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Kapitel 12 Autokorrelation in den Residuen. Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 2 Der Sachverhalt Modell y = X + u, Ordnung von X: n x k Annahme.

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1 Kapitel 12 Autokorrelation in den Residuen

2 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 2 Der Sachverhalt Modell y = X + u, Ordnung von X: n x k Annahme A6: Var{u} = 2 I Annahme 6 impliziert serielle Unkorreliertheit der Störgrößen: Var{u t, u t+i } = 0, t = 1,…,n, i = ±1, ±2, … In der Realität trifft diese Annahme nicht immer zu; man spricht dann von serieller Korreliertheit oder Autokorrelation der Störgrößen; Var{u} = 2 besitzt von null verschiedene Nicht- Diagonalelemente

3 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 3 Der Sachverhalt Fragestellungen: Konsequenzen von Autokorrelation Möglichkeiten zum Identifizieren von Autokorrelation Alternative Verfahren, die bei Autokorrelation verwendet werden können

4 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 4 Beispiel: Importfunktion MTR: Importe FDD: Nachfrage (aus AWM- Datenbasis ) Importfunktion: MTR = FDD R 2 = 0.977, t FDD = 74.8

5 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 5 Bsp: Importfkt, Forts. - Residuen MTR: Importe FDD: Nachfrage (Q: AWM- Datenbasis) RESID: e t = MTR - ( FDD)

6 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 6 Bsp: Importfkt, Forts. – e t x e t-1 Streudiagramm der um eine Periode verzögerten Residuen [Resid(-1)] über den aktuellen Residuen [Resid] Serielle Korrelation!

7 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 7 Autokorrelation in Zeitreihen Der aktuelle Konsum hängt vom Konsum der Vorperiode ab. Produktion, Investitionen, etc.: I.A. korrelieren aufeinander folgende Beobachtungen positiv. Je kürzer die Beobachtungsintervalle, desto ausgeprägter die Korrelation. Z.B. Konjunkturphasen, Moden im Konsumverhalten. Klimatische Effekte etc. wirken über längere Perioden. Saisonbereinigung: Durch Anwenden von Glättungs- oder Filterungsverfahren sind geglättete Daten korreliert.

8 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 8 Bsp: Importfkt, Forts. – M t x M t-1 Streudiagramm der um eine Periode verzöger- ten Importe MTR(-1) über den aktuellen Importen MTR Korrelationskoeffizient zwischen MTR und MTR(-1):

9 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 9 Typische Situationen für Autokorrelation Autokorrelation tritt typischerweise bei Missspezifikation auf: ein relevanter Regressor ist im Modell nicht berücksichtigt. die funktionale Form eines Regressors ist falsch spezifiziert. die abhängige Variable ist autokorreliert und wird durch den systematischen Teil des Modells nicht adäquat erklärt. die abhängige Variable weist einen Trend auf, der nicht ausreichend erklärt wird. Bei ökonometrischen Analysen muss stets mit Autokorrelation der Störgrößen gerechnet werden!

10 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 10 Typische Situationen für Autokorrelation Autokorrelation der Störgrößen weist generell auf Mängel in der Modellspezifikation hin. Tests auf Autokorrelation sind die am häufigsten verwendete Art des diagnostischen Überprüfens der Modellspezifikation.

11 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 11 Spezifikationen der Importfkt Regression der Importe (MTR) auf Ges Nachfrage (FDD) MTR = -2.27x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = Autokorrelation (der Ordnung 1) in den Residuen: Corr(e t, e t-1 ) = Importfunktion mit Trend (T) MTR = -4.45x FDD – 0.030x10 9 T t FDD = 45.8, t T = -21.0, R 2 = Multikollinearität? Corr(FDD, T) = Importfunktion mit verzögerten Importen als Regressor MTR = x FDD MTR -1 t FDD = 2.89, t MTR(-1) = 50.1, R 2 = 0.999

12 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 12 Autokorrelation der Störgrößen Autokorrelation der Ordnung k: k = Corr{u t, u t-k } Ist sie unabhängig von t: Kovarianz-Stationarität Empirischer Wert r k von k : Kovarianzmatrix Var{u} der Störgrößen Var{u} = 2 = mit = ( st ), = ( st ) mit st = 2 st = 2 |t-s|

13 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 13 AR(1)-Prozess Für alle t gilt: u t = φ u t-1 + ε t, E{ε t } = 0, Var{ε t } = e 2, Corr{ε t, ε t-k }=0 Die ε t haben ein Mittel von 0, konstante Varianz und sind seriell unkorreliert. ε t mit diesen Eigenschaften nennt man weißes Rauschen (white noise). u t folgt einer Autoregression bzw. einem autoregressiven Prozess der Ordnung eins, AR(1), wenn |φ| < 1.

14 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 14 AR(1)-Prozess Auflösen der rekursiven Darstellung nach u t als Funktion vergangener ε : u t = ε t + φε t-1 + φ 2 ε t-2 + … Daraus erhält man für |φ| < 1 Var{u t } = e 2 + φ 2 e 2 + φ 4 e 2 + … = e 2 / (1- φ 2 ) Cov{u t, u t-k } = φ k [ e 2 / (1- φ 2 )] Für |φ| > 1 ist die Varianz der Störgrößen nicht definiert.

