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Fachwerke Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello. © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. In.

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Präsentation zum Thema: "Fachwerke Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello. © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. In."—  Präsentation transkript:

1 Fachwerke Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello

2 © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. In diesem Abschnitt geht es um: Inhalt der Vorlesung © Prof. Dr. Remo IannielloFachwerke Begriffe rund um Fachwerke Das Knotenpunkt-Verfahren Das Verfahren nach Cremona Das Ritter-Schnitt-Verfahren Das Culmann-Verfahren Folie 2 © Prof. Dr. Remo Ianniello 2. Teil 1. Teil

3 Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Begriffe Folie 3

4 Linien-Tragwerke Linientragwerke, kurz „Träger“, sind Bauteile, deren Durchmesser sehr viel kleiner ist als die Länge. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr miteinander verbundenen Balken zusammengesetzt sind, werden als Rahmen bezeichnet. Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse (Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab. Beansprucht man einen Träger quer zu seiner Achse, so nennt man ihn einen Balken. Ein gekrümmter Balken heißt Bogen. Folie 4 © Prof. Dr. Remo Ianniello

5 Flächen-Tragwerke Bei den Flächentragwerken unterscheidet man Scheiben, Platten und Schalen: Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 5 Eine Platte ist auch eben, die Kräfte wirken aber senkrecht zu ihr. Merkbild: Schallplatte Eine Schale ist ein einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige Kräfte übertragen kann. Merkbild: Eierschale Eine Scheibe ist ein ebenes Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner Ebene zu übertragen hat. Merkbild: Trennscheibe Eine Verbindung von Stäben kann ebenfalls „Scheibe“ genannt werden. © Prof. Dr. Remo Ianniello

6 Fragen Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 6 1)Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das? Linien- und Flächentragwerke 2)Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ? „Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht. 3)Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“ und einem „Bogen“? Ein Bogen ist ein gebogener Träger, ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger. 4)Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden, wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet? „Scheibe“ 5)Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“ und einer „Scheibe“ ? Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht, eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche. Fragen © Prof. Dr. Remo Ianniello

7 Quiz Begriffe Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 7 Ein Fachwerk ist eine Konstruktion aus… Trägern, Stäben, Stangen soll Lasten, Spannungen, Momente aufnehmen. hat weniger Volumen, Stabilität, Material als ein entsprechender Massivträger. Dimensionierung der Stäbe Die Stabkräfte ermittelt man aus den … äußeren Kräften (Lager + Lasten), Abmessungen (Längen + Durchmesser) Gleichgewichtsbedingungen © Prof. Dr. Remo Ianniello

8 Kräfte Äußere Kräfte Lasten, die von außen einwirken, z.B. eine Lagerkraft (wie F A ) oder eine aufgeprägte Kraft (wie F 1 ). Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8 Innere Kräfte Zug- oder Druckkraft, die vom Stab übertragen wird. © Prof. Dr. Remo Ianniello

9 Beschriftung Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 9 Stablinien = gezeichneter Stab  arabische Ziffern: 1, 2, 3 … Knoten(punkte) = Schnittpunkte der Stablinien  römische Ziffern: I, II, III … Merke: Alle äußeren Kräfte werden auf die Knoten verteilt © Prof. Dr. Remo Ianniello

10 Quiz Nullstab Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 10 „Nullstäbe“ Es ist ratsam, vor der eigentlichen Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe hin zu untersuchen, denn sie können bei der Berechnung weg­gelassen werden. Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug- noch Druckkräfte enthalten. Sie sind jedoch in der Praxis notwendig:  zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe oder  zur Verhinderung von Durchbiegungen. © Prof. Dr. Remo Ianniello

11 Quiz Nullstab Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 11 Regel 1: An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe. Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu? Regel 2: An einem belasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab. Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab. F F F © Prof. Dr. Remo Ianniello

12 Quiz Nullstäbe Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 12 [Quelle: Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor? © Prof. Dr. Remo Ianniello

13 Quiz Begriffe Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello 13 Was meinen Sie? Welche Nullstäbe gibt es in diesem Fachwerk? [s.a. Tutorial auf https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY]https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY] © Prof. Dr. Remo Ianniello

14 Aufgabe Begriffe Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 14 Wo sind Nullstäbe an dem Fachwerk in der Skizze? Boden-Wand-FW © Prof. Dr. Remo Ianniello

15 Fragen Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 15 1)Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben. 2)Was ist der Vorteil eines Fachwerks? Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger. 3)Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes? Nach der Größe seiner Stabkraft. 4)Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ? Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe, Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien. 5)Römische Ziffern an einer Fachwerk-Skizze bezeichnen …? die Knotenpunkte 6)Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft. 7)Wie behandelt man äußere Kräfte, die quer an der Mitte eines Stabes angreifen? Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen. Fragen © Prof. Dr. Remo Ianniello

