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1 Hamilton-Pfad in Gittergraphen ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen bei Prof. Rote Von Stephanie Wilke Am 31.10.07.

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1 1 Hamilton-Pfad in Gittergraphen ist NP-vollständig Seminar über Algorithmen bei Prof. Rote Von Stephanie Wilke Am

2 2 Überblick Definitionen Teilprobleme Das Hamilton-Pfad Problem ist NP-vollständig

3 3 Definitionen Hamilton-Pfad Problem Ein Hamilton-Pfad in einem ungerichteten Graphen ist ein Pfad, der jeden Knoten genau einmal enthält

4 4 Definitionen Ein Grittergraph ist ein Graph G[w,h] mit Breite w + 1 und Höhe h + 1 definiert als der Graph mit der Knotenmenge V = {0,...,w} × {0,..., h} und der Kantenmenge E wobei E = {{(x, y), (x, y)} V | |x x| + |y y| = 1} ist. w+1 h+1(x,y)

5 5 Definitionen x, y sind die Koordinaten eines Knotens v Ein Knoten ist gerade, wenn x + y Ξ 0 (mod 2) ist s,t є G sind verschiedene Knoten von G

6 6 Definitionen planar bipartiter Graph B = ((V 0 V 1 ), E) mit dem Grad 3 V 0, V 1 є V x1x1 x2x2 x3x3 y1y1 y2y2 y3y3 V0V0 V1V1

7 7 Definitionen NP-vollständig Ein Problem heißt NP-vollständig, g.d.w. es 1.in NP liegt Mit festlegen eines Zeugen 2.und NP-schwer ist Ein Problem L heißt NP-schwer, g.d.w. L p L für alle L є NP

8 8 Überblick Definitionen Teilprobleme Das Hamilton-Pfad Problem ist NP-vollständig

9 9 Teilprobleme 1. Umwandlung eines planaren bipartiten Graphen B in einen Gittergraphen G Mit Hilfe einer Funktion, die paritätserhaltende Einbettung erzielt diese Umwandlung wird nur abstrakt dargestellt 2. Erstellen eines Clusters und 3. Erstellen von Streifen und daraus Tentakel

10 10 Teilprobleme 1 Mit dieser Funktion, kann man in polynomieller Zeit einen planaren bipartiten Graphen B in einen Gittergraphen G umwandeln Funktion 1. alle Knoten von V 0 werden auf gerade Knoten von G abgebildet 2. die Knoten von V 1 werden auf ungerade Knoten von G abgebildet 3. die Kanten von B werden in Wege in G dargestellt wobei die Knoten nur zu einem Weg gehören dürfen

11 11 Teilprobleme 1 x1x1 x2x2 x3x3 y1y1 y2y2 y3y3 Funktion x2x2 y2y2 y3y3 x1x1 y1y1 x3x3

12 12 Teilprobleme 1 Lemma 1: Wenn B ein planarer bipartiter Graph mit n Knoten und Grad 3 ist, kann man in polynomieller Zeit einen Gittergraphen erstellen.

13 13 Teilprobleme 2 Aus jedem Knoten von B wird ein 9–Cluster erstellt Lemma 2: Jedes 9–Cluster hat einen Hamilton-Pfad, für alle 1i

14 14 Teilprobleme 2 e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 s t e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 s t e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 s t e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 s t e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 s t e1e1 e2e2 e3e3 e4e4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 st

15 15 Teilprobleme 3 Ein Streifen ist ein rechteckiger Graph, der über seine Länge und Breite definiert ist Ein Tentakel T beschreibt einen Weg in einem Gittergraphen, wobei die Kanten in diesem Weg aus Streifen bestehen

16 16 Teilprobleme 3 Die Tentakel können entweder mit einem Rückkehrpfad durchlaufen werden oder mit einem Zickzackpfad

17 17 Teilprobleme 3 Lemma 3: Wenn s und t zwei verschiedene Eckknoten von Tentakel T sind, dann hat T einen Hamilton-Pfad, sobald die Koordinaten von s und t unterschiedliche Paritäten haben. s=(0,1) t=(7,0) s=(0,1) t=(6,0)

18 18 Teilprobleme 3 (0,6) (1,6) (0,6)

19 19 Überblick Definitionen Teilprobleme Das Hamilton-Pfad Problem ist NP-vollständig

20 20 Vorgehensweise Vorausgesetzt wird, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen NP– vollständig ist. Das Hamilton-Kreis Problem ist auch für Gittergraphen NP–vollständig. Umwandlung eines planaren bipartiten Graphen in einen Gittergraphen in polynomieller Zeit Das Hamilton-Kreis Problem ist NP-vollständig, also ist auch das Hamilton-Pfad Problem NP-vollständig durch die Reduktion vom Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen auf das Hamilton-Pfad Problem für Gittergraphen

21 21 NP–vollständig Theorem: Das Hamilton-Kreis Problem ist für Gittergraphen NP-vollständig.

