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Kapitel 17 Dynamische Modelle: Konzepte. Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Argumente für dynamische Modelle (a) Ökonomische Aktivitäten sind oft.

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1 Kapitel 17 Dynamische Modelle: Konzepte

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 2 Argumente für dynamische Modelle (a) Ökonomische Aktivitäten sind oft durch die Vergangenheit bestimmt; z.B.: Konsum von Energie hängt von Investitionen der Vergangenheit in energieverbrauchende Anlagen und Geräte ab (b) Akteure der ökonomischen Prozesse reagieren oft verzögert; z.B. wegen der Dauer von Entscheidungs- und Beschaffungspro- zessen (c) Erwartungen: z.B.: Konsum hängt nicht nur von aktuellen Einkommen, auch von der Einkommenserwartung ab; Modellierung der Erwartung basiert auf Entwicklung in der Vergangenheit

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 3 Elemente dynamischer Modelle 1.Lagstrukturen, d.s. Linearkombinationen aktueller und vergangener Werte der Variablen 2.Modelle für Erwartungen: basieren auf Lagstrukturen; z.B. adaptive Erwartung, partielle Anpassung 3.Das ADL-Modell: e in einfaches, aber allgemein anwendbares Modell, das aus einem autoregressiven Teil und aus einer endlichen Lagstruktur der unabhängigen Variablen besteht

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 4 Beispiel: Nachfragefunktionen Nachfrage nach dauerhaften Konsumgütern: Die Nachfrage Q hängt vom Preis P und vom Einkommen Y der aktuellen und zweier vergangener Perioden ab: Q t = + 0 Y t + 1 Y t Y t-2 + P t + u t Nachfrage nach Energie: Sie wird beschrieben durch Q t = + P t + K t + u t mit P: Preis für Energie, K: energie-relevanter Kapitalbestand K t = P t P t-2 + … + Y t + v t mit Y: Einkommen; Einsetzen gibt Q t = + Y t + P t + P t-1 + P t-1 + … + t mit t = u t + v t, 0 =, i = i, i = 1, 2, …

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 5 Das DL(s)-Modell Die allgemeine Form eines dynamischen Modells mit verzögerter Wirkung einer exogenen Variablen kann geschrieben werden als Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + … + s X t-s + u t s: maximales Lag oder Ordnung der Lagstruktur; kann unbeschränkt sein Endliche Lagstruktur: Ordnung s hat endlichen Wert Themen zu Lagstrukturen das Schätzen der Modellparameter die Interpretation der Koeffizienten

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 6 Beispiel: Konsumfunktionen Datensatz DatS04: Konsum und Einkommen für Österreich (1976:1 bis 1995:2) In logarithmierten Differenzen: (a)Ĉ = Y mit t(Y) = 2.288, R 2 = (b) Ĉ = Y – 0.026Y Y -2 mit t(Y) = 3.79, t(Y -1 ) = -0.18, t(Y -2 ) = 2.11, R 2 = Effekt des Einkommens auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: Wirkung in der aktuellen Periode ( C = je Y = 1) Gesamteffekt: Summe der Koeffizienten ( C = je Y = 1)

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 7 Multiplikatoren Beschreiben den Effekt von Änderungen in der/den erklärenden Variablen auf die abhängige Variable Modell Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + … + s X t-s + u t Kurzfristiger Multiplikator (short run oder impact multiplier): Effekt einer Änderung von X um X = 1 auf Y in der gleichen Periode ( Y = 0 ) Langfristige Multiplikator (long run multiplier): der über alle Zukunft kumulierte Effekt von X = 1 ( Y = 0 + … + s )

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 8 Gleichgewichts-Effekt Wenn nach einer Änderung X innerhalb einer endlichen Zeit ein Gleichgewichts-Zustand eintritt: langfristiger Multiplikator wird als Gleichgewichts-Effekt (equilibrium multiplier) bezeichnet Im Modell Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + … + s X t-s + u t wird in s Perioden der Gleichgewichts-Zustand erreicht Bei einer unendlichen Lagstruktur wird die Anpassung nie vollendet

