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Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT aus einem Vortrag von Melanie Schmidt Uni Dortmund.

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Präsentation zum Thema: "Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT aus einem Vortrag von Melanie Schmidt Uni Dortmund."—  Präsentation transkript:

1 Algorithmen für das Erfüllbarkeitsproblem SAT aus einem Vortrag von Melanie Schmidt Uni Dortmund

2 2/11 Variablen x 1,x 2, x 3, x 4, x 5, x 6 x3x3 ¬x2¬x2 x 5 ()( ¬x 1 ) ( x 1 ¬x 2 x 3 ¬x 4 x 6 ) Problem für 5-SAT Klausel n = Anzahl der Variablen = 6 Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT

3 3/11 Das Erfüllbarkeitsproblem K-KNF-SAT Also: Gegeben ist eine Menge von Klauseln mit jeweils bis zu k Literalen Eine Klausel hat die Form (u 1 u 2 … u l ), l k, wobei u i {x 1,…,x n } {¬x 1,…,¬x n } Gesucht: Eine Belegung der Variablen x 1,…,x n mit Wahrheitswerten {0, 1}, so dass die Auswertung der Formel 1 ergibt.

4 2-SAT Algorithmus in polynomieller Zeit

5 5/11 (¬x 3 ) (x 2 x 3 ) (¬x 1 ¬x 2 ) (x 3 x 1 ) (a b) = (¬a b) 2-SAT Algorithmus (¬x 3 ¬x 3 ) (x 2 x 3 ) (¬x 1 ¬x 2 ) (x 3 x 1 ) (a) = (a a) (a b) = (¬a b) (a b) = (¬b a) X1X1 ¬X2¬X2 ¬X1¬X1 X2X2 X3X3 ¬X3¬X3 ¬X1¬X1 X2X2 X3X3 ¬X3¬X3 X3X3 ¬X3¬X3

6 6/11 2-SAT Algorithmus Eine 2-KNF-Formel ist unerfüllbar im Graphen G F existiert ein Zyklus der Form x i … ¬x i … x i gdw.

7 7/11 Zyklus mit x i und ¬x i dann F unerfüllbar Annahme: Es gibt eine erfüllende Belegung a. Dann muss für a gelten, dass x i =1 und x i =0. Das ist ein Widerspruch.

8 8/11 F unerfüllbar dann existiert Zyklus mit x i und ¬ x i Beweis mit Induktion über n: -n=1. -F muss die Form (x 1 ) (¬x 1 ) haben G F hat einen Zyklus. -n-1 n. -Wähle beliebiges x aus {x 1,…,x n }. -Bilde F x=0 und F x=1 G F x=0 und G F x=1 enthalten Zyklen mit x k und ¬x k -Zeige, dass daraus folgt: G F enthält einen Zyklus mit x i und ¬x i X1X1 ¬X1¬X1

9 9/11 G F enthält einen Zyklus mit x i und ¬x i Trivial: Einer der Zyklen aus G F x=0 und G F x=1 ist auch in G F enthalten Sonst: Zeige, dass es in G F die Verbindungen ¬x … x und x … ¬x gibt es existiert ein Zyklus mit x und ¬x y ¬y¬y¬x¬x¬y¬y xy

10 10/11 Pfade in G F ¬x … x in G F – F enthält (x) – F enthält (x z) G F enthält ¬x z und ¬z x F x=0 enthält nur (z) der Zyklus in G F x=0 enthält ¬z z, G F enthält ¬z z nicht daraus folgt in G F gibt es ¬x z … ¬z x x … ¬x in G F – Analog mit (¬x) sowie F x=1 und G F x=1 ¬x¬x¬z¬z xzz ¬z¬z

11 11/11 Zyklen mit x und ¬x finden als All-Pair-Shortest-Paths– Problem – mit unendlichen Kosten für nichtvorhandene Kanten – für alle x überprüfen: (x,¬x) und (¬x,x) < ? – Laufzeit O(n 3 ) mit Tiefensuche – in stark zusammenhängende Komponenten zerlegen – O(m), m=Anzahl der Klauseln


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