16 Quiz instabil statisch bestimmt statisch unbestimmt Statische Bestimmtheit Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 16 Ein Fachwerk kann instabil sein (zu wenig Stäbe), oder statisch bestimmt sein (alle Kräfte sind bestimmbar) oder statisch unbestimmt sein (mehr Stäbe als notwendig da). © Prof. Dr. Remo Ianniello

17 Statische Bestimmtheit Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 17 Erstellbare Gleichungen: Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣF x =0, ΣF y =0 k Knoten liefern 2k Gleichungen. Unbekannte Kräfte: Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1 Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2 Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s Das Abzählkriterium für statische Bestimmtheit lautet: 2k = 3+s Statische Bestimmtheit ermitteln: Anzahl an vorhandenen Gleichungen Anzahl an unbekannten Kräften Vergleich © Prof. Dr. Remo Ianniello

18 Quiz Statische Bestimmtheit Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18 2 k = 3 + s 2·4 > > 7 instabil 2 k = 3 + s 2·4 = = 8 statisch bestimmt 2 k = 3 + s 2·4 < < 9 statisch unbestimmt Drei Fachwerke Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw. statische Bestimmtheit der abgebildeten drei Fachwerke - mit Begründung. © Prof. Dr. Remo Ianniello

19 Statische Bestimmtheit Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 19 zur Erinnerung: © Prof. Dr. Remo Ianniello

20 Statische Bestimmtheit Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 20 Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn: Dreieckige Fachwerke erfüllen immer s = 2k - 3 © Prof. Dr. Remo Ianniello

21 Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 21 zeichnerischanalytisch ganzes FWCremona- Plan Knotenpunkt- Verfahren lokalCulmann- Verfahren Ritterscher Schnitt © Prof. Dr. Remo Ianniello

22 Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22 Knotenpunkt- Verfahren

23 Knotenpunkt-Verfahren „Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“: 1)Knoten (I, II,..) und Stäbe (1, 2,...) nummerieren 2)Statische Bestimmtheit kontrollieren 3)Nullstäbe kennzeichnen 4)Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. 5)Freischnitt um ersten Knoten; dabei alle unbekannten Stabkräfte zunächst als Zugkräfte annehmen. 6)Zerlegung der Stabkräfte in ihre Komponenten 7)Kräfte-Bilanzen erstellen. 8)Ergebnis-Tabelle erstellen: Kräfte in Zug-Stäben positiv, Kräfte in Druck-Stäbe negativ kennzeichnen Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 23 Wird bei allen Verfahren durchgeführt. © Prof. Dr. Remo Ianniello

24 Aufgabe Knotenpunkt-Verfahren Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 24 Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt- Verfahren zu berechnen. Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 m F Ax = 5 kN F Ay = 15 kN F B = 20 kN Kran © Prof. Dr. Remo Ianniello

25 Aufgabe Knotenpunkt-Verfahren Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25 Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt- Verfahren zu berechnen. Gegeben: F 1 = F 2 = F 3 = 10 kN Boden-Wand-FW © Prof. Dr. Remo Ianniello

26 Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 26 Cremona-Plan

27 Cremona-Plan „Rezept: Cremona-Plan“: 1)Knoten (I, II,..) und Stäbe (1, 2,...) nummerieren 2)Statische Bestimmtheit kontrollieren 3)Nullstäbe kennzeichnen 4)Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. 5)Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen 6)Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan; nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen. 7)Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren. 8)Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt an, ob ein Zug- oder Druckstab vorliegt. 9)Stabkraft-Tabelle mit Kennzeichnung von Zug- (+) bzw. Druck-(-) Stäben erstellen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 27 Wird bei allen Verfahren durchgeführt. © Prof. Dr. Remo Ianniello

28 Aufgabe Cremona-Plan Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 28 Ein Fachwerk wird mit den Kräften F 1, F 2 und F 3, sowie F A und F B nach Skizze belastet. Alle Stabkräfte sollen mit Hilfe des Cremona-Plans ermittelt werden. Brücke © Prof. Dr. Remo Ianniello

29 Cremona-Plan 1)Stäbe und Knoten sind nummeriert. 2)Das Fachwerk ist statisch bestimmt. 3)Es gibt keine Nullstäbe. 4)Lagerkräfte: F A = 5,75 kN, F B = 6,25 kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 29 Lageplan Kräfteplan FAFA 2, Zugstab 1, Druckstab Knoten mit max. 2 unbekannten Stab- kräften aussuchen Drehsinn festlegen (mit bekannter Kraft beginnen) Wirklinie der - nach dem Drehsinn - nächsten Kraft zeichnen Wirklinie der nächsten Kraft (nach dem Drehsinn) in den Kräfteplan ziehen Hier enden Hier fortfahren © Prof. Dr. Remo Ianniello