22 22 Voraussetzung Wir gehen davon aus, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen B mit dem Grad 3 NP–vollständig ist. Wir konstruieren einen Gittergraphen G, so dass G genau dann einen Hamilton-Kreis enthält, wenn B einen Hamilton-Kreis enthält y1y1 y2y2 y3y3 x1x1 x2x2 x3x3 s V0V0 V1V1

23 23 Umwandlung mit Teilproblem 1 Um zu zeigen, dass das Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen NP–vollständig ist, wird in polynomieller Zeit ein planarer bipartiter Graph in einen Gittergraph umgewandelt. x1x1 x2x2 x3x3 y1y1 y2y2 y3y3 Funktion x2x2 y2y2 y3y3 x1x1 y1y1 x3x3

24 24 Umwandlung mit Teilproblem 2 Wir erzeugen aus dem Gittergraphen G 1 einen Gittergraphen G 9 indem wir die Größe (die Anzahl der Knoten) von G 1 mit 9 multiplizieren. Dadurch hat jeder Knoten von B ein entsprechendes 9–Cluster G 9 x1x1 y1y1 x3x3 x2x2 y2y2 y3y3

25 25 Umwandlung mit Teilproblem 3 Und die Kanten von B werden durch Tentakel simuliert x1x1 y1y1 x3x3 x2x2 y2y2 y3y3

26 26 Umwandlung mit Teilproblem 3 Dabei muss man darauf achten, wie die Tentakel an die 9-Cluster angehängt werden Annahme es gibt eine Kante k von v nach u in G, mit v є GERADE und u є UNGERADE Wenn k den geraden Knoten v unten verlässt, dann wird der Tentakel wie in der Abbildung verbunden andere Fälle durch Drehen symmetrisch v u

27 27 Umwandlung mit Teilproblem 3 mit dem ungeraden Knoten u wird der Tentakel wie in der Abbildung dargestellt verbunden andere Fälle durch Drehen symmetrisch v u

28 28 Beweis => B hat einen Hamilton-Kreis => G hat einen Hamilton-Kreis Ein Hamilton-Kreis von G wird wie folgt konstruiert: Die Kanten, die zum Hamilton-Kreis von B gehören, werden für den Hamilton-Kreis in G durch Tentakel mit Zickzackpfaden abgedeckt Alle anderen Kanten werden in G durch Tentakel mit Rückkehrpfaden abgedeckt Die Knoten (9-Cluster) des Gittergraphen können, wie vorher im Lemma 2 gezeigt, verbunden und durchlaufen werden

29 29 Beweis => y1y1 y2y2 y3y3 x1x1 x2x2 x3x3 s s

30 30 Beweis <= B hat einen Hamilton-Kreis <= G hat einen Hamilton-Kreis Jeder Tentakel aus B wird in G entweder durch einen Zickzackpfad oder einen Rückkehrpfad abgedeckt Aus der Konstruktion der Tentakel folgt: Der Hamilton-Kreis in B besteht nur aus Kanten, deren zugehörige Tentakel in G mit Zickzackpfaden abgedeckt sind Dieser Kreis ist ein Hamilton-Kreis, weil jedes 9-Cluster nur dann zum Hamilton-Kreis gehören kann, wenn es genau zwei Zickzackpfade verbindet

31 31 Beweis Durch den Beweis in beide Richtungen ist gezeigt, dass das Hamilton-Kreis Problem für planare bipartite Graphen polynomialzeitreduzierbar auf das Hamilton-Kreis Problem für Gittergraphen ist.

32 32 Hamilton-Kreis Hamilton-Pfad Bisher: Hamilton-Kreis für planare bipatite Graphen ist NP- vollständig Umwandlung in Gittergraph Hamilton-Kreis Hamilton-Pfad: Wenn G ein Gittergraph mit Hamilton-Kreis ist, der keine Knoten mit Grad < 2 hat, muss ein Eckknoten s existieren mit Grad = 2, und t ein Nachbar von s sein Das Hamilton-Pfad Problem für G hat genau dann eine Lösung, wenn G einen Hamilton-Kreis hat

33 33 Danke!


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