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Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006 Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007.

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Präsentation zum Thema: "Ein Vortrag von Christine Reiber am 04.12.2006 Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007."—  Präsentation transkript:

1 Ein Vortrag von Christine Reiber am Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007

2 Altes Rathaus in Leipzig Da Vinci Mona Lisa Raffael Sixtinische Madonna

3 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Gliederung des Vortrags 1.Einführung 2.Definition 3.Historisches 4.Konstruktion 5.Fraktale 5.1. Der Goldene Baum 5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal 5.3. Dimension des Fraktals 6.Regelmäßiges Fünfeck 6.1. Konstruktion 6.2. Goldenes Dreieck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck 6.4. Falten 7.Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt 8. Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.1. Architektur 8.2. Kunst 8.3. Körper des Menschen 8.4. Natur 9.Der Goldene Schnitt in der Schule

4 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Definition Eine Strecke sei im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die beiden Teilstücke zueinander verhalten wie das längere Teilstück zur ganzen Strecke. A C xy B 1

5 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Definition spiegelt das Verhältnis kleinere/größere Seite (y/x) wider Der Kehrwert bestimmt das Verhältnis größere/kleinere Strecke (x/y)

6 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Definition A C xy B 1 ; y=1: Zur Wiederholung: x+y=1: ;

7 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Definition und sind die wichtigen Größen beim Goldenen Schnitt. Es handelt sich dabei um irrationale Zahlen. Der Goldene Schnitt ist eine Stetige Teilung, d.h. er ist beliebig oft wiederholbar

8 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Historisches Um 450 v. Chr.: Hippasos von Metapont (Mitglied des Pythagoreer-Bundes) Untersuchungen am regelmäßigen Fünfeck: Verhältnis Kantenlänge zu Diagonale nicht als Quotient von ganzen Zahlen darstellbar Erste genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes durch Euklid (ca. 340 v. Chr.): proportio habens medium et duo extrema Teilung im inneren und äußeren Verhältnis Euklid ( v.Chr.) Ca. 1509: Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro: De Divina Proportione – Göttliche Teilung/Göttliche Proportion Luca Pacioli ( ) Martin Ohm führt 1835 den Begriff Goldener Schnitt ein

9 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Konstruktion P Q s gesucht: Teilpunkt T, der im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilt Gleichung: T ? xy quadratische Ergänzung: Konstruktion mit Hilfe des Satz des Pythagoras

10 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Konstruktion Um und ablesen zu können: Für s=1 und s/2=1/2 ergibt die Hypotenuse und Addieren bzw. Subtrahieren des Kreisradius:

11 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fraktale Zur Wiederholung: Fraktale sind Figuren, die Selbstähnlichkeiten aufweisen, das heißt bei denen Teilfiguren eine verkleinerte Kopie der Gesamtfigur sind Der Goldene Baum Haupteigenschaft vom Baumfraktal: Verzweigung Baumfraktal mit Stammlänge 1 und Verkleinerungsfaktor f=1/2 a) Ausgangslage; b) Fraktal

12 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fraktale 5.1. Der Goldene Baum Verkleinerungsfaktor so wählen, dass keine Zwischenräume offen bleiben, aber Äste sich nicht überlappen -> positive Lösung:

13 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fraktale 5.1. Der Goldene Baum Der Goldene Baum mit dem Verkleinerungsfaktor f=ρ

14 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fraktale 5.2. Goldenes Dreiecksfraktal und Goldenes Quadratfraktal Goldenes Dreiecksfraktal mit f=ρGoldenes Quadratfraktal mit f=ρ

15 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals Halbieren der Seitenlänge führt zu Teilquadraten Bei einem Würfel dann Teilwürfel

16 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fraktale 5.3. Dimension des Fraktals Dimension des Goldenen Baumes: Verkleinerungsfaktor: Dimension ist irrational

17 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Regelmäßiges Fünfeck 6.1. Konstruktion Spitzes Goldenes Dreieck mit den Basiswinkeln 72° und dem Spitzenwinkel 36 ° Winkelhalbierende eines Basiswinkels trennt vom ganzen Dreieck ABC ein dazu ähnliches Dreieck DAB ab Restdreieck BCD: Stumpfes Goldenes Dreieck Setzt man a=1, ergibt sich durch Ähnlichkeit von ABC und DAB: 6.2. Goldenes Dreieck

18 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Regelmäßiges Fünfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck Regelmäßiges Fünfeck – zusammengesetzt aus einem spitzen und zwei stumpfen Goldenen Dreiecken Seiten und Diagonalen stehen im Verhältnis des Goldenen Schnittes

19 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Regelmäßiges Fünfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck Außerdem gilt: Zwei Diagonalen, die sich nicht in einer Ecke des Fünfecks schneiden, teilen einander im Goldenen Schnitt. Für den Beweis benötigen wir folgende Merkmale eines regelmäßigen Fünfecks: a)Die Größe jedes Innenwinkels ist 108° b)Alle Diagonalen haben dieselbe Länge c)Jede Seite ist parallel zu der ihr gegenüberliegenden Diagonalen Q ist Schnittpunkt der Diagonalen und Strahlensatz: Mit und:

20 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Regelmäßiges Fünfeck 6.3. Goldener Schnitt im regelmäßigen Fünfeck zeigen, dass ein Parallelogramm ist Merkmal c): Seite und gegenüberliegende Diagonale sind paralell Somit folgt: Parallelogramm und es gilt: Bleibt zu zeigen, dass gilt:

21 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes Heranmultiplizieren von : Allgemein folgt durch Multiplizieren mit :

22 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fibonacci-Zahlen 7.1. Linearisierung von Potenzen des Goldenen Schnittes sind die Fibonacci-Zahlen, für sie gilt: mit und Analog:

23 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fibonacci-Zahlen 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt Mit Hilfe der Linearisierungsformeln können wir eine explizite Darstellung der Fibonacci- Folge bestimmen: Mit : Formel von Binet

24 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Fibonacci-Zahlen 7.2. Zusammenhang mit dem Goldenen Schnitt Mit und somit und für : Goldener Schnitt kann durch den Quotienten zweier aufeinanderfolgenden Fibonacci- Zahlen angenähert werden

25 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.1. Architektur Altes Rathaus in Leipzig Turm teilt die Vorderfront des Rathauses im Goldenen Schnitt

26 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.2. Kunst Raffaels Sixtinische Madonna

27 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.2. Kunst Leonardo da Vincis Mona Lisa

28 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.3. Körper des Menschen Leonardo da Vinci: Ästhetische Proportionen des Menschen, z.B. teilt der Nabel den Menschen im goldenen Schnitt

29 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Goldener Schnitt in anderen Bereichen 8.4. Natur Sonnenblume Blütenstand nach dem Goldenen Schnitt angeordnet optimale Nutzung der Sonnenstrahlen optimale Nutzung der Sonnenstrahlen

30 Der Goldene Schnitt Proseminar für Lehramtskandidaten WS 2006/2007 Christine Reiber Der Goldene Schnitt in der Schule In der 9. Klasse als Mathematische Exkursion (Lambacher Schweizer) Im Lehrplan der 9.Klasse: Reelle Zahlen (irrationale Zahlen) Satz des Pythagoras Strahlensätze Quadratische Gleichungen Ähnliche Figuren Verschiedene Themen des Lehrplans werden im Goldenen Schnitt verarbeitet Anschauliche Verwendung der gelernten Theorie


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