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 9 Durchschnittliche Lag-Zeit Anteil der Anpassung: zur Charakterisierung des Anpassungsprozesses am Ende der aktuellen Periode: 0 /( 0 + … + s ) = w 1 am Ende der Periode t +1: ( )/( 0 + … + s ) = w 1 + w 2 usw. mit Gewichten w i = i /( 0 + … + s ), i = 1, …, s Mediane Lag-Zeit: Dauer bis zur Anpassung von 50%; minimales s* mit w 1 + … w s* 0.5 Durchschnittliche Lag-Zeit: i s i w i

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 10 Konsumfunktion, Forts. Ĉ = Y – 0.026Y Y -2 Effekt des Einkommens ( Y = 1) auf Konsum? Kurzfristiger Effekt: Gesamteffekt: – = Gleichgewichts-Effekt ist gleich dem Gesamteffekt: Mediane Lag-Zeit: die kumulierten Summen der Gewichte betragen 0.671, 0.636, 1.000; 50% der Anpassung werden überschritten in s* = 0 Durchschnittliche Lag-Zeit: Quartale, d.s. etwa 2.3 Monate

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 11 Lagstrukturen: Schätz-Probleme Probleme bei OLS-Anpassung einer Lagstruktur (Ordnung s): Verlust von Beobachtungen: es stehen nur n - s Beobachtungen zur Verfügung; unendliche Lagstruktur! Multikollinearität Ordnung s (meist) nicht bekannt Konsequenzen der ersten beiden Probleme: große Standardfehler der geschätzten Koeffizienten geringe Mächtigkeit der Tests zu den Koeffizienten Themen: Verfahren zur Wahl der Ordnung s Modellierung von Lagstrukturen, z.B. als polynomiale Struktur

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 12 Konsumfunktion, Forts. Ĉ = Y – 0.026Y Y -2 Kriterien: p(Y -2 ) = 0.039, adj.R 2 = 0.342, AIC = Übersicht für Modelle mit s 7: sAICp-Wertadj.R

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 13 Verfahren zur Wahl von s Auswahl unter Modellen mit s = 0, 1, …, S durch Verwendung des AIC (oder eines anderen Informationskriteriums) 1.Wahl des maximalen Lags S 2.Schätzen der Koeffizienten aller möglichen Modelle für s = 1, …, S 3.Bestimmen des AIC(s), des adjustierten Bestimmtheitsmaßes oder eines anderen Kriteriums 4.Wahl der Ordnung als jenes s, für das das AIC(s) minimal ist, das adjustierte Bestimmtheitsmaß maximal ist, etc.

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 14 Polynomiale Lagstruktur auch Almonsches Lag genannt DL(s)-Modell Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + … + s X t-s + u t = + B(L)X t + u t mit B(L) = L + … + s L s, L: Lagoperator (LX t = X t-1, L r X t = X t-r, L 0 X t = X t ) Polynomiales Lag: i, i = 1,…, s, ist ein Polynom der Ordnung r : i = i + … + r i r Mit r < s sind weniger Koeffizienten zu schätzen als im ursprünglichen Modell

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 15 Beispiel: s=3, r=2 Diese Spezifikation liefert 0 = 0 1 = = = oder = T mit der 3x4-Matrix T Einsetzen liefert Y t = 0 (X t + … + X t-3 ) + 1 (X t-1 + … + 3X t-3 ) + 2 (X t-1 + … + 9X t-3 ) + u t oder y = XT + u = W + u; die erste Spalte von W enthält die Summen X t + … + X t-3, etc. Aus den Schätzern c i (für die i ) ergeben sich die b i entsprechend obigen Gleichungen

