Plenum Ganzrationale Funktionen

Präsentation zum Thema: "Plenum Ganzrationale Funktionen"—  Präsentation transkript:

1 Plenum Ganzrationale Funktionen
Johannes-Kepler- Gymnasium Ganzrationale Funktionen Hinweis für den Lehrer: Eingangsfolie. Die Schüler nehmen Platz

2 Heute im Angebot Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen
Lernangebot Heute im Angebot Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen Praktische Übungen zum Erkennen von ganzrationalen Funktionen. Kurvenverlauf von ganzrationalen Funktionen Die Folie erklärt sich selbst.

3 Volumen einer Schachtel
Einstiegsbeispiel Volumen einer Schachtel 21 - 2x Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x Hinweise für den Lehrer: Auf die Definitionsmenge eingehen, die Schreibweise noch einmal erläutern Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x V(x) = 4x x x Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5}

4 Neue Funktionsterme Terme der Form 4x3 - 102x2 + 630x
Definitionen Neue Funktionsterme Terme der Form anxn + an-1xn a1x + a0 mit n є N und an≠ 0 nennt man Polynome 4x x x -7x5 + 2x3 – 4,2 3x6 –x5 + 6x4 – 9x3 – 88x2 + 10x -7 Der höchste Exponent n heißt Grad des Polynoms. Hinweise für den Lehrer: Die neuen Vokabeln „Grad eines Polynoms“ und „Koeffizient“ besonders eingehen Die reellen Zahlen an bis a0 heißen Koeffizienten.

5 Ganzrationale Funktionen
Definitionen Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm nennt man eine ganzrationale Funktion. Die Folie erklärt sich selbst Der Funktionsterm ist kein Polynom → h ist keine ganzrationale Funktion

6 Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
3.Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x3 - x f(x)= x3 + x2 - 2x -2 Hinweise für den Lehrer: Den Grad der Polynome, die betrachtet werden zu Beginn erwähnen.

7 Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
4.Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x4 - 2x3 - x2 + 2 f(x)= x4 - 3x3 - x2 + 3x Hinweise für den Lehrer: Den Grad der Polynome, die betrachtet werden zu Beginn erwähnen.

8 Ganzrationale Funktionen unter der Lupe
5.Grades unter der Lupe Ganzrationale Funktionen unter der Lupe f(x)= x5 - x3 f(x)= -x5 + 1,27x3 – 0,15x2 + 0,237 Hinweise für den Lehrer: Den Grad der Polynome, die betrachtet werden zu Beginn erwähnen.

9 Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen
Direkter Vergleich Direkter Vergleich Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen aus der Nähe aus der Ferne f(x)= x3 g(x)= x3 - x f(x)= x4 g(x)= x4 - 2x3 – x2 +2 Die Folie erklärt sich selbst.

10 f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn a1x + a0 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n wird für x  ∞ bzw. x  - ∞ vom Summanden anxn bestimmt. Ist an > 0 und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Hinweise für den Lehrer: Erwähnen, dass die Beschreibungen „aus der Nähe“ und „aus der Ferne“ mathematisch nicht exakt formuliert sind. Ist an < 0 und n gerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞.

11 f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Kurvenverlauf f(x) = anxn + an-1xn a1x + a0 Ist an > 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  - ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  + ∞. Ist an < 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x  - ∞ gilt: f(x)  + ∞. für x  + ∞ gilt: f(x)  - ∞. Siehe Folie 10

12 Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting - Beispiel Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x f(x) = -x4 +3x3 +x2 -3x Hinweise für den Lehrer: 4 bis 6 Schüler kommen nach vorn und spielen „Kurvenverlauf“. Die Blickrichtung für die pantomimische Darstellung des Kurvenverlaufs muss in Richtung Tafel gehen.

13 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 1A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

14 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 1B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x5 +3x4 –7x Die Lösung wird angezeigt.

15 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 2A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

16 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 2B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x4 –7x5 +x2 Die Lösung wird angezeigt.

17 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 3A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

18 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 3B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x2 -x3 +4x4 -10x5 +x6 -x7 +x8 Die Lösung wird angezeigt.

19 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 4A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x x3 +580x x Hinweise für den Lehrer: Die Schüler haben kurz Zeit sich zu entscheiden.

20 Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar
Casting 4B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x6 –50x5 +75x x3 +580x x Die Lösung wird angezeigt.

21 Punktsymmetrie zum Ursprung:
Achsensymmetrie zur y-Achse: zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert f(-x) = f(x) Hinweise für den Lehrer: Übungen zu f(-x) = f(x) und f(-x) = - f(x) müssen im Unterricht folgen. Punktsymmetrie zum Ursprung: die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen f(-x) = -f(x)

22 Symmetrie – einfach zu erkennen
Gerade/Ungerade Symmetrie – einfach zu erkennen Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr schnell. f(x)= -3x6 + 5x2 g(x)= x x78 – 77 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade. Die Folie erklärt sich selbst. h(x)= 4x7 - 5x3 + 9x k(x)= -22x x91 Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade.

23 Die drei Fragen Erkläre die Begriffe: „ Polynom“ und „ganzrationale Funktion“. Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen? Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen? Die Folie erklärt sich selbst.

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