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TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 2. Mai 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006.

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1 TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Vorlesung am 2. Mai 2006 Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Sommersemester 2006

2 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II ÜBERBLICK 1.Die quantenmechanische Beschreibung von Elektronen 2.Feynman-Regeln und –Diagramme 3.Lagrange-Formalismus und Eichprinzip 3.1 Eichprinzip 3.2 Lagrange-Formalismus 3.3 Masse und Polarisation des Photons 4.QED 4.1 Volle Lagrange-Dichte der QED

3 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II ANMERKUNGEN Zu Aufgabe 7a Paritätstransformation der Dirac- Gleichung: Dirac im EM-Feld: Da die Gleichung an jeder Stelle des Raumes gelten soll: (Beachte Ableitung!) Wie kriege ich das zurück zur Gestalt der Original- Gleichung? Mit folgt: Jetzt Multiplikation von links mit 0 : Einziger Unterschied zum Original: Vorzeichen des Vektorpotentials – aber bei einer echten Raumspiegelung ändert auch das das Vorzeichen (E-Feld tut es, und )! Also lautet die korrekte raumgespiegelte Gleichung: Die Lösung der Dirac-Gleichung transformiert sich also wie … und die Dirac-Gleichung ist forminvariant bei der Ersetzung: Aufgrund der Gestalt von 0 sind die Spinoren der Teilchen sind Eigenzustände der Parität mit Eigenwert +1, die der Antiteilchen mit Eigenwert –1. Explizit

4 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II ANMERKUNGEN Zum Ausdruck:

5 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II WIEDERHOLUNG: DAS EICHPRINZIP Hintergrund: Nur lokal eichinvariante Theorien sind renormierbar (Veltman): Problem bei Dirac-Gleichung: Dirac-Gleichung freier Teilchen ist NICHT invariant: es entsteht ein neuer Term: Man kommt nun von der freien zu einer invarianten Theorie durch Einführung der kovarianten Ableitung anstelle der normalen: … und diese Gleichung ist invariant! Die Forderung lokaler Eichinvarianz erfordert also die Existenz neuer (Eich)Felder (Teilchen) A und beschreibt auch ihre Wechselwirkungen mit den Elektronen.

6 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II Klassische Mechanik: Lagrange-Funktion Euler- Lagrange-Gleichung Bewegungsgleichungen. Lagrange-Funktion: L=L(q, t q) verallg. Koordinaten q, t q. Euler-Lagrange: Beispiel: Punktteilchen: Ergebnis: Newtons Gesetz: Weiteres Beispiel: Harmonischer Oszillator. 3.2 DER LAGRANGE-FORMALISMUS Ausweitung auf Felder (allgemein ): – Verallgemeinerte Koordinaten: L=L(, ). – Lagrange-Funktion Lagrange-Dichte Anmerkung: Wirkung – Euler-Lagrange: Beispiel Klein-Gordon-Gleichung: … es folgt also: … was unserer Definition der Klein-Gordon- Gleichung enstspricht:

7 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II Weiteres Beispiel: Dirac-Gleichung: – Ansatz für Lagrange-Dichte: und sind hier als zwei unabhängige Felder zu betrachten. Zwei Bemerkungen dazu: 1.In der klassischen Mechanik wird die Lagrange- Funktion mithilfe der Vorschrift L=T–V (T–U) gebildet. In der Quantenfeldtheorie werden die Lagrange-Dichten axiomatisch festgesetzt. 2.Die Kenntnis der Lagrange-Dichte erlaubt, mithilfe der verallgemeinerten Variablen (wie oben) oder über Pfadintegrale die Feynman- Regeln der Theorie abzuleiten und damit den dynamischen Teil von Wirkungsquerschnitten zu bestimmen. 3.2 DER LAGRANGE-FORMALISMUS Der Zusammenhang zwischen den Feynman- Regeln und dem Lagrange-Formalismus: 1.Zu jeder Lagrange-Dichte gibt es einen korrespondierenden Satz von Regeln; ordne den Termen der Lagrange-Dichte Propagatoren und Vertexfaktoren zu. 2.Die Propagatoren sind die Terme, die quadratisch in den Feldern sind: 2,, ( ) 2, (i -m), … Die Propagatoren werden durch die Euler-Lagrange-Gleichungen und mithilfe der Störungstheorie abgeleitet. 3.Die anderen Terme werden mit den Vertices in Zusammenhang gebracht und leicht zugeordnet. Beispiel:

