Interpretation des Simplex

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1 Interpretation des Simplex
entnommen aus: Stepan, Adolf: Betriebswirtschaftliche Optimierung : Einführung in die quantitative Betriebswirtschaftslehre / von Adolf Stepan u. Edwin O. Fischer. - 7. Aufl. München ; Wien,: Oldenbourg,  2001. S.223 ff Dominik Stigler

2 Fallbeispiel Fall: 2 Abteilungen 3 Güter
Der Deckungsbeitrag für Produkt1 möge 30 GeldEH je Stück, Produkt2 = 40 GeldEH, Produkt3 = 10 GeldEH. Die verfügbaren Kapazitäten in Abteilung I und Abteilung II betragen 7000 bzw EH. Produkt1 beansprucht je Stück 5 KapazitätsEH in Abteilung I und 4 in Abteilung II. Produkt2: 2 bzw. 3, Produkt3 4 bzw. 2. Von Produkt1 können maximal 1000 Stück, von Produkt2 maximal 2000 Stück abgesetzt werden. Höchstabsatzmenge Produkt3 sei irrelevant.

3 LP max 30*X1 + 40*X2 + 10*X3 bzgl.: I 5*X1 + 2*X2 + 4*X3 <= 7000
II 4*X1 + 3*X2 + 2*X3 <= 8000 III 1*X <= 1000 IV 1*X <= 2000 X1,X2,X3 >=0

4 I Kapazitätsrestriktion I = S1 II Kapazitätsrestriktion II = S2 III Absatzhöchstmenge Produkt1 = S3 IV Absatzhöchstmenge Produkt2 = S4

5 X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 5 2 4 1 7000 3 8000 1000 2000 -30 -40 -10 -2 3000 -3 40 80000 1 1/2 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 7 1/2 17 1/2 95000

6 Produkt3 ist nicht im Produktions-Programm aufgenommen.
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 1 1/2 1 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 2 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 2000 5 7 1/2 17 1/2 95000 Produkt3 ist nicht im Produktions-Programm aufgenommen. Gesamtdeckungsbeitrag würde um 5 sinken, falls 1 EH Produkt3 erzeugt werden würde. Relative Deckungsbeiträge: jener Betrag, um den Bruttogewinn von nichterzeugten Produkt mindestens steigen muss, um in das Produktions-Programm aufgenommen zu werden.

7 Die optimale Menge von Produkt2 bleibt aber konstant
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 1 1/2 1 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 2 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 2000 5 7 1/2 17 1/2 95000 Produktion 1 EH Produkt3 würde Produktion von Produkt1 um ½ EH vermindern. Bei Änderung des Produktionsprogramms: 1 EH Produkt3 statt ½ EH Produkt1, ergibt sich eine Verringerung von ungenutzten Kapazitäten um 1 ½ EH in Stufe I Erhöhung der nichtausgenutzten Höchstabsatzmenge (von Produkt1 – S3) um ½ wenn 1 Produkt3 mehr Die optimale Menge von Produkt2 bleibt aber konstant

8 Der Schattenpreis von nicht ausgenutzten Restriktionen = 0
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 1 1/2 1 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 2 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 2000 5 7 1/2 17 1/2 95000 Grenzerfolg der letzten Restriktionseinheit: Ausmaß der Reduktion des Zielfunktionswert bei Reduktion des entsprechenden b um 1 EH Erhöhung des Bruttogewinns bei Erhöhung der Restriktion um 1 EH = Schattenpreis je EH der Restriktion: gibt an, wie viel maximal für eine Erhöhung der rechten Seite um 1 EH aufgewendet werden darf, ohne dass der Gewinn sich ändert. Kapazitäts-I-Erhöhung um 1 EH  7 ½ - Lockerung der Absatz-Restriktion von Produkt2 um 1 EH  17 ½ - diese möglichen Neukosten könnten z.B.: in Werbekosten investiert werden, um den Absatz zu steigern Der Schattenpreis von nicht ausgenutzten Restriktionen = 0

9 S2: nicht genutzte EH der Kapazität in II
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 1 1/2 1 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 2 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 2000 5 7 1/2 17 1/2 95000 S2: nicht genutzte EH der Kapazität in II Erhöhung von S2 um 1 EH  Verminderung des Bruttogewinns um 7 ½ . Kapazitätsherabsetzung durch: Verminderung Produkt1 um ¼ , Steigerung des unausgenutzten Absatz um ¼ , Erhöhung ungenutzte Kapazität I um 1 1/4 , Produktionsmenge Produkt2 = konstant , da dessen Absetzung höherer Entgang Bruttogewinn  7 ½ : 13 1/3

10 X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 1 1/2 1 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 2 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 2000 5 7 1/2 17 1/2 95000 Erhöhung des ungenutzten Absatz des Produkt2 bzw. Verringerung Höchstabsatzmenge auf 1999 führt zu Verlust von 17 ½ , weil Produktionsmenge des Produkt2 um 1 EH verringert. Andererseits von Produkt1 ¾ EH mehr. Absatz I steigt um ¾ - Kapazitätsauslastung I steigt um 1 3/4

11 Deckungsbeitrag des Produkt i
X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 5 2 4 1 7000 3 8000 1000 2000 -30 -40 -10 1 1/2 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 7 1/2 17 1/2 95000 Bruttogewinn je Produkt bei richtiger Bewertung der Restriktionen aus Summe der mit Schattenpreisen gewichteten Restriktions-Beanspruchungen des Produkts + relativer Deckungsbeitrag. Deckungsbeitrag des Produkt i C1 = 5 * * 7 ½ + 1 * * 17 ½ + 0 = 30 C2 = 2 * * 7 ½ + 0 * * 17 ½ + 0 = 40 C3 = 4 * * 7 ½ + 0 * * 17 ½ - 5 = 10 Es wird das Produktions-Programm gesucht, das die Summe der mit Schattenpreisen gewichteten Restriktionseinheiten minimiert  führt zur Formulierung des dualen Problems.

12 X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 b 5 2 4 1 7000 3 8000 1000 2000 -30 -40 -10 1 1/2 -1 1/4 1 3/4 500 1/2 1/4 - 3/4 - 1/2 - 1/4 3/4 7 1/2 17 1/2 95000 Gewinn ist dort maximal, wo zusätzliche Kosten pro EH gleich den zusätzlichen Erlösen  MC = MR Für nicht ausgenutzte Kapazität I und inaktive Absatzrestriktion von Produkt1: Schattenpreis = 0 7000 * * 7 ½ * * 17 ½ = 95000