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Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte Liouvillesches Theorem lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) normierte Emittanz Synchrotron Schwingung.

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Präsentation zum Thema: "Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte Liouvillesches Theorem lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) normierte Emittanz Synchrotron Schwingung."—  Präsentation transkript:

1 Liouville, Strahlung und Selbst-Effekte Liouvillesches Theorem lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) normierte Emittanz Synchrotron Schwingung Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung Sektormagnet mit Strahlung Beispiel Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem natürliche Strahlemittanz Selbsteffekte (Raumladung und Wakes)

2 Liouvillesches Theorem lineare Abbildung im Phasenraum: Volumen im Phasenraum: Liouvillesches Theorem: keine Singularitäten, keine Teilchen-Teilchen Streuung, keine inkohärente Synchrotron Strahlung kanonische Koordinaten: mit Volumen im Phasenraum ist invariant symplektische Abbildung T t ST = S für glatte elektromagnetische Felder und kanonische Koordinaten glatte elektromagentische Felder: Lagrange Funktion L und Bewegungsglg. aus Hamilton Funktion

3 Liouvillesches Theorem Beschleuniger Koordinatensind nicht kanonisch! aber die Orts- und Momentum-Koordinatensind es, wenn das Vektorpotential des Magnetfeldes verschwindet; z.B. im feldfreien Raum (Drift) kann das V.p. verschwindend gewählt werden Koordinatentransformation für Drift:

4 Liouvillesches Theorem Phasenraumdichte in Beschleuniger Koordinaten: magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen: für das bisher betrachtete magnetische System bleibt die Phasenraumdichte auch in Beschleuniger Koordinaten erhalten;

5 Liouvillesches Theorem Konsequenz: die Phasenraumdichte kann nicht erhöht werden die Quelle bestimmt die Phasenraumdichte man kann in ein Bucket nur einmal injizieren Bilder aus [K.Wille]

6 erweiterter linearer Formalismus Transport mit zusätzlicher konstanter Anregung kann durch erweiterte Matrix Schreibweise berücksichtigt werden umlaufendes System stationäre Lösung Differenz Lösung dafür gilt wieder die homogene Rekursion wichtig für stationäre Lösung: Invertiebarkeit von I T wichtig für Stabilität: Eigenwerte von T

7 bisher magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen: keine Phasefokusierung; Probleme mit longitudinalem Phasenraum: Momentum-Abweichung wird nicht behoben, akumuliert sich bei konstanter Anregung immer weiter auf; auch ohne Anregung: die Verteilung zerflieβt longitudinal (siehe Übung 6d); wir brauchen: longitudinale Beschleunigung, also RF-Felder und Dämpfung durch inkoheränte Synchrotron Strahlung

8 mit Dämpfung könnte man im Phasenraum akumulieren Bilder aus [K.Wille]

9 lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) gap E(t) g Strahlrohr p1p1 p2p2 relativistische Näherung ( p 1 /m 0 c >>1 ): diskretes (sehr kurzes) Gap mit beschleunigendem Feld: Linearisierung des zeitabhängigen Feldes:

10 lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) gap E(t) g Strahlrohr p1p1 p2p2

11 lineares, diskretes Beschleuniger Modell (Gap) gap E(t) g Strahlrohr p1p1 p2p2 gleiches Referenz-Momentum:angepaβtes Referenz-Momentum:

12 normierte Emittanz relativistische Näherung ( p 1 /m 0 c >>1 ): mit vor dem Gap: dahinter:

13 wir brauchen ein rückstellende Kraft! im linearisierten Modell gibt es nur den Typ Schwingung Synchrotron Schwingung zwei Typen von Lösungen SchwingungRotation separatrix longitudinale Dynamik: Position l und Momentum-Abweichung Phasenfokusierung: zeitharmonisches longitudinales Feld

14 Synchrotron Schwingung magnetisches System, ebene Trajektorie, entkoppelte Ebenen, ein Umlauf: wo ist die Phasenfokusierung gebleiben? wir brauchen ein zeitabhängiges longitudinales Feld: Resonator im Nulldurchgang, denn wir haben noch keine Energie-Verluste horizontale Betatron Schwingung vertikale Betatron Schwingung longitudinale Synchrotron Schwingung Gap im Nulldurchgang vereinfachte Theorie: Kopplung durch D, D, R 51, R 52 vernachlässigt

15 Synchrotron Schwingung Eigenwerte des longitudinalen Systems: mit Frequenz der Synchrotron Schwingung:mit der Umlaufdauer T u im Gegensatz zu den transversalen (Betatron) Schwingungen ist die Wellenlänge groβ gegen die Umlauflänge; (nur ein longitudinaler Kick pro Umlauf!) bei Ringen mit starker Fokussierung enthält der transversale Phasenvorschub ein Vielfaches von 2 ; zur Erinnerung:

16 Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung courtesy T. Shintake

17 Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung retardiertes Teilchen aktuelle Position abgestrahlte Leistung Kausalitätskreise

18 Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung einige runde Maschinen (aus K. Wille)

19 kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung inkohärente Strahlung von N Teilchen: kohärente Strahlung: unabhängig von der Energie aber abhängig von der Bunchlänge voll-kohärent; Bunch strahlt wie ein Teilchen mit der Ladung (Ne)

20 kohärente und inkohärente Synchrotron-Strahlung Bunch Länge abgestrahlte Leistung

21 Sektormagnet mit Strahlung Änderung des longitudinalen Momentums mit, und relative Momentum-Abweichung Referenz Energie

22 Änderung des longitudinalen Momentums konstantes B-Feld: Änderung der relativen Momentum-Abweichung (in 1ter Ordnung) Sektormagnet mit Strahlung

23 die Strahlung ist immer in Vorwärts Richtung; deswegen ändert sich nur die Gleichung für mit das Volumen im Phasenraum ist nicht mehr konstant: das ist eine gute Nachricht, denn wir haben einen Dämpfungsmechanismus gefunden!

24 Dämpfungs Ringe ILC SLC

25 Sektormagnet mit Strahlung einfaches Modell für kurzen Sektormagnet ( L/R <<1 ): erst Sektormagnet ohne Strahlung dann diskrete Verluste längere Magnete durch Stückelung in kurze Magnete

26 stationäre Lösung (siehe auch Übungsaufgabe) kompletter Umlauf Beispiel an einem festen Punkt: z = z 0 stationäre Lösung entlang eines Umlaufs: Momentumverlust in den Magneten Gewinn im Gap

27 dafür gilt wieder die homogene Rekursion (siehe auch Übungsaufgabe) Beispiel an einem festen Punkt: z = z 0 Differenz Lösung 100 Umläufe Synchrotron Schwingung10000 Umläufe Dämpfung Startwert

28 Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem naives Modell: kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlung diskrete Strahlungsveluste des ganzen Umlaufs Ausgleich der Verluste in Gap Energieverlust pro Umlauf E

29 Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem naives Modell: kompleter Umlauf in magnetischem System ohne Strahlung diskrete Strahlungsveluste des ganzen Umlaufs Ausgleich der Verluste in Gap also ist die Dämpfungskonstante für transversale Schwingungen: und für longitundinale Schwingungen:

30 Dämpfung von Orbit Schwingungen, Robinson Theorem das naives Modell ergibt die richtige Dämpfung y für die vertikale Ebene, da diese vollständig von entkoppelt ist; die Gesamtdämpfung x + || für die anderen Ebenen ist auch richtig, doch teilt sie sich anders auf; (siehe Übung 9); das Robinson Theorem beschreibt die Aufteilung der Dämpfungskonstanten: mit und D p der periodischen Dispersion

31 kann die Phasenraumdichte beliebig klein werden? Körnigkeit: Anregung durch Abstrahlung in Photonen (Quanten) Kohärenz: falls die Dichte gro genug ist; dafür gilt wieder Liouville! kann die Phasenraumdichte grö er werden ? Körnigkeit: … Nicht-Linearitäten: zwar bleibt die (lokale) Dichte konstant, doch die (globale) Verteilung nimmt dennoch mehr Raum ein; z.B: Filamentierung

32 Ein-Teilchen Synchrotron-Strahlung courtesy T. Shintake Spektrum der abgestrahlten Leistung kritische Frequenz

33 natürliche Strahlemittanz kritische Frequenz

34 natürliche Strahlemittanz normierte natürliche Strahlemittanz und hängt von der periodischen Dispersion und den periodischen Twiss-Parametern ab

35 Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) Felder = externe Felder + Selbst-Felder 1-Teilchen Dynamikkollektive Effekte Selbst-Felder Raumladungs-EffekteModell = lineare gleichförmige Bewegung Kraft ~ 1/ 2 Wake-FelderWechselwirkung mit geometrischen Objekten (Resonatoren, Strahlrohr,... ) für gleichförmige Bewegung (meist v c) kurze Reichweite: verkoppelt Teilchen im gleichen Paket lange Reichweite: multi-Bunch Effekte (auch beam loading) kohärente StrahlungBewegung auf gekrümmten Bahnen (meist ohne longitudinale Beschleunigung)

36 Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) Wakes

37 Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) Wakes …

38 Selbsteffekte (Raumladung und Wakes) Beam-LoadingStrahl-Strom

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