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Mechanische Oszillatoren Das Federpendel. Inhalt Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften Aufbau der Bewegungsgleichung und ihre Lösung.

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Präsentation zum Thema: "Mechanische Oszillatoren Das Federpendel. Inhalt Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften Aufbau der Bewegungsgleichung und ihre Lösung."—  Präsentation transkript:

1 Mechanische Oszillatoren Das Federpendel

2 Inhalt Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften Aufbau der Bewegungsgleichung und ihre Lösung

3 Details zu den Kräften 1.) Ein Massenpunkt liefert die Trägheitskraft, nach Newton und dAlembert 2.) Die Feder sorgt für eine rücktreibende Kraft, die proportional zur Auslenkung ist, Hookesches Gesetz Zu diesen Schwingungen tragen mechanische und elektromagnetische Kräfte bei –Die für die Elastizität der Feder verantwortlichen Kräfte sind zwischenatomare elektrische Wechselwirkungen

4 Feder KenngrößeEinheitBezeichnung Federkonstante

5 Einheit 1N Kraft zur Verformung der Feder um die Länge s 1 N/mDie Federkonstante Feder – das Hookesche Gesetz

6 Coulomb-Kraft Trägheits-Kraft Feder und Massenpunkt In dieser und den folgenden Darstellungen halten zwei - z. B. zwischen zwei Wänden befestigte - Federn eine Kugel in ihrer Mitte. Bei Auslenkung der Kugel erzeugen beide Federn eine rücktreibende Kraft, die in den Rechnungen als Kraft von einer einzigen Feder behandelt wird

7 Kräftesumme mit Trägheitskraft Abbildung: Jean Le Rond d´Alembert, , Mathematiker, Philosoph und Literat Die dadurch entstehende Differentialgleichung ist die Bewegungsgleichung

8 Feder und Massenpunkt – die Bewegungsgleichung EinheitBezeichnung 1 NFederkraft 1 NTrägheitskraft 1 N Schwingungs- gleichung d Alembertsches Prinzip

9 0 Geradlinige Bewegung mit Weg-Zeitgesetz nach der Sinus-Funktion: Harmonische Schwingung

10 EinheitBezeichnung 1 m Ansatz für die Auslenkung 1 m/s 2 Beschleunigung 1N Schwingungs- gleichung s Periode der Schwingung 1 /s Frequenz der Schwingung Lösung der Schwingungsgleichung

11 Weg Geschwindigkeit Beschleunigung Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer harmonischen Schwingung

12 Weg: s(t) = s 0 · sin ωt Geschwindigkeit: v(t) = s 0 · ω · cos ωt (um π/2 verschobene Sinus- Funktion) Beschleunigung: v(t) = - s 0 · ω 2 · sin ωt (um π verschobene Sinus-Funktion) m m/s m/s 2 s s s

13 Eigenschaft der Sinus-Funktion bei ihrer Ableitung: Diese Funktion ist Form-invariant Es ändern sich nur –die Amplitude –die Phase (Maß für die Verschiebung der Funktion auf der Zeit-Achse) Analoges gilt für ihre Integration

14 Versuche zur periodischen Bewegung Feder-Pendel Fadenpendel Wagen zwischen zwei Federn

15 Eigenschaften von Oszillatoren und ihren Schwingungen Sinusförmige Variation des Signals Die Verkleinerung der Bauteile erhöht die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

16 Zusammenfassung Modellsystem: Massenpunkt und Feder Details zu den Kräften: –Der Massenpunkt liefert die Trägheitskraft F=m · ̈ s [N] –Die Feder erzeugt die rücktreibende Kraft, proportional zur Auslenkung: Hookesches Gesetz, F = k · s [N] Einzig mögliche Bewegung des Systems nach einer Auslenkung: Harmonische Schwingung –Auslenkung s(t) = s 0 · sinωt [m] –Es folgt das Quadrat der Kreisfrequenz ω 2 = k / m [1/s 2 ], Federkonstante k [N/m], Masse des bewegten Körpers m [kg] Kleinere Massen oder härtere Federn erhöhen die Frequenz Generell gilt: Je kleiner der Oszillator, desto höher ist die Frequenz

17 0 finis


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