15 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 15 AR(1)-Prozess, Forts. Die Kovarianzmatrix Var{u} = e 2 W der Störgrößen ergibt sich zu Var{u} hat Bandstruktur. Var{u} hängt außer von e 2 nur von einem Parameter, von φ, ab.

16 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 16 Autokorrelationsfunktion Autokorrelation der Ordnung k, k = Corr{u t, u t-k }, ist unabhängig von t (Kovarianz-Stationarität). Autokorrelationsfunktion: k mit k = 0,1,2,3,4,… Für |φ| < 1 fällt k mit k geometrisch. 0 = 1. Importe: Die Autokorrelationen fallen nicht geometrisch.

17 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 17 Beispiel: Importe, Forts. Date: 05/15/05 Time: 16:57 Sample: 1970:1 2003:4 Included observations: 136 Autocorrelation Partial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob.|*******|.|*******| |*******|.|. | |*******|.|. | |*******|.|. | |****** | *|. | |****** |.|. | |****** |.|. | |****** |.|. | |***** | *|. | |***** | *|. | |***** | *|. | |**** | *|. |

18 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 18 Konsequenzen von Autokorrela- tion in den Residuen, | j | < 1 Modell: y = X + u Der OLS-Schätzer b für ist erwartungstreu, ist konsistent, hat die Kovarianzmatrix Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 ist nicht effizient, ist unter allgemein erfüllten Bedingungen asymptotisch normalverteilt.

19 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 19 Konsequenzen von Autokorrelation in den Residuen Der Schätzer s 2 = e'e/(n-k) der Varianz der Störgrößen 2 unterschätzt 2 (e: Vektor der OLS-Residuen) Ist u ein AR(1)-Prozess mit φ > 0, werden die Stadardfehler der geschätzten Koeffizienten unterschätzt. Var{b} = 2 (X'X) -1 ist zu klein. t- und F-Tests liefern daher irreführende Ergebnisse.

20 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 20 Tests auf Autokorrelation Graphische Aufbereitung der Residuen gibt oft gute Hinweise auf Vorliegen von Autokorrelation. Tests auf Basis der Residuen: Durbin-Watson-Test Breusch-Godfrey-Test Box-Pierce- / Ljung-Box-Test

21 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 21 Durbin-Watson-Test Das Modell enthält keine verzögerte endogene Variable. Nullhypothese: 1 = 0 Alternative: nicht spezifiziert Teststatistik: Bei positivem 1 wird auch r 1 positiv sein; d liegt im Intervall (0,2). Bei negativem 1 wird d im Intervall (2,4) liegen. Liegt d nahe beim Wert 2, so gibt es keine wesentliche Autokorrelation der Störgrößen. Bei d nahe null oder 4 hohe Korrelation.

22 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 22 Durbin-Watson-Test, Forts. Kritische Schranken für d: Die exakten kritischen Werte hängen von der Matrix X ab. Es gibt untere (d L ) und obere Schranken (d U ) für die kritischen Werte; siehe Tab.G1 d< d L : H 0 wird verworfen d> d U : H 0 wird nicht verworfen d L < d < d U : keine Entscheidung (Unentscheidbarkeitsbereich)

23 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 23 Durbin-Watson-Test, Forts. Kritische Schranken für d bei = 0.05, untere (d L ) und obere Schranken (d U ): siehe auch Tab.G1 n k=2k=3k=10 dLdL dUdU dLdL dUdU dLdL dUdU

24 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 24 Importfunktionen, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Nachfrage (FDD) MTR = -2.27x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = DW-Statistik: d = < 1.69 = d L für n = 136, k = 2 Importfunktion mit Trend (T) MTR = -4.45x FDD – 0.030x10 9 T t FDD = 45.8, t T = -21.0, R 2 = DW-Statistik: d = < 1.68 = d L für n = 136, k = 3 Importfunktion mit verzögerten Importen als Regressor(!) MTR = x FDD MTR -1 t FDD = 2.89, t MTR(-1) = 50.1, R 2 = 0.999, DW: d = 1.079

25 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 25 Durbin-Watson-Test, Forts. DW-Test gibt keinen Hinweis auf Ursachen für ein Verwerfen der Nullhypothese bzw. darauf, wie das Modell zu modifizieren ist. Der DW-Test ist ein Test auf Autokorrelation erster Ordnung. Er entdeckt nicht Autokorrelation vierter Ordnung (vgl. Quartalsdaten). Ursache für Verwerfen der Nullhypothese können verschiedene Arten von Missspezifikation sein. Beschränkte Zahl von kritischen Schranken (k, n, ) und Unentscheidbarkeitsbereich machen DW-Test unhandlich.

