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Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Induktive Statistik Einleitung Stichproben Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische.

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Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Induktive Statistik Einleitung Stichproben Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Induktive Statistik Einleitung Stichproben Stichprobenverteilungen Bestimmung von Vertrauensbereichen Statistische Prüfverfahren

2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Einleitung Beispiel für induktive Statistik Neues Medikament Warum sollen die Konsumenten es kaufen? Weil es hübscher verpackt ist? Wie beweist man, dass es besser ist als die schon vorhandenen Medikamente? Wie ist ein solcher Test manipulierbar?

3 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stichproben Grundgesamtheit: Alle möglichen Ergebnisse des Versuchs Stichprobe: Die n Ergebnisse eines tatsächlich durchgeführten Versuchs z.B. Ziehen aus einer Urne Grundgesamtheit: alle Kugeln Stichprobe die Kugel, die ich ziehe Unendlich viele Versuche: Stichprobe = Grundgesamtheit

4 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Begriff Stichprobe Kommt aus der Metall gewinnenden Industrie und dem Warenhandel Kleiner Teil der Schmelzmasse wurde dem Schmelzofen entnommen um die Qualität der Schmelzmasse zu prüfen Rückschluss von der Probe auf die gesamte Schmelzmasse (die Grundgesamtheit) Auch im Warenhandel (Käse, Getreide, etc.)

5 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel (1) Bestimmung der Größe der Studenten Vermessungswesen eines bestimmten Jahres N=20 Personen Einfachste Möglichkeit: Alle 20 abmessen Erwartungswert und Varianz der Grund- gesamtheit ixixi ixixi

6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel (2) Aber: Es ist uns zu aufwändig, also wählen wir n=5 Studenten und messen deren Größe Stichprobe Wir wollen nun von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen Anzahl der möglichen Stichproben:

7 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel (3) Ausgangspunkt: Die 5 Studenten wurden zufällig ausgewählt Mittelwert ist eine Zufallsgröße Mittelwert hat also eine Wahrscheinlich- keitsverteilung (Stichprobenverteilung) Zentraler Grenzwertsatz Stichproben- verteilung ist die Normalverteilung

8 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels Ab etwa n=30 normalverteilt Erwartungswert: Standardabweichung:

9 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stichprobenverteilung der Standardabweichung Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheit Es folgt: Normalverteilung für die Stich- probenverteilung der Standardabweichung S für n Erwartungswert: Standardabweichung:

10 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stichprobenverteilung der Differenz zweier Standardabweichungen Voraussetzung: Normalverteilung der Grundgesamtheiten, große Stichproben ( n > 100 ) Es folgt: Normalverteilung für die Stich- probenverteilung der Differenz der Standardabweichungen D S =S 1 -S 2 Erwartungswert: Standardabweichung:

11 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereiche Mittelwert s und Standardabweichung s sind Punktschätzwerte für und Keine Information über Zuverlässigkeit oder Genauigkeit (keine Angaben über Abweichung vom wahren Wert) Abhilfe: Vertrauensbereiche (Vertrauens-, Konfidenzintervall) Mit Stichprobendaten berechnetes Intervall Überdeckt den wahren Wert mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit S

12 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für Mittelwert bei bekanntem (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x 1, … x n Standardabweichung aus Erfahrung Vertrauensbereich mit P(m u

13 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für Mittelwert bei bekanntem (2) u s : -Quantil : Stichprobenfunktion Also: Einfache Umformungen: Grenzen: Mittelwert der Stichprobe

14 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Streckenmessung x=130,100m =4,0cm n=4 S=0,95 Tabelle im Skriptum: u s =1,96 P(130,061m< <130,139m)=0,95 oder:

15 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für Mittelwert bei unbekanntem (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x 1, … x n Standardabweichung nur Schätzwert Vertrauensbereich für die normierte Normalverteilung: P(-t S

16 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für Mittelwert bei unbekanntem (2) Also: Einfache Umformungen: Grenzen: Vertrauensbereich:

17 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Streckenmessung x=130,100m s=4,0cm n=4 S=0,95 Tabelle im Skriptum: t S =3,18 ( k=4-1=3 ) P(130,036m< <130,164m)=0,95 oder:

18 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für die Standardabweichung (1) Normalverteilte Grundgesamtheit Stichprobe liefert x 1, … x n Standardabweichung Vertrauensbereich mit P( u < < o ) = S Mit u untere und o obere Vertrauens- grenze

19 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für die Standardabweichung (2) Ausgangspunkt: Dichtefunktion der Standardabweichung ist die 2 -Verteilung, kann geschrieben werden als S 2 : Zufallsgröße Varianz der Stichprobe k : Anzahl der Freiheitsgrade

20 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für die Standardabweichung (3) Wenn nicht wahre Fehler sondern Verbesserungen v : k=n, wenn der wahre Wert bekannt, sonst k=n-1 Es folgt und Also:

21 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Streckenmessung s=4,0cm n=4 S=0,95 Tabelle im Skriptum: q u =0,57, q o =3,73 ( k=4-1=3 ) q u S=0,57 4,0cm=2,3cm q o S=3,73 4,0cm=14,9cm oder: P(2,3cm< <14,9cm)=0,95

22 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (1) Formeln für Mittelwert bei unbekannter Standardabweichung auch auf Ausgleichungsaufgaben anwendbar Mittel gleich ausgeglichenen Unbekannten oder Messwerten Standardabweichung des Mittels gleich Standardabweichung der Unbekannten oder Messwerten Freiheitsgrade k gleich Anzahl der überschüssigen Messungen

23 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (2) Beliebiges Ergebnis (Unbekannte oder Messwert) G mit Standardabweichung m G mit t S aus der Tabelle für 2-seitige Sicherheit q u, q o als abgeleitete Sicherheitsgrenzen

24 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vertrauensbereich für beliebige Ausgleichungsaufgaben (3) Vertrauensbereich im Allgemeinen aussagekräftiger als Standardabweichung Standardabweichung selbst nur Schätzwert für wahren Wert Standardabweichung nicht mit Wahrscheinlichkeit verbunden Bei geringer Redundanz oft nur unzureichende Beschreibung Vertrauensbereich immer mit Wahrscheinlich- keitsaussage verbunden deutlicher und zutreffender

25 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Statistische Prüfverfahren (1) Statistischer Test stellt fest, ob die Daten einer Stichprobe mit einer Hypothese übereinstimmen Zu testende Behauptung: Nullhypothese z.B. Gleiche Mittelwerte – H 0 : 1 = 2 Stichprobenfunktion wird gewählt – liefert Sicherheitsgrenzen Berechnung einer Prüfgröße Vergleich Prüfgröße – Sicherheitsgrenze

26 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Statistische Prüfverfahren (2) Prüfgröße innerhalb der Sicherheitsgrenzen (Annahmebereich): Hypothese wird angenommen Prüfgröße außerhalb der Sicherheitsgrenzen (Ablehnungsbereich): Hypothese wird abgelehnt Sicherheitswahrscheinlichkeit (Signifikanzniveau) üblicherweise 95% (selten 99% - hochsignifikant)

27 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Vorsicht! Annahme einer Hypothese bedeutet, dass die Stichprobe nicht gegen die Hypothese spricht Annahme bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% richtig ist Ablehnung bedeutet, dass die Prüfgröße in einem Bereich liegt, in dem sie bei richtiger Hypothese nur zu 5% liegen würde Ablehnung bedeutet NICHT, dass die Hypothese zu 95% falsch ist

28 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Fehler bei Tests Fehler erster Art: Ablehnung einer richtigen Hypothese (Wahrscheinlichkeit dafür 5% bzw. 1%) Fehler zweiter Art: Annahme einer falschen Hypothese (Angabe einer Wahrscheinlichkeit nicht möglich)

29 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Praktische Durchführung 1.Formulierung der Fragestellung 2.Aufstellen der Hypothese 3.Wählen der Stichprobenfunktion und Berechnen der Prüfgröße 4.Entnahme der Sicherheitsgrenzen aus der entsprechenden Tabelle 5.Entscheidung über Annahme oder Ablehnung und Beantwortung der Fragestellung

30 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test von bei bekanntem Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich

31 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Refraktionskoeffizient x=0,15s=0,03n=10 Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0 =0,13 also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle u S =1,96 2,11>1,96 Hypothese abgelehnt, es muss 0,15 verwendet werden

32 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test von bei unbekanntem Hat die Grundgesamtheit einen bestimmten (vorgegebenen) Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich

33 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Polarplanimeter x=9,97mm 2 s=0,015 n=4 k=3 0 =10mm 2 Hypothese: Grundgesamtheit hat Mittelwert 0 =10 also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle bei k=3 t S =3,18 4,00>3,18 Hypothese abgelehnt, es muss 9,97 verwendet werden

34 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test von 1 und 2 bei bekanntem 1 und 2 Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also Stichprobenfunktion mit Prüfgröße Sicherheitsgrenze und Vergleich

35 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Senkungserscheinungen x =32,120ms 1 =8mmn 1 =6 x=32,113ms 2 =5mmn 2 =4 Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle u S =1,96 1,71<1,96 Hypothese angenommen, keine signifikanten Senkungen

36 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test von 1 und 2 bei unbekanntem 1 und 2 (1) Haben die beiden Grundgesamtheiten denselben Mittelwert? Hypothese: Grundgesamtheit haben denselben Mittelwert, also Stichprobenfunktion mit mit dem gewogenen Mittel der Varianzen als Varianz Grundgesamtheit

37 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test von 1 und 2 bei unbekanntem 1 und 2 (2) Prüfgröße Sicherheitsgrenze mit k=n 1 +n 2 -2 Freiheitsgraden Vergleich