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 16 Konsumfunktion, Forts. Ĉ = Y – 0.065Y Y Y -3 Kriterien: adj.R 2 = 0.344, AIC = Ĉ = pdl 1 (Y,3,2) – pdl 2 (Y,3,2) pdl 3 (Y,3,2) Kriterien: adj.R 2 = 0.335, AIC = Koeffizienten und in Klammer ihre t-Statistiken: b 0 = (3.72) b 1 = (1.04) b 2 = (0.07) b 3 = (1.70) oder Ĉ = Y Y Y Y -3

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 17 Koycksche Lagstruktur Spezifiziert die Koeffizienten des DL(s)-Modells Y t = + 0 X t + 1 X t-1 + … + s X t-s + … + u t als unendliche, geometrische Folge (geometrische Lagstruktur): i = (1- ) i Für 0 < < 1 ergibt die Summe aller i den Wert ! Beiträge zu Y bei einer Änderung von X = 1: (1- ) in t (kurzfristiger Multiplikator), (1- ) in t+1, etc; Beiträge werden je Periode um Faktor kleiner; Gleichgewichts-Effekt: durchschnittliche Lag-Zeit: /(1- ) Stabilitätsbedingung: Die Bedingung 0 < < 1 nennt man Stabilitätsbedingung: 1 bedeutet explosiv wachsende i bzw. explosiv wachsende Beiträge zu Y bei einer Änderung von X /(1- )

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 18 Koycksche Lagstruktur, Forts. DL (distributed lag)- oder MA (moving average)-Form des Modells Y t = + i i X t-i + u t AR (autoregressive)-Form Y t = + Y t-1 + X t + v t mit v t = u t – u t-1 Koyck-Transformation: Umformung der DL-Form in die AR-Form durch Subtrahieren der -fachen Gleichung für t-1

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 19 Konsumfunktion, Forts. Modell mit geringstem AIC: Ĉ = Y – 0.016Y Y Y Y -3 Kriterien: adj.R 2 = 0.370, AIC = , DW = 1.41 Koycks Lag in AR-Form Ĉ = C Y Kriterien: adj.R 2 = 0.388, AIC = , DW = 1.91

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 20 Schätzprobleme Probleme beim Schätzen von und : DL-Form: 1.Historische Werte X 0, X -1, X -2,… sind unbekannt! Näherungsweise äquivalentes Modell ist Y t = (1- )(X t + X t-1 + … + t-1 X 1 + * t + u t mit * = (1- )(X 0 + X -1 + … ) als drittem Parameter 2.Nichtlineares Schätzproblem! AR-Form: 1.Nichtlineares Schätzproblem! 2.Verzögerte, endogene Variable als Regressor 3.Korrelierte Störgrößen

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 21 Modelle in Erwartungen Erwartungen spielen in ökonomischen Prozesse wichtige Rolle Beispiele: Konsum hängt nicht nur vom aktuellen Einkommen, sondern auch von der Erwartung künftiger Einkommen ab Investitionen hängen von erwarteten Gewinnen ab Zinsen hängen von der Einschätzung der Entwicklung des Kapitalmarktes ab etc. Erwartungen sind nicht beobachtbar unter Annahmen über den Mechanismus der Erwartungsbildung modellierbar

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 22 Modelle für Erwartung In der Theorie sind folgende Modelle gebräuchlich Naives Modell der Erwartung: Der (für die nächste Periode) erwartete Wert ist gleich dem aktuellen Wert Modell der adaptiven Erwartung Modell der partiellen Anpassung Letztere beiden Modelle basieren auf der Koyckschen Lagstruktur

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 23 Modell der adaptiven Erwartung Beschreibt den aktuellen Wert Y t als Funktion des in der kommenden Periode erwarteten Wertes X e t+1 Y t = + X e t+1 + u t Beispiel: Investitionen (Y) sind Funktion des Gewinns X Modelle für X e t+1 : Naives Modell: X e t+1 = X t Realistischer ist eine gewichtete Summe der in der Vergangenheit realisierten Gewinne X e t+1 = 0 X t + 1 X t-1 + … Vorschlag von Cagan (1956): geometrisch abnehmende Gewichte mit 0 < < 1 i = (1- ) i

