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Bohrs Atommodell: Bahnradien
Jenseits der klassischen Physik: Die Quantenbedingung für den Drehimpuls
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Inhalt Kräfte zwischen Kern und Elektronen Die Bohrschen Postulate
Quantenbedingung für den Drehimpuls Abhängig von der Quantenzahl: Bahnradius Energie
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Bohrs Atommodell Elektronen kreisen als geladene, mechanische Objekte um den Kern Gleichgewicht zwischen Coulomb- und Zentrifugalkraft Der Radius der Elektronenbahn ist konstant: Die Erklärung dafür erfordert die Erweiterung der klassischen Physik zur Quantenmechanik Kern, Ladung Z e
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Beispiel Be, Z=4 Kern, Ladung 4e Elektronenhülle ,
Die Kernladungszahl Z ist das primäre Ordnungsmerkmal im Periodensystem Kern, Ladung 4e Elektronenhülle , 4 Elektronen mit Ladung -e auf Schalen um den Kern verteilt Link zum Periodensystem: Link zu Tabellen der Chemie:
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Die Bohrschen Postulate
Elektronen bewegen sich auf stationären Bahnen um den Kern Auf diesen Bahnen strahlen die Elektronen – trotz Beschleunigung – keine Energie ab Quantisierung des Drehimpulses: Der Bahndrehimpuls ist Vielfaches eines elementaren Quantums Die Ausstrahlung elektromagnetischer Strahlung erfolgt nur bei sprunghaftem Übergang eines Elektrons von einer Schale höherer zu einer Schale niederer Energie
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Das Coulombgesetz für Kern und Elektron
Kernladung: Z·e Elektron Ladung e Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an
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Die Zentripetalkraft auf der Kreisbahn ist die Coulombkraft
Zentrifugalkraft Bahngeschwindigkeit Zentripetalkraft auf der Kreisbahn: Coulombkraft zwischen Kern und Elektron
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Der Drehimpuls und seine Quantisierung
1 1 m2kg/s Drehimpuls für Bahn n 2 Quantisierung des Drehimpulses Für die “Quantisierungs” - Bedingung gibt es keine Begründung im Rahmen der klassischen Physik: Diese Annahme ist Teil der Quantenmechanik
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Kräfte auf Bahn n 1 N Coulombkraft Zentrifugalkraft Einheit 3 4
Klassische Bedingung für die Bewegung einer Ladung auf einer Kreisbahn: Coulombkraft ist die Zentripetalkraft entgegengesetzt der Trägheitskraft, das ist die Zentrifugalkraft Aus den Gleichungen 1 bis 4 werden die Unbekannten rn , ωn , Ln und F berechnet
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Winkelgeschwindigkeit für Bahn n
1 m2kg/s Gleichungen 1 und 2 gleichgesetzt. Quantisierung und Drehimpuls 5 1/s Winkelgeschwindigkeit als Funktion von Quantenzahl und Bahnradius Aus Gleichung 1 und 2 wird Ln eliminiert und ωn als Funktion von rn berechnet
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Radius der Bahn n Einheit 1 N ωn aus Gleichung 5 in Gleichung 4 (Zentripetalkraft) eingesetzt Gleichungen 4 (Zentripetal-) und 3 (Coulombkraft) gleichgesetzt 1 m Aufgelöst nach rn , dem Radius der Bahn n mit Quantenzahl n 1m Definition des „Bohr-Radius“, kleinste Bahn im H – Atom (Z=1) Radius der Bahn zur Quantenzahl n , Kernladung Z
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Radien der Bahnen zur Quantenzahl n für Atome mit Z=1 (Wasserstoff und Wasserstoff ähnliche Atome mit nur einem Elektron) Bahnradius Einheit Quantenzahl 1 nm 1 2 3 4 … .. n
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Bahn-Radien in Bohrs Atommodell
r4=16r1 Bahn-Radien in Bohrs Atommodell r3=9r1 r2=4r1 r1
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Winkelgeschwindigkeit als Funktion von n
Winkelgeschwindigkeit als Funktion von Quantenzahl und Bahnradius 1/s Bahnradius eingesetzt: Die Winkelgeschwindigkeit nimmt mit n3 ab Berechnung der Periode Tn s Die Periode Tn wächst proportional zu n3
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Bohrs Atommodell für Z=1, H
Drehimpuls-Vektor ~ n n Tn 1 T1 2 8·T1 3 27·T1 4 64·T1 r4=16r1 r3=9r1 r2=4r1 r1 Die Animation zeigt das Anwachsen von Tn mit n3 nur qualitativ
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Bohrs Atommodell für Z=4, Be
Gesamt-Drehimpuls 0 wird durch den Drehsinn der Elektronen erreicht : J =
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Zusammenfassung Bohrs Atommodell: Elektronen kreisen als geladene, mechanische Objekte um den Kern Gleichgewicht zwischen Coulomb- und Zentrifugalkraft Aber: trotz beschleunigter Ladung werden keine elektromagnetischen Felder aufgebaut/gesendet Die Quantenbedingung für den Drehimpuls führt auf diskrete, mit n = 1, 2, 3, … nummerierbare Bahnen, kleinster Radius, „Bohr-Radius“, r1= 0,0529 nm
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Konstanten 1,60 10-19 1 C Elementarladung 1,05 10-34 1 Js
Formel-zeichen Wert SI Einheit Anmerkung e 1, 1 C Elementarladung 1, 1 Js Plancksches Wirkungsquantum me 9, 1 kg Masse des Elektrons 8, 1 F/m Elektrische Feldkonstante , Link zum Periodensystem: Link zu Tabellen der Chemie:
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finis Gesamt-Drehimpuls 0 wird durch den Drehsinn der Elektronen erreicht : J =
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