38 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Bauwerksbewegungen x =50,630mn 1 =26u 1 =18s 0 2 =0,26mgon Q xx =3,00 x=50,636mn 2 =34u 1 =21s 0 2 =0,22mgon Q xx =2,53 Hypothese: Grundgesamtheiten haben gleichen Mittelwert, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle t S =2,08 1,08<2,08 Hypothese angenommen, keine signifikanten Bewegungen

39 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test einer Standardabweichung (1) Hat die Grundgesamtheit eine bestimmte (vorgegebene) Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheit hat Standardabweichung 0, also Stichprobenfunktion Prüfgröße

40 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test einer Standardabweichung (2) Sicherheitsgrenze aus Tabelle, dabei Entscheidung, ob –Test gegen Alternativhypothese > 0 (einseitige Fragestellung): S 2 oder –Test gegen Alternativhypothese 0 (zweiseitige Fragestellung): q u und q o abgeleitete Prüfgröße: Vergleich

41 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Nivellement (einseitig) s=3,8mmk=8 0 =2,5mm Hypothese: Grundgesamtheit hat 0 =2,5mm, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle S 2 =15,5 18,5>15,5 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist geringer

42 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Stationsausgleich (zweiseitig) s=0,1mgonk=44 0 =0,14mgon Hypothese: Grundgesamtheit hat 0 =0,14mgon, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle q u =0,85, q o =1,22 1,4>1,22 Hypothese abgelehnt, erreichte Genauigkeit ist zu hoch

43 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test zweier Standardabweichungen Haben die beiden Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheit haben gleiche Standardabw., also Stichprobenfunktion Prüfgröße ( s 1 2 >s 2 2 ) Sicherheitsgrenze mit k 1 /k 2 aus Tabelle Vergleich (Alternativ: 1 > 2 )

44 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Messgenauigkeit s 1 =0,39mgon s 2 =0,27mgon k 1 =20 k 2 =15 Hypothese: Messungen gleich genau, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle F S =2,33 2,09<2,33 Hypothese angenommen, beide Geräte gleich genau

45 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test mehrerer Standard- abweichungen (Cochran-Test) Haben alle Grundgesamtheiten dieselbe Standardabweichung? Hypothese: Grundgesamtheiten haben die gleiche Standardabw., also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich

46 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Messgenauigkeit 8 Messungen mit je 10 übersch. Beob. 0,42, 0,41, 0,36, 0,39, 0,42, 0,52, 0,40, 0,38 Hypothese: Messungen gleich genau, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze G maxS =0,283 0,283>0,196 Hypothese angenommen, keine Änderung der Genauigkeit

47 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Cochran-Test Besonders gut geeignet, wenn eine Standardabweichung wesentlich größer als die anderen Auch verwendbar, wenn Anzahl der Freiheitsgrade nur nahezu gleich Größere Unterschiede bei den Freiheits- graden: Bartlett-Test

48 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test eines Korrelationskoeffizienten Ist der Korrelationskoeffizient gleich Null? Hypothese: Korrelationskoeffizient gleich Null, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich

49 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel trig. Höhenmessungen 15 Messungen nach 2 Punkten Verbesserungen Hypothese: Keine Korrelation, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze t S =2,17 2,57>2,17 Hypothese abgelehnt

50 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test eines extremen Merkmals (Ausreißertest) Ist ein Wert ein Ausreißer? Hypothese: Wert gehört zur Grundgesamt- heit, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich

51 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Winkelmessung 6 Winkelmessungen, ein extremer Wert Hypothese: Extremer Wert gehört zu selben Grundgesamtheit, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze S =2,00 2,04>2,00 Hypothese abgelehnt, Wert ist ein Ausreißer und somit zu streichen

52 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Test auf Normalverteilung Ist die Stichprobe normalverteilt? Hypothese: Stichprobe gehört zu einer normalverteilten Grundgesamtheit, also Stichprobenfunktion Prüfgröße Sicherheitsgrenze aus Tabelle Vergleich Anzahl Klassen theoret. abs. Häufigkeit empirische absolute Häufigkeit

53 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Beispiel Winkelmessung 270 Verbesserungen für ein Netz Hypothese: Verbesserungen sind normal- verteilt, also Prüfgröße Sicherheitsgrenze S 2 =14,1 10,5<14,1 Hypothese angenommen, Verteilung der Werte widerspricht nicht der Annahme der Normalverteilung

54 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung Statistische Tests prüfen Hypothesen mittels Stichproben Bei statistischen Tests können 2 Arten von Fehlern passieren: –Ablehnung einer richtigen Hypothese (1. Art) –Annahme einer falschen Hypothese (2. Art) Für typische Testsituationen gibt es Standardverfahren

55 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil ENDE A1 ist hier zu Ende Was fehlt noch? (Stoff von A2) –Umgang mit groben Fehlern –Festlegung des geodätischen Datums –Qualitätsangaben über Unbekannte hinaus –Komplexere Anwendungen (Deformationsanalyse, Geostatistik etc.)


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