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 24 Adaptive Erwartung, Forts. Aus X e t+1 = 0 X t + 1 X t-1 + … ergibt sich mittels Koyck-Transformation X e t+1 = X e t + (1 - X t oder X e t+1 - X e t = (1 - X t - X e t ) Interpretation: Änderung der Erwartung zwischen t und t+1 ist proportional dem Fehler in der Erwartung, d.i. die Abweichung zwischen der aktuellen Erwartung und dem tatsächlich realisierten Wert Ausmaß der Änderung (Anpassung): 100(1 - % des Fehlers : Anpassungs-Parameter

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 25 Adaptive Erwartung, Forts. Modell der adaptiven Erwartung (adaptive expectations model) Y t = (1 – ) + Y t-1 + (1 – )X t + v t mit v t = u t – u t-1 Ist die AR-Form zur DL-Form Y t = + – )X t + – ) X t-1 + … + u t Beispiel: Investitionen (I) sind Funktion des erwarteten Gewinns P e t+1 und des Zinssatzes (r) I t = + P e t+1 + r t + u t Modell für erwarteten Gewinn unterstellt adaptive Erwartung P e t+1 = P e t + – )P t mit Anpassungs-Parameter (0 < < 1); AR-Form I t = – ) + I t-1 + – )P t + r t – r t-1 + v t der Investitionsfunktion mit v t = u t – u t-1

26 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 26 Konsumfunktion, Forts. Konsum als Funktion des erwarteten Einkommens: C t = + Y e t+1 + u t mit erwartetem Einkommen aus adaptiver Erwartung Y e t+1 = Y e t + – )Y t Einsetzen liefert die AR-Form C t = (1 – ) + C t-1 + (1 – )Y t + v t mit v t = u t – u t-1 Angepasstes Modell: Ĉ = C Y Kriterien: adj.R 2 = 0.388, AIC = -5.29, DW = 1.91

27 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 27 Modell der partiellen Anpassung Beschreibt den Prozess der Anpassung einer Größe an einen gewünschten Wert Beispiel: Der gewünschte (geplante) Lagerstand K p als Funktion des Erlöses S K p t = + S t + u t tatsächlicher Lagerstand der Vorperiode weicht vom gewünschten Lagerstand um K p t – K t-1 ab Strategie: Anpassung von K t an K p t um 100 %: K t – K t-1 = (K p t – K t-1 ) : Anpassungs-Parameter (0 < < 1)

28 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 28 Partielle Anpassung, Forts. Modell der partiellen Anpassung (partial adjustment model): Beschreibt das Verhalten von Y p t als Funktion eines Regressors X Y p t = + X t + u t Partielles Anpassen des realisierten Y nach Y t – Y t-1 = (Y p t – Y t-1 ) : Anpassungs-Parameter (0 < < 1) Realisiertes Y als gewichtetes Mittel zwischen geplantem Y p und realisiertem Y Y t = Y p t + (1 – )Y t-1 AR-Form des Modells der partiellen Anpassung Y t = + ( – )Y t-1 + X t + u t

29 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 29 AR-Formen Die AR-Formen der Koyckschen Lagstruktur des Modells der adaptiven Erwartung des Modells der partiellen Anpassung haben die gleiche Form sie unterscheiden sich in den Störgrößen: sie sind Weißes Rauschen im Fall des Modells der partiellen Anpassung sie sind korreliert in den beiden anderen Fällen

30 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 30 Das ADL-Modell Die allgemeine Form, das ADL(p,s)-Modell, lautet Y t = + Y t-1 + … + p Y t-p + X t + … + s X t-s + u t es besteht aus einer Lagstruktur der Ordnung p der abhängigen Variablen einer Lagstruktur der Ordnung s der erklärenden Variablen Darstellung mittels Lag-Operator L: A(L)Y t = + (L)X t + u t mit A(L) = 1 – L – … – p L p und (L) = + L + … + s L s