8 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II Ein Wort zum Noether-Theorem: Die Forderung, dass eine Lagrangedichte invariant sein soll unter einer (infinitesimalen) Eichtrafo führt zu Erhaltungsgröße (erhaltener Strom): Diese Variation resultiert in Variation der Dichte: Die Forderung der Symmetrie der Physik resultiert in einer Erhaltungsgröße – dem Strom j. 3.2 ZUM NOETHER-THEOREM Da eine Symmetrie bedeutet, dass man eine Größe nicht messen kann (Translationsinvarianz keine absolute Position im Raum!), ist hier Phase nicht messbar. Es ist keine physikalische Größe und kann beliebig gewählt werden. Falls aber an einer Stelle ein Wert fest, dann auch für die gesamte Raumzeit – globale Invarianz!

9 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II EICHPRINZIP IM LAGRANGE-FORMALISMUS Man fordert lokale Eichinvarianz der Lagrange- Dichte unter der Trafo: Aus der Lagrange-Dichte wird: Die Dichte des freien Teilchens ist also nicht invariant! Ausweg: 1. Kovariante Ableitung: 2. Feld A: Die neue Lagrangedichte ist invariant Noch einmal, weil es so toll ist: Das Prinzip der lokalen Eichinvarianz erzwingt die Existenz eines neuen Vektorfeldes und legt gleichzeitig die Form der Wechselwirkung der Teilchen mit dem Feld fest: Kinetischer Term Massen- Term Wechsel- wirkung, Kopplung q Eichinvarianz als dynamisches Prinzip

10 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II PHOTON: MASSE UND POLARISATION Die Wellengleichung des Photons lautet (Lorentz- Eichung): Dieser Ausdruck ist invariant gegenüber der Transformation: Die Wellengleichung eines massiven Vektorbosons oder Feldes W mit Masse M W hingegen … … ist NICHT invariant (rechnen!) – für massive Vektorbosonen gibt es keine Eichinvarianz! Alternativer Weg: Ein Masseterm des Feldes A zerstört Invarianz: Wellengleichung des Photons im Vakuum: Mit dem Ansatz A =N exp(–ikx) (k k =0 für reelle Photonen) ergibt die Lorentz-Bedingung: Der Polarisationsvektor des Photons ist also orthogonal zu seinem Viererimpuls; man kann sogar durch geschickte Eichung erreichen, dass gilt: Das Feld A hat vier Freiheitsgrade (DoF); einer davon wird durch die Lorentz-Eichung festgelegt. Forderung nach Masselosigkeit: noch zwei DoF. Bei festgelegtem Impuls k=(0,0,k): Linear transversal zirkular

11 TSS/RKK SS06: Teilchenphysik II QED: LAGRANGE-DICHTE Die vollständige Lagrange-Dichte der QED (Elektron, Positron, Photon) lautet: Dieser Ausdruck ist invariant unter lokalen U(1)- Eichtransformationen (die Phasentrafos exp(iq ) bilden die unitäre abelsche Gruppe U(1)). Noch mal: Nach dem Noether-Theorem impliziert diese Invarianz die Erhaltung eines Stromes, und zwar des Stromes, dessen Ladung q ist! Kinetischer Term der Photonen Massen- Term der Leptonen Wechsel- wirkung, Kopplung q Kinetischer Term der Leptonen


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