30 Cremona-Plan Den ersten Kräfteplan behalten. Dann den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten II Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie FAFA Lageplan im Drehsinn mit bekannten Kräften starten Kräfteplan F1F1 hier weiter machen hier enden © Prof. Dr. Remo Ianniello

31 Cremona-Plan Kräfteplan beibehalten. Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten III Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie FAFA im Drehsinn mit bekannten Kräften starten Kräfteplan 6+ hier weiter machen hier enden © Prof. Dr. Remo Ianniello

32 Cremona-Plan Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten IV Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie FAFA im Drehsinn mit bekannten Kräften starten Kräfteplan 6+ hier weiter machen hier enden zur Lösung F2F © Prof. Dr. Remo Ianniello

33 Cremona-Plan Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 33 © Prof. Dr. Remo Ianniello

34 Aufgabe Cremona-Plan Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 34 Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Cremona-Plan zu berechnen. Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 m Kran zur Lösung © Prof. Dr. Remo Ianniello

35 Cremona-Plan Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 35 © Prof. Dr. Remo Ianniello

36 Aufgabe Cremona-Plan Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 36 Fachwerkträger Für den skizzierten Fachwerkträger sind die Stabkräfte zeichnerisch nach dem Cremona- Verfahren zu bestimmen.

37 Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 37 Ritter-Schnitt- Verfahren

38 Ritterscher Schnitt nicht ein Knoten, sondern mehrere Stellen Ansatz: Nicht nur Kräftebilanz, sondern auch Momentenbilanz. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 38 mehrere Stellen ΣM = 0 Was ist das Verfahren nach Ritter? Georg Dietrich August Ritter (*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher Professor für Mechanik und für Astrophysik. Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung von Stabkräften in Fachwerken. © Prof. Dr. Remo Ianniello

39 Ritterscher Schnitt Ein Ritterscher Schnitt muss entweder durch drei Stäbe, die nicht alle demselben Knoten angehören, gehen oder durch einen Knoten und einen Stab Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 39 Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile. Für jeden Teilkörper gelten die drei GGW- Bedingungen → Σ F x, Σ F y und Σ M = 0.  drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar. © Prof. Dr. Remo Ianniello Wie berechnet man nach Ritter?

40 Aufgabe Ritterscher Schnitt Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 40 Bestimmen Sie die Stabkräfte S 4 = - 5,75 kN, S 5 = -2,47 kN und S 6 = +7,5 kN nach dem Ritterschen Schnitt-Verfahren. Brücke © Prof. Dr. Remo Ianniello

41 Aufgabe Ritterscher Schnitt Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 41 Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen Schnittverfahren die Stabkräfte S 10 = -30 kN, S 11 = -27,4 kN, S 12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN Ausleger © Prof. Dr. Remo Ianniello

42 Aufgabe Ritterscher Schnitt Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 42 Kleine Ritter-Brücke Bestimmen Sie die Kraft in den Stäben GE, GC und BC des Fachwerks und geben Sie an, ob die Stäbe unter Zug oder unter Druck stehen. F 1 = 400 N, F 2 = N, h = 3 m, l = 4 m.

43 Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 43 Culmann- Verfahren

44 Culmann-Verfahren Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S 10 = -30 kN, S 11 = -27,4 kN, S 12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 44 Man benötigt zwei Kräftepaare – daher werden die drei einzelnen Kräfte F zu einer Resultierenden 3 F zusammen gefasst. Wirklinien der Kräftepaare einzeichnen Schnittpunkte markieren und verbinden Ausleger © Prof. Dr. Remo Ianniello

45 Culmann-Verfahren Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S 10 = -30 kN, S 11 = -27,4 kN, S 12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 45 Ein Parallelogramm mit der bekannten Kraft......liefert S 10 und damit auch R 1 S 10 R1R1 R 1 hat eine gleich große, entgegen gesetzte Resultierende R 2 Ein Parallelogramm der unbekannten Kräfte mit R 2 liefert die fehlenden Beträge S 12 S 11 Ausleger © Prof. Dr. Remo Ianniello

46 Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 46

47 Aufgabe Knotenpunkt-Verfahren Fachwerke© Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 47 Brücken-FW Lösung: S 1 = -5,75 kN S 2 = 8,13 kN S 3 = -4 kN S 7 = -1,77 kN S 8 = -6,25 kN S 9 = -5 kN S 10 = 8,84 kN S 11 = -6,25 kN S 4 = - 5,75 kN S 5 = -2,475 kN S 6 = 7,5 kN Lösung Ein Fachwerk wird mit den äußeren Kräften F 1, F 2, F 3, sowie F A und F B belastet. Die Stabkräfte ("innere Kräfte") S 1 bis S 8 sollen mit Hilfe des Knotenpunkt-Verfah- rens ermittelt werden. © Prof. Dr. Remo Ianniello


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