31 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 31 ADL(1,1)-Modell ADL(1,1)-Modell: Y t = + Y t-1 + X t + 1 X t-1 + u t Spezialfälle sind: Statisches Modell: = 1 = 0 DL(1)-Modell: = 0 AR(1)-Modell: = 1 = 0 Verallgemeinerungen ergeben sich, wenn korrelierte Störgrößen zugelassen werden Die meisten dynamischen Modelle gehören zur Klasse der ADL(1,1)- Modelle

32 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 32 ADL(1,1)-Modelle: Beispiele AR-Form [Y t = Y t-1 + – X t + v t ] des Modells mit Koyckscher Lagstruktur, d.i. Y t = (1– ) i i X t-i + u t, ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen AR-Form des Modells der adaptiven Erwartung Y t = (1 – ) + Y t-1 + (1 – )X t + v t ist ein ADL(1,0)-Modell mit korrelierten Störgrößen AR-Form des Modells der partiellen Anpassung Y t = + ( – )Y t-1 + X t + u t ist ein ADL(1,0)-Modell mit unkorrelierten Störgrößen Das Modell Y t = X t + u t mit korrelierten Störgrößen u t = u t-1 + t kann geschrieben werden als Y t = Y t X t-1 + t ; es ist ein ADL(1,1)-Modell, wenn 1 = 0

33 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 33 ADL(1,0)-Modell: Stabilität Y t = + Y t-1 + X t + u t Effekt einer Änderung von X um X = 1 Gleichgewichts-Zustand: Voraussetzung für Summierbarkeit der Beiträge (die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes): | | < 1; Stationaritäts-Bedingung Der Gleichgewichts-Zustand wird nur asymptotisch erreicht Vergleiche das DL(s)-Modell: der Gleichgewichts-Zustand wird nach s Perioden erreicht Periode Y t t-1 t-2 …… Summe /(1- )

34 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 34 Stabilität des ADL(1,1)-Modells Welchen Wert Y* erreicht Y im Gleichgewichts-Zustand (X wird auf fixem Niveau X* gehalten)? Y* = + Y* + X* + X* liefert Y* = /(1- ) + ( )/(1- )X* Effekt einer Änderung von X um X = 1: ( )/(1- ) Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: | | < 1 (Stationaritäts-Bedingung) d.h., der dem Modell entsprechende AR(1)-Prozess Y t = + Y t-1 + u t muss stationär sein

35 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 35 Stabilität im ADL(p,s)-Modells ADL(p,s)-Modell (L)Y t = + (L)X t + u t mit (L) = L - … - p L p (L) = L + … + s L s Gleichgewichts-Effekt: ( 0 + … + s )/( … - p ) Voraussetzung für die Erreichbarkeit des Gleichgewichts-Zustandes: i i < 1 (notwendig, aber nicht hinreichend) Für Wurzeln aus (z) = z - … - p z p = (1 - 1 z)… (1 - p z) = 0, also 1, …, p, muss gelten: |z i | = | i -1 | > 1, i = 1, …, p

36 Hackl, Einführung in die Ökonometrie 36 Gleichgewicht und Fehlerkorrektur ADL(1,1)-Modell für Gleichgewichts-Zustand: 1 : Gleichgewichts-Effekt (siehe oben) Fehlerkorrektur-Form: Y t = – (1 – )(Y t-1 – 0 – 1 X t-1 ) + 0 X t + u t mit Y t = Y t – Y t-1 und analogem X t Interpretation: Änderungen Y sind 1.Effekt von Änderungen X 2.Ausgleich der Abweichung vom Gleichgewichts-Zustand, d.i. der Gleichgewichts-Fehler Y – 0 – 1 X =


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