Verallgemeinerung der ADL-Form eines DL-Modells mit korrelierten Störgrößen; schwächere Eigenschaften (z.B.: Schätzer r für ist nicht konsistent) Schätzverfahren: 1.IV-Schätzung 2.FGLS-Schätzung 3.Direktes Schätzung (nicht-lineare Optimierung)

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Konsumfunktion, Forts. ADL(1,1)-Form: Ĉ = C Y – 0.131Y -1 mit t(C -1 ) = 2.96, t(Y) = 4.81, t(Y -1 ) = -0.87, adj.R 2 = 0.386; r = Bei korrelierten Störgrößen: Schätzer sind verzerrt und nicht konsistent! Hilfsvariable: C IV = Y Y -1 IV-Schätzung Ĉ = – C IV Y – 1.197Y -1 mit t(C IV0 -1 ) = 2.11, t(Y) = 3.79, t(Y -1 ) = -1.88, adj.R 2 = 0.342

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 IV-Schätzung ADL(1,1)-Modell Y t = + Y t X t + 1 X t-1 + u t mit u t = u t-1 + t ( Weißes Rauschen) Instrumente: X -j, j > 1 Verfahrens-Schritte: 1.Bestimmen der Hilfsvariablen Ŷ t = c 0 + c 1 X t-1 + c 2 X t-2 + … mit geeigneter Ordnung der Lagstruktur 2.Ersetzen von Y t-1 durch Ŷ t-1 ; OLS-Anpassung IV-Schätzer sind nicht erwartungstreu, aber konsistent; auch asymptotisch nicht effizient

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 Konsumfunktion, Forts. DL(1)-Modell: Ĉ = Y Y -1 mit t(Y) = 4.07, t(Y -1 ) = 0.97, adj.R 2 = 0.316; r = FGLS-Schätzung: Quasi-Differenzen-Form (C* = C – 0.276C -1, Y* = …): Ĉ* = Y* Y* -1 mit t(Y*) = 5.08, t(Y* -1 ) = 0.16, adj.R 2 = 0.282

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Nicht-lineare OLS-Schätzung ADL(1,0)-Modell Y t = Y t-1 + X t + u t mit u t = u t-1 + t Einsetzen liefert Y t = ( )Y t-1 – Y t-2 + X t – X t-1 + t Gauß-Newton Algorithmus: Minimiert die Summe der quadrierten Residuen 1.Wahl von Startwerten für,, 2.Iteration von (a) Berechnen der Residuen, (b) Berechnen der Korrekturen aus Regressionen der Anstiege, (c) Korrektur der Parameter 3.Wiederholen von 2., bis Korrekturen sehr klein

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 Koycksche Lagstruktur: Schätzen der Parameter DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Y t = + i i X t-i + u t Schätz-Problem: Historische Werte X 0, X -1, X -2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Y t = (1- )(X t + X t-1 + … + t-1 X 1 + * t + u t mit * = (1- )(X 0 + X -1 + … ) als weiterem Parameter (siehe unten) AR (autoregressive)-Form Y t = + Y t-1 + X t + v t mit v t = u t – u t-1 : ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen Schätz-Problem: nicht-lineare Normalgleichungen (Gauss- Newton)

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 Koycksche Lagstruktur: Schätzen der DL-Form Y t = + i i X t-i + u t Näherungsweise äquivalentes Modell ist Y t = (1- )(X t + X t-1 + … + t-1 X 1 + * t + u t = + 0 W t + * t + u t mit 0 = (1- ) * = (1- )(X 0 + X -1 + … ) W t = X t + X t-1 + … + t-1 X 1 Nicht-lineares Schätzproblem!

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 21 Nicht-lineare OLS-Schätzung Iteratives Verfahren: 1.Wahl von drei Werten von ; für jedes : Berechnen von W t = X t + X t-1 + … + t-1 X 1 und t OLS-Anpassung liefert Schätzer für, 0, * Berechnen der Summe der quadrierten Residuen 2.Ausscheiden des mit größter Summe der quadrierten Residuen; neues : Mittelwert der anderen beiden, Wiederholen des Schrittes 1. 3.Abbruch, wenn mit kleinster Summe der quadrierten Residuen gefunden

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 22 Tests auf Autokorrelation Sind allgemeiner Hinweis auf Missspezifikation Durbin-Watson-Test hat reduzierte Macht bei autoregressivem Modell Tests auf Autokorrelation bei autoregressiven Modellen: Durbins h LM-Test von Breusch-Godfrey andere

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 23 Durbins h ADL(1,0)-Modell Y t = Y t X t + u t mit u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) Nullhypothese H 0 : = 0 d: Durbin-Watson-Statistik Unter H 0 : h ~ N(0,1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 24 Breusch-Godfrey-Test ADL(1,0)-Modell Y t = Y t X t + u t mit u t = u t-1 + t ( : Weißes Rauschen) Nullhypothese H 0 : = 0 1.Regression der OLS-Residuen e t auf Y t-1, X t und e t-1 ; R e 2 2.Teststatistik LM(A) = n R e 2 Unter H 0 : LM(A) ~ (1) (asymptotisch, näherungsweise bei großem n)


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