26 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 26 Breusch-Godfrey-Test Modell: Y t = x t + u t mit AR(m)-Prozess für u t : u t = φ 1 u t-1 + …+ φ m u t-m + ε t mit weißem Rauschen ε t Der BG-Test testet H 0 : φ i = 0, i = 1, …, m gegen das Nichtzutreffen von H 0 (mindestens ein φ i ist von Null verschieden) Teststatistik: LM(A) = n R e 2 mit dem Bestimmtheitsmaß R e 2 aus der Hilfsregression der Residuen e t auf die k Regressoren des Modells und die verzögerten Residuen e t-1, …, e t-m. Der BG-Test ist ein Lagrange-Multiplier-Test. LM(A) folgt unter H 0 asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit m FGen.

27 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 27 Box-Pierce-Test Wie beim Breusch-Godfrey-Test werden Autokorrelationen bis zur Ordnung m einbezogen. Teststatistik: Es wird keine Struktur der Abhängigkeit der Störgrößen als Alternative vorgegeben (m ist nicht die Ordnung des AR-Prozesses wie beim BG-Test). Unter H 0 folgt Q m asymptotisch der Chi-Quadrat-Verteilung mit m Freiheitsgraden. Die Ljung-Box-Teststatistik

28 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 28 Bsp: Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Nachfrage (FDD) MTR = -2.27x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = DW-Statistik: d = < 1.69 = d L für n = 136, k = 2 BG-Test: LM(A) = BP-Test: Q 12 = Alle 3 Tests verwerfen die Nullhypothese.

29 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 29 Inferenz bei Autokorrelation Wenn die Ursachen der Autokorrelation (Missspezifikation) nicht beseitigt werden können: Verwenden der korrekten Varianzen für Var{b}: FGLS Transformation des Modells, so dass die Störgrößen unkorreliert sind: Cochran-Orcutt Prozedur

30 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 30 HAC-Schätzer für Var{b} Var{b} = 2 (X'X) -1 X' X (X'X) -1 Ersetzen von durch einen geeigneten Schätzer. Newey-West: Ersetzen von S x = 2 (X' X)/n = ( t s ts x t x s )/n mit w j = j/(p+1). p, der truncation lag, geeignet wählen. Der Schätzer n (X'X) -1 Ŝ x (X'X) -1 für Var{b} wird heteroskedasticity and autocorrelation consistent oder HAC-Schätzer genannt. Er berücksichtigt auch Heteroskedastizität.

31 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 31 Bsp: Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Nachfrage (FDD) MTR = -2.27x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = OLS-Schätzer und Standardfehler: Coeff se(Coeff) OLSHAC Interzept-2.27x x x10 9 FDD

32 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 32 Variablen-Transformation Annahme: Störgrößen folgen einem AR(1)-Prozess Bestimmen von L so, dass LL = (Cholesky-Zerlegung):

33 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 33 Variablen-Transformation, Forts. Anwenden der Transformation (Multiplizieren mit L) liefert die Gleichungen Die transformierten Variablen y t * = y t – φy t-1 nennt man auch Quasi-Differenzen der Regressoren. Dabei ist φ z.B. durch einen OLS-Schätzer zu ersetzen der Regression e t = φe t-1 + v t.

34 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 34 Cochrane-Orcutt-Schätzer Der Cochrane-Orcutt-Schätzer läuft für das Modell y = X b + u in folgenden Schritten ab: 1.Schätzen von φ. Berechnen der Quasi-Differenzen. 2.Bestimmen der OLS-Schätzer für und e 2 aus Der Prais-Winsten-Schätzer berücksichtigt zusätzlich die Beobachtung für t=1. Diese Schätzer sind GLS-Schätzer, bzw. FGLS-Schätzer, wenn φ geschätzt wird, was normalerweise der Fall ist.

35 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 35 Regression in Differenzen Bei hoher positiver Korrelation der Regressoren wird es eine geeignete Vorgangsweise sein, für φ den Wert eins zu verwenden. [Faustregel: Das Setzen von φ = 1 ist dann geeignet, wenn die DW-Statistik kleiner als R 2 ist.] Setzen von φ = 1 bedeutet, dass das Modell durch eines in Differenzen ersetzt wird. Das Modell in Differenzen hat dann kein Interzept!

36 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 36 Bsp: Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Nachfrage (FDD) MTR = -2.27x FDD, t FDD = 74.9, R 2 = DW-Statistik: Regression in Differenzen MTR = FDD, t FDD = 16.19, R 2 = DW-Statistik: 1.59; liegt knapp im Verwerfungsbereich Regression in Differenzen mit Interzept MTR = -1.01x FDD, t FDD = 14.47, R 2 = 0.78, DW-Statistik: 1.79 Im Niveau enthält das Modell einen Trend.

37 Hackl, Einführung in die Ökonometrie (12) 37 Bsp: Importfunktion, Forts. Regression der Importe (MTR) auf Nachfrage (FDD) und Trend (T) MTR = -4.45x FDD – 0.03x10 9 T t FDD = 45.81, t T = 21.04, R 2 = 0.995, DW= Regression in Quasi-Differenzen MTR* = FDD*, t FDD* = 28.22, R 2 = DW-Statistik: 1.23; liegt im Verwerfungsbereich Regression in Quasi-Differenzen MTR* = FDD*, t FDD* = 25.07, R 2 = DW-Statistik: 1.96; liegt im Annahmebereich


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