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Ganzrationale Funktionen 2005 - 2006 Mathematik Jahrgangsstufe 11 Johannes-Kepler- Gymnasium Ganzrationale Funktionen Plenum Ganzrationale Funktionen.

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1 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Johannes-Kepler- Gymnasium Ganzrationale Funktionen Plenum Ganzrationale Funktionen

2 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Lernangebot Heute im Angebot 1.Ein neuer Funktionstyp: Ganzrationale Funktionen 2.Praktische Übungen zum Erkennen von ganzrationalen Funktionen. 3.Kurvenverlauf von ganzrationalen Funktionen

3 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Term zur Volumenberechnung : (30-2x)(21-2x)x Einstiegsbeispiel Volumen einer Schachtel Funktion zur Volumenberechnung in Abhängigkeit von x V(x) = 4x x x Definitionsmenge D = {x| x є R, 0< x < 10,5} x

4 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Definitionen Neue Funktionsterme 4x x x -7x 5 + 2x 3 – 4,2 3x 6 –x 5 + 6x 4 – 9x 3 – 88x x -7 Terme der Form a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 mit n є N und a n 0 Polynome nennt man Polynome n Grad Der höchste Exponent n heißt Grad des Polynoms. a n a 0 Koeffizienten. Die reellen Zahlen a n bis a 0 heißen Koeffizienten.

5 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Definitionen Ganzrationale Funktionen Eine Funktion f mit einem Polynom als Funktionsterm ganzrationale Funktion nennt man eine ganzrationale Funktion. Der Funktionsterm ist kein Polynom h ist keine ganzrationale Funktion

6 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 3.Grades unter der Lupe f(x)= x 3 - x f(x)= x 3 + x 2 - 2x -2

7 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 4.Grades unter der Lupe f(x)= x 4 - 2x 3 - x f(x)= x 4 - 3x 3 - x 2 + 3x

8 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Ganzrationale Funktionen unter der Lupe 5.Grades unter der Lupe f(x)= x 5 - x 3 f(x)= -x 5 + 1,27x 3 – 0,15x 2 + 0,237

9 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Direkter Vergleich PotenzfunktionenganzrationaleFunktionen Potenzfunktionen - ganzrationale Funktionen f(x)= x 3 g(x)= x 3 - x Direkter Vergleich aus der Nähe f(x)= x 4 g(x)= x 4 - 2x 3 – x 2 +2 aus der Ferne

10 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Kurvenverlauf f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0 Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion f vom Grad n a n x n wird für x bzw. x - vom Summanden a n x n bestimmt. a n > 0 n gerade Ist a n > 0 und n gerade so folgt für f(x): für x - gilt: f(x) +. für x + gilt: f(x) +. a n < 0 n gerade Ist a n < 0 und n gerade so folgt für f(x): für x - gilt: f(x) -. für x + gilt: f(x) -.

11 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Kurvenverlauf a n > 0 n ungerade Ist a n > 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x - gilt: f(x) -. für x + gilt: f(x) +. a n < 0 n ungerade Ist a n < 0 und n ungerade so folgt für f(x): für x - gilt: f(x) +. für x + gilt: f(x) -. f(x) = a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0

12 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting - Beispiel C asting: Deutschland sucht den K urvenstar Deutschland sucht den K urvenstar f(x) = -x 4 +3x 3 +x 2 -3x

13 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 1A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x 5 +3x 4 –7x

14 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 1B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 2x 5 +3x 4 –7x

15 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 2A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x 4 –7x 5 +x 2

16 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 2B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 7x 4 –7x 5 +x 2

17 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 3A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x 2 -x 3 +4x 4 -10x 5 +x 6 -x 7 +x 8

18 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 3B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 10 -x +x 2 -x 3 +4x 4 -10x 5 +x 6 -x 7 +x 8

19 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 4A Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x 6 –50x 5 +75x x x x

20 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Casting 4B Casting: Deutschland sucht den Kurvenstar f(x) = 5x 6 –50x 5 +75x x x x

21 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Symmetrie Achsensymmetrie zur y-Achse: zu –x und zu x gehört derselbe y-Wert Punktsymmetrie zum Ursprung: die zu –x und zu x gehörige y-Werte unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen f(-x) = f(x) f(-x) = -f(x)

22 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Gerade/Ungerade Symmetrie – einfach zu erkennen geradenHochzahlen achsensymmetrisch zur y-Achse Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit geraden Hochzahlen, so ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse. gerade Solche ganzrationalen Funktionen heißen gerade. Bei ganzrationalen Funktionen erkennt man eine vorhandene Symmetrie sehr schnell. ungeradenHochzahlen punktsymmetrisch zum Ursprung Enthält der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen mit ungeraden Hochzahlen, so ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung. ungerade Solche ganzrationalen Funktionen heißen ungerade. f(x)= -3x 6 + 5x 2 g(x)= x x 78 – 77 h(x)= 4x 7 - 5x 3 + 9x k(x)= -22x x 91

23 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Die drei Fragen 1.Erkläre die Begriffe: Polynom und ganzrationale Funktion. 2.Welchen Verlauf haben die Graphen der ganzrationalen Funktionen im Vergleich zu den Potenzfunktionen? 3.Wie erkenne ich, welche dieser Funktionen Symmetrieeigenschaften besitzen?

24 Ganzrationale Funktionen Mathematik Jahrgangsstufe 11 Aufgaben Stunde12 BASIC´sLS11 Seite 91: A 3 Seite 91: A 4 Seite 91: A 5 LS11 Seite 93: A 2 A 3 TOP´sLS11 Seite 99: A 4LS11 Seite 93: A 4 A 5 LS11 Seite 99: A 8 LS11 Seite 93: A 7


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